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1. 在半径为1的$\odot O$中,弦$AB=\sqrt{3}$,$AC=\sqrt{2}$,则$∠ BAC$的度数为________.
答案
1. 75°或15° 解析:如图①
,弦在圆心两侧时,$∠BAC=75°$;如图②
,弦在圆心同侧时,$∠BAC=15°$.2. (2026·金华期中)已知一根排水管的截面为圆,记圆心为O,⊙O被水面截得弦长为4米.⊙O半径长为3米,若点M为圆形水管的最低点,则点M到水面的距离是
(3−√5)或(3+√5)
米.答案
2. $(3-\sqrt{5})$或$(3+\sqrt{5})$ 解析:如图
,水面为$AB$,$OD ⊥ AB$,$\because AB=4$,$OA=OM=3$,$\therefore AD=2$,$\therefore OD=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,当$AB$在圆心下方时,$DM=OM-OD=3-\sqrt{5}$,当$AB$在圆心上方时,$DM=OM+OD=3+\sqrt{5}$.
3. 如图，$\odot O$的直径为10，$A,B,C,D$是$\odot O$上四个动点，且$AB=6$，$CD=8$，若点$E,F$分别是弦$AB,CD$的中点，求线段$EF$的长度的取值范围。
答案
3. 连接$OE$,$OF$,$OA$,$OC$.$\because \odot O$的直径为10,$\therefore OA=OC=5$.$\because$ 点$E$,$F$分别是弦$AB$,$CD$的中点,$AB=6$,$CD=8$
$\therefore OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,$AE=\frac{1}{2}AB=3$,$CF=\frac{1}{2}CD=4$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=4$,$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=3$.
当$AB // CD$时,$E$,$O$,$F$三点共线.当$AB$,$CD$位于圆心$O$的同侧时,线段$EF$最短,为$OE-OF=1$;当$AB$,$CD$位于圆心$O$的两侧时,线段$EF$最长,为$OE+OF=7$,$\therefore 1 ≤ EF ≤ 7$.
4.（绍兴中考）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=70°$，以点$C$为圆心，$CA$长为半径作弧，交直线$BC$于点$P$，连接$AP$，则$∠ BAP$的度数是
15°或75°
.答案
4. 15°或75° 解析:如图
所示,当点$P$在点$B$的左侧时,$∠ BAP_1=∠ CAP_1-∠ CAB=55°-40°=15°$;当点$P$在点$C$的右侧时,$∠ BAP_2=∠ CAP_2+∠ CAB=35°+40°=75°$.5. ⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠CAE=30°，OE=2√3，F 为 CD 上一点，OF=4，则 CF 的长为
4或8
。答案
5. 4或8 解析:如图
,当$C$,$F$在$E$点同侧时,连接$OC$,$\because \odot O$的直径$AB$垂直于弦$CD$,垂足为$E$,$\therefore ∠ AEC=90°$,$DE=CE$,$\therefore ∠ ACE=60°$.$\because OA=OC$,$∠ CAE=30°$,$\therefore ∠ OCA=30°$,$\therefore ∠ OCE=∠ ACE-∠ OCA=30°$.$\because OE=2\sqrt{3}$,$\therefore OC=2OE=4\sqrt{3}$,$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=6$.$\because F$为$CD$上一点,$OF=4$,$\therefore EF=\sqrt{OF^2-OE^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$,$CF=6-2=4$,同理,当$C$,$F$在$E$点异侧时,$CF=6+2=8$,$\therefore CF$的长为4或8.6. (牡丹江中考)$\odot O$的直径$CD=10$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，$OM:OC=3:5$，则$AC$的长为
4√5或2√5
.答案
6. $4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$ 解析:两种情况如图所示
.7. (鸡西中考)在半径为$\sqrt{5}$的$\odot O$中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，$AB=CD=4$，则$S_{△ ACP}=$
$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$
.答案
7. $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$ 解析:过点$O$作$OE ⊥ AB$于$E$,$OF ⊥ CD$于$F$,则$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$,$DF=CF=\frac{1}{2}CD=2$,如图①
,连接$OB$,$OD$,$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=1$,同理可得$OF=1$,易知四边形$OEPF$为正方形,$\therefore PE=PF=1$,$\therefore PA=PC=1$,$\therefore S_{△ APC}=\frac{1}{2} × 1 × 1=\frac{1}{2}$.如图②,同理可得$S_{△ APC}=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}$.如图③,同理可得$S_{△ APC}=\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$.如图④,同理可得$S_{△ APC}=\frac{1}{2} × 3 × 1=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$.8.（襄阳中考）已知$\odot O$的直径AB长为2，弦AC长为$\sqrt{2}$，那么弦AC所对的圆周角的度数等于
45°或135°
。答案
8. 45°或135° 解析:如图
,连接$OC$,$\because OA=OC=1$,$AC=\sqrt{2}$,$\therefore OA^2+OC^2=AC^2$,$\therefore ∠ AOC=90°$,$\therefore ∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=45°$,$\therefore ∠ AD'C=180°-∠ ADC=135°$,$\therefore$ 弦$AC$所对的圆周角的度数为45°或135°.9. 在半径为5的$\odot O$中，弦$AB=8$，则此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是
2或8
。答案
9. 2或8 解析:点$C$和$D$为弦$AB$所对弧的中点,连接$CD$交$AB$于点$E$,连接$AO$,如图
,$\because$ 点$C$和$D$为弦$AB$所对弧的中点,$\therefore CD$为直径,$CD ⊥ AB$,$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=4$,在$\mathrm{Rt}△ OAE$中,$\because OA=5$,$AE=4$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=3$,$\therefore DE=OD+OE=8$,$CE=OC-OE=2$,即弦$AB$和弦$AB$所对的劣弧的中点的距离为2,弦$AB$和弦$AB$所对的优弧的中点的距离为8.10. 如图，PM，PN分别与$\odot O$相切于A，B两点，C是$\odot O$上异于A，B的点，连接AC，BC。若$∠ P=50°$，则$∠ ACB$的大小是
65°或115°
。答案
10. 65°或115° 解析:如图
,连接$OA$,$OB$,$C_1$,$C_2$(即$C$)分别在优弧与劣弧上,$\because PM$,$PN$分别与$\odot O$相切于$A$,$B$两点,$\therefore ∠ PAO=∠ PBO=90°$.$\because ∠ P=50°$,$\therefore ∠ AOB=360°-90°-90°-50°=130°$,$∠ AC_1B=\frac{1}{2}∠ AOB=65°$,$∠ AC_2B=180°-65°=115°$.11. 已知$△ ABC$是半径为2的圆的内接三角形，若$BC=2\sqrt{3}$，则$∠ A$的度数为
60°或120°
。答案
11. 60°或120° 解析:两种情况如图所示
,$∠ A=60°$,$∠ A'=120°$.12. 已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，求△ABC的面积。
答案
12. 有两种情况:①如图①
,当$B$在优弧$\overset{\frown}{ABC}$上时,连接$BO$并延长交$AC$于点$D$,连接$OC$,易得$BD ⊥ AC$,$AD=DC=4$,$OC=5$,在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore BD=3+5=8$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC × BD=\frac{1}{2} × 8 × 8=32$.②如图②,当$B$在劣弧$\overset{\frown}{AC}$上时,连接$OB$交$AC$于点$D$,连接$OC$,可得$BD ⊥ AC$,$AD=DC=4$,$OD=3$,$BD=OB-OD=5-3=2$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC × BD=\frac{1}{2} × 8 × 2=8$.综上所述,$△ ABC$的面积是32或8.