13. (宁波中考)如图，$\odot O$的半径$OA=2$，B是$\odot O$上的动点(不与点A重合)，过点B作$\odot O$的切线BC，$BC=OA$，连接OC，AC。当$△ OAC$是直角三角形时，其斜边长为。

13. $2\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}$ 解析:连接$OB$,$\because BC$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ OBC=90°$.$\because BC=OA=OB$,$\therefore OB=BC=2$,$\therefore △ OBC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ BCO=45°$,$\therefore ∠ ACO ≤ 45°$.①如图①,当$∠ AOC=90°$,$△ OAC$是直角三角形时,$OC=\sqrt{2}OB=2\sqrt{2}$,$\therefore AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}$;②如图②,当$∠ OAC=90°$,$△ OAC$是直角三角形时,$OC=\sqrt{2}OB=2\sqrt{2}$.综上,斜边长为$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}$.

14.(2026·杭州期中)已知点P到⊙O的最大距离是6,最小距离是2,则⊙O的半径是.

14. 2或4 解析:设$\odot O$的半径为$r$,点$P$到圆心$O$的距离为$d$.若点$P$在$\odot O$外,则最大距离为$d+r$,最小距离为$d-r$.若点$P$在$\odot O$外,由题意得$\begin{cases} d+r=6, \\ d-r=2, \end{cases}$两式相减,解得$r=2$.若点$P$在$\odot O$内,则最大距离为$r+d$,最小距离为$r-d$.由题意得$\begin{cases} r+d=6, \\ r-d=2, \end{cases}$解得$r=4$.综上,$\odot O$的半径为2或4.

15. 如图,菱形ABCD的边长是13,点O是两条对角线的交点,且OB=12.约定:三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫作三角形与圆的距离.依据这个约定,可知当$\odot C$的半径是多少时,$△ ABD$与$\odot C$的距离为3?

15. $\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore BD$和$AC$互相垂直平分.$\because$ 菱形$ABCD$的边长是13,且$OB=12$,$\therefore OA=5$,$\therefore OC=OA=5$.如图①,当$△ ABD$在$\odot C$外时,由图可知,$△ ABD$的边$BD$的中点$O$到$\odot C$的距离最小.$\because △ ABD$与$\odot C$的距离为3,$OC=5$,$\therefore \odot C$的半径为$5-3=2$.如图②,当$△ ABD$在$\odot C$内时,由图可知,点$B$或点$D$到$\odot C$的距离最小.$\because △ ABD$与$\odot C$的距离为3,$CD=13$,$\therefore \odot C$的半径为$13+3=16$.综上所述,若$△ ABD$与$\odot C$的距离为3,则$\odot C$的半径为2或16.

16. (2026·天津期中)圆的半径是6.5 cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm,那么该直线和圆的位置关系是.

16. 相交或相切 解析:$\because$ 圆的半径$r=6.5\ \mathrm{cm}$,圆心到直线上某一点的距离为$6.5\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 圆心到直线的距离$d$满足$d ≤ 6.5\ \mathrm{cm}$,$\therefore d ≤ r$,$\therefore$ 直线和圆的位置关系是相交或相切.

17. 已知$l_1 // l_2$，$l_1$，$l_2$之间的距离是5 cm，圆心O到直线$l_1$的距离是2 cm，如果圆O与直线$l_1$，$l_2$有三个公共点，那么圆O的半径为cm.

17. 3或7 解析:设圆$O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$,如图①所示,$r-5=2$,得$r=7\ \mathrm{cm}$;如图②所示,$r+2=5$,得$r=3\ \mathrm{cm}$.

18. 在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3,1),若$\odot A$与坐标轴有三个公共点,则$\odot A$的半径为.

18. $\sqrt{10}$或3 解析:$\because$ 点$A$的坐标为$(3,1)$,$\therefore$ 如图①,当$\odot A$经过原点时,半径为$OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.如图②,当$\odot A$与$y$轴相切时,半径为点$A$到$y$轴的距离,为3.

19. 已知$∠ ABC=45°$,点$O$为$BC$上的一点,且$OB=6$,若以点$O$为圆心,$r$为半径的圆与射线$BA$只有一个公共点,则$r$的取值范围是.

19. $r=3\sqrt{2}$或$r＞6$ 解析:如图①,若射线$BA$与圆相切,则$r=3\sqrt{2}$;如图②,若射线$BA$与圆相交,则$r＞6$.

20.（鄂州中考）如图，半径为2 cm的$\odot O$与边长为2 cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点。当正方形ABCD沿直线OF以每秒$(2-\sqrt{3})\mathrm{cm}$的速度向左运动s时，$\odot O$与正方形重叠部分的面积为$(\frac{2}{3}π - \sqrt{3})\mathrm{cm}^2$。

20. 1或$(11+6\sqrt{3})$ 解析:如图①,当点$A$,$B$落在$\odot O$上时,由题意易得$△ AOB$是等边三角形,$\odot O$与正方形重叠部分的面积为$(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$,此时,运动时间$t_1=(2-\sqrt{3}) ÷ (2-\sqrt{3})=1(\mathrm{s})$;如图②,当点$C$,$D$落在$\odot O$上时,由题意易得$△ OCD$是等边三角形,$\odot O$与正方形重叠部分的面积为$(\frac{2}{3}π-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$,此时,运动时间$t_2=[4+2-(2-\sqrt{3})] ÷ (2-\sqrt{3})=(11+6\sqrt{3})\ \mathrm{s}$.综上,满足条件的运动时间为$1\ \mathrm{s}$或$(11+6\sqrt{3})\ \mathrm{s}$.

21. 如图,已知直线$l$的解析式是$y=\frac{4}{3}x-4$,并且与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点.一个半径为1.5的$\odot C$,圆心$C$从点$(0,1.5)$开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着$y$轴向下运动,当$\odot C$与直线$l$相切时,求该圆运动的时间.

21. 当$\odot C$在直线$l$上方与直线$l$相切时,如图①.设切点为$D_1$,连接$C_1D_1$,$C_1A$.$\because C(0,1.5)$,$\therefore OC=1.5$,$\therefore C_1D_1=1.5$.在$y=\frac{4}{3}x-4$中,当$y=0$时,$x=3$;当$x=0$时,$y=-4$.$\therefore A(3,0)$,$B(0,-4)$,$\therefore OA=3$,$OB=4$.在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because S_{△ ABC_1}=\frac{1}{2}BC_1 · OA=\frac{1}{2}AB · C_1D_1$,$\therefore BC_1 × 3=5 × 1.5$,解得$BC_1=2.5$,$\therefore OC_1=OB-BC_1=4-2.5=1.5$,$\therefore CC_1=OC+OC_1=1.5+1.5=3$.$\therefore \odot C$运动的时间为$3 ÷ 0.5=6$(秒).
当$\odot C$在直线$l$下方与直线$l$相切时,如图②.设切点为$D_2$,连接$C_2D_2$,$C_2A$.$\because S_{△ ABC_2}=\frac{1}{2}BC_2 · OA=\frac{1}{2}AB · C_2D_2$,$\therefore BC_2 × 3=5 × 1.5$,解得$BC_2=2.5$,$\therefore CC_2=OC+OB+BC_2=1.5+4+2.5=8$,$\therefore \odot C$运动的时间为$8 ÷ 0.5=16$(秒).
综上,$\odot C$运动的时间为6秒或16秒.