1 代数法 [2025 浙江杭州期中, 中]已知三点$(2,a),(-1,b),(3,c)$在抛物线$y=x^2+x+2$上,则$a,b,c$的大小关系是 ()

A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较

$\because$ 点$(2,a),(-1,b),(3,c)$都在抛物线$y=x^2+x+2$上, $\therefore a=2^2+2+2=8,b=(-1)^2-1+2=2,c=3^2+3+2=14, \therefore c＞a＞b.$ 故选A.

2 对称法 [2025吉林长春校级期中,中]已知点$P_1(-3,y_1),P_2(1,y_2),P_3(3,y_3)$均在二次函数$y=-x^2+4x -c$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 ()

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$

二次函数$y=-x^2+4x-c$图象的对称轴为直线$x=2$,则点$P_3(3,y_3)$关于直线$x=2$的对称点为$(1,y_3). \because -1＜0, \therefore$ 抛物线$y=-x^2+4x-c$开口向下, $\therefore$ 当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大. $\because -3＜1=1＜2, \therefore y_1＜y_3=y_2.$ 故选D.

3 距离法 [2025福建漳州期末,较难]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的图象上,若$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$,则下列关于$y_1,y_2,y_3$三者的大小关系判断一定正确的是（）

A.$y_1$可能最大,不可能最小
B.$y_3$可能最大,也可能最小
C.$y_3$可能最大,不可能最小
D.$y_2$不可能最大,可能最小

在$y=ax^2-2ax-3a(a ≠ 0)$中,抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1. \because -1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3, \therefore |x_3-1|＞|x_1-1|＞|x_2-1|, \therefore$ 点$(x_3,y_3)$离对称轴最远,点$(x_2,y_2)$离对称轴最近. 当$a＞0$时,抛物线开口向上, $\therefore y_3＞y_1＞y_2$;当$a＜0$时,抛物线开口向下, $\therefore y_3＜y_1＜y_2.$ 综上,$y_2$和$y_3$可能最大,也可能最小,$y_1$不可能最大,也不可能最小. 故选B.
思路分析
分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论,根据已知三点与对称轴的距离,结合抛物线开口方向分析即可.

4 中点法 [2025 北京东城区调研,中]在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 是抛物线 $y=ax^2+bx+c(a＞0)$ 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 $x=t$。
(1)若对于 $x_1=3,x_2=4$，有 $y_1=y_2$，求 $t$ 的值；
(2)若对于 $2＜x_1＜3,3＜x_2＜4$，都有 $y_1＜y_2$，求 $t$ 的取值范围。

(1)$\because$ 对于$x_1=3,x_2=4$,有$y_1=y_2, \therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{7}{2}. \because$ 抛物线的对称轴为直线$x=t, \therefore t=\frac{7}{2}.$
(2)$\because 2＜x_1＜3,3＜x_2＜4, \therefore \frac{5}{2}＜\frac{x_1+x_2}{2}＜\frac{7}{2}, x_1＜x_2.$
又$\because y_1＜y_2,a＞0, \therefore$ 点$(x_1,y_1)$离对称轴更近,则点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$连线的中点在对称轴的右侧, $\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＞t$, 即$t \le \frac{5}{2}.$

1 定轴定范围 [2025 陕西西安质检,中]在下列区间内求二次函数$y=x^2+2x-3$的最值.
(1)全体实数.
(2)$-4≤ x≤ -2$.
(3)$-3≤ x≤ 0$.
(4)$1≤ x≤ 3$.

$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,抛物线对称轴为直线$x=-1.$ 当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小.
(1)在全体实数范围内,当$x=-1$时,函数有最小值$-4$,没有最大值.
(2)在$-4 \le x \le -2$的范围内,当$x=-2$时,函数有最小值$-3$;当$x=-4$时,函数有最大值$5.$
(3)在$-3 \le x \le 0$的范围内,当$x=-1$时,函数有最小值$-4$;当$x=-3$时,函数有最大值$0.$
(4)在$1 \le x \le 3$的范围内,当$x=1$时,函数有最小值$0$;当$x=3$时,函数有最大值$12.$

2 定轴动范围 (1)[2025浙江台州期末,中]当$\frac{m}{2} ≤ x ≤ m+1$时,二次函数$y=x^2 -2x +m -1$的最小值是-1,则$m=$.

