1. 改编题 下列叙述正确的有（）
①正多边形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②各边相等的多边形各角也相等；③正多边形的中心与其内切圆圆心重合；④正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. B 解析:③④正确,故选 B.
归纳总结 ①边数大于3的正多边形,“各边相等”和“各角相等”两个条件相互独立,不能相互推出.②正n边形的每一个内角都等于$\frac{(n-2)· 180°}{n}$,每一个中心角和外角都等于$\frac{360°}{n}$.

2. (2026·石家庄月考)如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,点Q是优弧AB上一点,连接AQ,BQ,则$∠ AQB$的度数为 ()

A.$40°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$25°$

2. B 解析:如图,连接OA,OB,
∵ 正五边形 ABCDE 内接于$\odot O$,
∴ $∠AOB=\frac{360°}{5}=72°$,
∴ $∠AQB=\frac{1}{2}∠AOB=36°$,故选 B.

3. (2025·聊城模拟)如图,点A,B,C,D,E是以点O为中心的正多边形的顶点,若∠ADB=18°,则该正多边形的边数为 ()

A.7
B.8
C.10
D.11

3. C 解析:如图所示,连接OA,OB,
∵ $∠AOB=2∠ADB=36°$,
∴ $\frac{360°}{36°}=10$,
∴ 该正多边形的边数为 10,故选 C.

4. (2026·北京期末)如图,正六边形ABCDEF的周长为18,则它的外接圆的半径为。

4. 3 解析:设 O 为其外接圆圆心,连接OA,OB,由题易知$∠AOB=60°$,$OA=OB$,
∴ $△ AOB$是等边三角形,
∴ $OA=OB=AB$.
∵ 正六边形 ABCDEF 的周长为 18,
∴ $OA=OB=AB=3$,即它的外接圆的半径为 3.

5.(2026·泰州月考)如图,AB是⊙O内接正六边形的一边,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,且AC是⊙O内接正二十四边形的一边,若BC是⊙O内接正n边形的一边,则n=.

5. 8 解析:连接OC,
∵ AB 是$\odot O$内接正六边形的一边,
∴ $∠AOB=\frac{360°}{6}=60°$.
∵ AC 是$\odot O$内接正二十四边形的一边,
∴ $∠AOC=\frac{360°}{24}=15°$,
∴ $∠BOC=∠AOB-∠AOC=45°$.
∵ BC 是$\odot O$内接正 n 边形的一边,
∴ $n=\frac{360°}{45°}=8$.

6. (2026·南昌月考)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积$ S_1 $来近似地估计$ \odot O $的面积$ S $,设$ \odot O $的半径为2,则$ S - S_1 = $.

6. $4π-12$ 解析:如图,过点 A 作 $AC⊥ OB$,垂足为 C,
∵ $\odot O$ 的半径为 2,
∴ $\odot O$ 的面积 $S=4π$,$OA=OB=2$.
∵ 圆的内接正十二边形的中心角为$∠AOB=\frac{360°}{12}=30°$,
∴ $AC=\frac{1}{2}OA=1$,
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB× AC=\frac{1}{2}×2×1=1$,
∴ 圆的内接正十二边形的面积 $S_1=12S_{△ AOB}=12$,则 $S-S_1=4π-12$.

7. (2026·长春期末)作图并填空:
(1)在下图中,利用尺规作图,作出已知⊙O的内接正六边形;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若已知⊙O的半径为2,则这个内接正六边形的面积为.

7. (1)如图,正六边形即为所求:

解析:在圆上任取一点作为起点,以这点为圆心,圆 O 的半径为半径画弧交圆 O 于一点,重复上述操作依次得到另外的点,顺次连接各点形成正六边形.
(2)$6\sqrt{3}$ 解析:如图,连接 OE,OF,过点 O 作 $OD⊥ EF$ 于点 D,
∵ $OE=OF$,$∠EOF=60°$,
∴ $△ OEF$ 为边长为 2 的等边三角形,
∴ $ED=\frac{1}{2}EF=1$,
∴ $OD=\sqrt{OE^2-ED^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ OEF}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
∴ 内接正六边形的面积为 $6S_{△ OEF}=6\sqrt{3}$.

