4. (北京中考)如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的一条弦，$AB ⊥ CD$，连接AC，OD.
(1)求证：$∠ BOD=2∠ A$.
(2)连接DB，过点C作$CE ⊥ DB$，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为$\odot O$的切线.

(1) 如图①,连接AD,
∵ AB是⊙O的直径,AB ⊥ CD,
∴ ⌢BC = ⌢BD,
∴ ∠CAB = ∠BAD.
∵ ∠BOD = 2∠BAD,
∴ ∠BOD = 2∠CAB.

(2) 如图②,连接AD,OC,
∵ F为AC的中点,
∴ DF ⊥ AC,
∴ AD=CD,
∴ ∠ADF = ∠CDF.
∵ ⌢BC = ⌢BD,
∴ ∠CAB = ∠DAB.
∵ OA = OD,
∴ ∠OAD = ∠ODA,
∴ ∠CDF = ∠CAB.
∵ OC = OD,
∴ ∠CDF = ∠OCD,
∴ ∠OCD = ∠CAB.
∵ ⌢BC = ⌢BC,
∴ ∠CAB = ∠CDE,
∴ ∠CDE = ∠OCD.
∵ ∠E = 90°,
∴ ∠CDE+∠DCE=90°,
∴ ∠OCD+∠DCE=90°,即 OC ⊥ CE.
∵ OC为半径,
∴ 直线CE为⊙O的切线.

5. (恩施州中考节选)如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB为$\odot O$的切线，切点分别为A，B，直线PO交$\odot O$于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：$∠ ADE=∠ PAE$；
(2)若$∠ ADE=30°$，求证：$AE=PE$.

(1) 连接OA,如图,
∵ PA为⊙O的切线,
∴ AO ⊥ PA,
∴ ∠OAE + ∠PAE = 90°.
∵ DE是⊙O的直径,
∴ ∠DAE = 90°,
∴ ∠ADE + ∠AED = 90°.
∵ OA = OE,
∴ ∠OAE = ∠AED,
∴ ∠ADE = ∠PAE.

(2) 由(1)知,∠ADE = ∠PAE = 30°,
∵ ∠DAE = 90°,
∴ ∠AED = 90° - ∠ADE = 60°.
∵ ∠AED = ∠PAE + ∠APE,
∴ ∠APE = ∠PAE = 30°,
∴ AE = PE.

6.（武汉中考）如图，在四边形材料ABCD中，$AD// BC$，$∠ A=90°$，$AD=9\ \mathrm{cm}$，$AB=20\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$。现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（）


A.$\frac{110}{13}\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$

B 解析:如图,当AB,BC,CD切⊙O于点E,F,G时,⊙O的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,过点D作DH⊥BC于点H.
∵ AD//CB,∠BAD=90°,
∴ ∠ABC=90°.
∵ ∠DHB=90°,
∴ 四边形 ABHD 是矩形,
∴ AB = DH = 20 cm,AD=BH=9 cm.
∵ BC=24 cm,
∴ CH=BC - BH = 24 - 9 = 15(cm),
∴ CD=√(DH²+CH²)=√(20²+15²)=25(cm).设 OE=OF=OG=r cm,则有 1/2 ×(9+24)×20 =1/2 ×20×r +1/2 ×24×r +1/2 ×25×r +1/2 ×9×(20-r),
∴ r=8.故选 B.

7. (2025·昭通期末)如图①,AB是$\odot O$的直径,AM和BN是它的两条切线,点E是$\odot O$右侧半圆上不同于A,B的一个动点,过点E作$\odot O$的切线DC与AM,BN分别相交于D,C两点,连接DO,CO.
(1)若$DO=3,CO=4$,求DC的长;
(2)求证:$AO^{2}+BO^{2}=2AD· BC$;
(3)如图②,连接AE,BE,BE与OC相交于点F,延长CO交$\odot O$于点G,过点G作$GH⊥ AO$于点H.则以下关于线段BH,AH,AE的三个结论:①$BH＞AH+AE$,②$BH=AH+AE$,③$BH＜AH+AE$,你认为哪个正确?请说明理由.

(1)
∵ AB是直径,AM,BN是切线,
∴ AD // BC,
∴ ∠ADE + ∠BCE = 180°,由切线长定理可知,∠ADO = ∠EDO =1/2 ∠ADC,∠BCO = ∠ECO =1/2 ∠BCE,
∴ ∠EDO + ∠ECO =1/2 (∠ADE+∠BCE)=90°,
∴ ∠DOC=90°.
∵ DO=3,CO=4,
∴ DC=√(DO²+CO²)=√(3²+4²)=5.
(2)
∵ AB是直径,AM,BN是切线,
∴ OA ⊥ AD,OB ⊥ BC,
∴ OD²=AO²+AD²,OC²=BO²+BC²,由(1)知 OD²+OC²=CD²,
∴ AO²+AD²+BO²+BC²=DC²,由切线长定理可知 DA=DE,CE=CB,
∴ DC=ED+EC=AD+BC,
∴ AO²+AD²+BO²+BC²=(AD+BC)²,即 AO²+AD²+BO²+BC²=AD²+2AD·BC+BC²,
∴ AO²+BO²=2AD·BC.
(3)我认为②BH=AH+AE正确,理由如下:如图,延长EA至K,使得 AK=AH,连接 GK,GA,GB,GE,由垂径定理知,GF 垂直平分 BE,
∴ GB=GE,
∴ ∠GBE=∠GEB=∠GAB.
∵ 在四边形 AGBE 中,∠GBE+∠GAE=180°,∠GAK+∠GAE=180°,
∴ ∠GAK=∠GBE.
∴ 在△GAK和△GAH 中,
{GA=GA,
∠GAK=∠GAH,
AK=AH,
∴ △GAK≌△GAH(SAS),
∴ ∠GKE=∠GHA=90°,GK=GH,在 Rt△GKE 和 Rt△GHB中,
{GE=GB,
GK=GH
∴ Rt△GKE≌Rt△GHB(HL),
∴ EK=BH,
∴ BH=AE+AH.