抛物线$y=x^2-2x+m-1$的对称轴为直线$x=1$,抛物线开口向上, $\therefore$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小. ①当$\frac{m}{2}＞1$,即$m＞2$时,则当$x=\frac{m}{2}$时,$y=-1, \therefore (\frac{m}{2})^2 - 2 · \frac{m}{2} + m -1 = -1, \therefore m=0$,不符合题意,舍去. ②当$\frac{m}{2} \le 1 \le m+1$,即$0 \le m \le 2$时,则当$x=1$时,$y=-1, \therefore 1-2+m-1=-1$,解得$m=1.$ ③当$m+1＜1$,即$m＜0$时,则当$x=m+1$时,$y=-1, \therefore (m+1)^2 - 2(m+1)+m-1=-1, \therefore m^2+m-1=0$,解得$m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},m_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(舍去). 综上所述,$m=1$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$ 故答案为$1或\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$
关键点拨
(1)依据题意,可得抛物线对称轴为直线$x=1$,进而结合二次函数的性质分$\frac{m}{2}＞1$,$\frac{m}{2} \le 1 \le m+1$和$m+1＜1$三种情形进行讨论即可得解.

(2)[2025河南郑州期中,中]已知二次函数$y=ax^2+2ax+1(a＞0)$,当$m≤x≤0$时,$y$有最小值$1-a$和最大值$1$,则$m$的取值范围是.

二次函数$y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2-a+1(a＞0), \therefore$ 该函数图象开口向上,对称轴是直线$x=-1$,当$x=-1$时,该函数取得最小值$-a+1. \because$ 当$m \le x \le 0$时,$y$有最小值$1-a$和最大值$1$,且当$x=0$时,$y=1$,根据抛物线的对称性,当$x=-2$时,$y=1, \therefore -2 \le m \le -1$,故答案为$-2 \le m \le -1.$

3 动轴定范围 [2025江苏苏州期末,中]当$0≤x≤3$时,二次函数$y=x^2+2ax$的最大值是$M$,最小值是$m$,若$M-m=4$,则$a$的值是.

$y=x^2+2ax=(x+a)^2-a^2, \therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=-a$,抛物线开口向上.
①若$-a＜0$,即$a＞0$,则当$x=0$时,$m=0$,当$x=3$时,$M=9+6a. \because M-m=4, \therefore 9+6a-0=4$,解得$a=-\frac{5}{6}$(舍去). ②若$0 \le -a \le 1.5$,即$-1.5 \le a \le 0$,则当$x=-a$时,$m=-a^2$,当$x=3$时,$M=9+6a. \because M-m=4, \therefore 9+6a+a^2=4$,解得$a=-1$或$a=-5$(舍去). ③若$1.5＜-a \le 3$,即$-3 \le a＜-1.5$,则当$x=-a$时,$m=-a^2$,当$x=0$时,$M=0. \because M-m=4, \therefore 0-(-a^2)=4$,解得$a=-2$或$a=2$(舍去). ④若$-a＞3$,即$a＜-3$,则当$x=3$时,$m=9+6a$,当$x=0$时,$M=0. \because M-m=4, \therefore 0-(9+6a)=4$,解得$a=-\frac{13}{6}$(舍去). 综上可知,$a$的值是$-1$或$-2$,故答案为$-1$或$-2.$

4 动轴动范围 [2025安徽芜湖期中,中]已知抛物线$y=x^2+2mx+4m^2$（$m$为常数），当$2m≤ x≤2m+3$时，与其对应的函数值$y$的最小值为9，求此时的二次函数解析式。

$y=x^2+2mx+4m^2=(x+m)^2+3m^2, \therefore$ 抛物线对称轴是直线$x=-m$,抛物线开口向上.
①当$2m＞-m$,即$m＞0$时,当$x=2m$时,$y=9, \therefore 4m^2+4m^2+4m^2=9$,解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$(负值已舍去),此时的二次函数解析式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3.$
②当$2m \le -m \le 2m+3$,即$-1 \le m \le 0$时,当$x=-m$时,$y=9, \therefore 3m^2=9$,解得$m=\pm\sqrt{3}$(都不符合题意,舍去).
③当$2m+3＜-m$,即$m＜-1$时,当$x=2m+3$时,$y=9, \therefore (2m+3)^2+2m(2m+3)+4m^2=9$,解得$m=0$(舍去)或$-1.5$,此时的二次函数解析式为$y=x^2-3x+9.$ 综上,二次函数解析式为$y=x^2+\sqrt{3}x+3$或$y=x^2-3x+9.$