归纳总结 (1)如果正 n 边形的边数给定,已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项,都可以求出其他项.
(2)正多边形面积等于正多边形周长与边心距乘积的一半.

8. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{8}$

8. D 解析:由题意可求得所作三角形的三边长分别为$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ $(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$,
∴ 该三角形是以$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$为直角边长,$\frac{\sqrt{3}}{2}$为斜边长的直角三角形,
∴ 该三角形的面积是$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
归纳总结 (1)下表是半径为 R 的圆内接正多边形的一些结论.(正 n 边形的一般性结论,可在学了锐角三角函数之后再探究)
| | 圆内接正三角形 | 圆内接正方形 | 圆内接正六边形 | 圆内接正n边形 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 圆的半径 | R | R | R | R |
| 中心角 | $120°$ | $90°$ | $60°$ | $\frac{360°}{n}$ |
| 内角 | $60°$ | $90°$ | $120°$ | $180°-\frac{360°}{n}$ |
| 边长 | $\sqrt{3}R$ | $\sqrt{2}R$ | R | $2R\sin\frac{180°}{n}$ |
| 边心距 | $\frac{1}{2}R$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}R$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}R$ | $R\cos\frac{180°}{n}$ |
| 面积 | $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$ | $2R^2$ | $\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$ | $\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{360°}{n}$ |
(2)设正 n 边形的中心角、外接圆半径、内切圆半径、边长、周长、面积分别为$α_n$,$R$,$r_n$,$a_n$,$C_n$,$S_n$,如果$R$,$r_n$,$\frac{a_n}{2}$构成直角三角形的三边,即$r_n^2+(\frac{a_n}{2})^2=R^2$,则:①$α_n=\frac{360°}{n}$;②$C_n=n· a_n$;③$S_n=\frac{1}{2}n· r_n· a_n=\frac{1}{2}r_n· C_n$.(正多边形的面积等于正多边形的周长与边心距乘积的一半)

9. (1)(河北中考改编)如图①,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,$S_{△ AFO}=8$,$S_{△ CDO}=2$,则$S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}$的值是.

(2)如图②,在正八边形ABCDEFGH中,若四边形ADEH的面积等于20,则阴影部分的面积等于.

9. (1)30 解析:如图①,连接 AC,由正六边形 ABCDEF 的性质,易得四边形 ACDF 是矩形,四个角均为 $90°$,
∴ $S_{△ AFO}+S_{△ CDO}=\frac{1}{2}AF· OF+\frac{1}{2}CD· OD=\frac{1}{2}AF· FD=\frac{1}{2}S_{矩形ACDF}$,
∴ $S_{矩形ACDF}=20$.过点 E 作 $EM⊥ FD$ 于点 M,可得$∠EFM=30°$,
∴ $EM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AF$,$S_{△ EFD}=\frac{1}{2}EM· FD=\frac{1}{4}S_{矩形ACDF}=5=S_{△ ABC}$,
∴ $S_{正六边形ABCDEF}=30$.

(2)20 解析:作出正方形 MNQR,如图②所示.
∵ 正八边形的一个内角为 $135°$,
∴ $∠MBA=∠MAB=45°$,
∴ $MB=MA$.在$△ AMB$中,设 $AM=x$,则 $BM=x$,$AB=\sqrt{2}x$,
∴ 正八边形的边长是$\sqrt{2}x$,则正方形的边长是$(2+\sqrt{2})x$.根据题意,得$\sqrt{2}x·(2+\sqrt{2})x=20$,解得$x^2=10(\sqrt{2}-1)$.则阴影部分的面积是 $2×\frac{1}{2}[\sqrt{2}x+(2+\sqrt{2})x]x=2(\sqrt{2}+1)· x^2=2(\sqrt{2}+1)×10(\sqrt{2}-1)=20$.

一题多解 如图,连接 AE,DH,交于一点 O,易得 O 为该正八边形的外接圆的圆心.由正多边形的性质和矩形的性质易得 $S_{△ AOH}=\frac{1}{4}S_{矩形ADEH}=\frac{1}{4}×20=5$,
∴ $S_{正八边形ABCDEFGH}=5×8=40$,
∴ $S_{阴影部分}=S_{正八边形ABCDEFGH}-S_{矩形ADEH}=40-20=20$.