1. 已知:在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$AB$上一点,以$BD$为直径的$\odot O$与$AC$边相切于点$E$,交$BC$于点$F$,$FG⊥ AC$于点$G$.
(1)如图①,求证:$GE=GF$;
(2)如图②,连接$DE$,$∠ GFC=2∠ AED$,求证:$△ ABC$为等边三角形;
(3)如图③,在(2)的条件下,点$H,K,P$分别在$AB,BC,AC$上,$AK,BP$分别交$CH$于点$M,N$,$AH=BK$,$∠ PNC-\frac{1}{2}∠ BAK=60°$,$CN=6$,$CM=4\sqrt{3}$,求$BC$的长.

(1) 如图①,连接OE和OF,
∵ AC是⊙O的切线,
∴ OE⊥AC,
∴ ∠OEG=90°.
∵ FG⊥AC,
∴ ∠FGE=90°.
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ OB=OF,
∴ ∠OBF=∠OFB,
∴ ∠OFB=∠ACB,
∴ OF//AC,
∴ ∠OFG+∠FGE = 180°,
∴ ∠OFG=90°,
∴ ∠OFG=∠FGE=∠OEG=90°,
∴ 四边形OFGE为矩形.
∵ OF=OE,
∴ 四边形OFGE为正方形,
∴ GE=GF.
(2) 如图②,连接OE,BE,
∵ BD是⊙O的直径,
∴ ∠BED=90°,
∴ ∠OED+∠OEB = 90°.
∵ ∠OEA = 90°,
∴ ∠AED - ∠OED = 90°,
∴ ∠OEB = ∠AED.
∵ OB = OE,
∴ ∠OBE = ∠OEB,
∴ ∠OBE = ∠AED,
∴ ∠AOE = 2∠OEB = 2∠AED
∵ ∠GFC=2∠AED,
∴ ∠AOE = ∠GFC.
∵ ∠C+∠GFC=90°∠A+∠AOE = 90°,
∴ ∠C = ∠A,
∴ BA = BC.
∵ AB = AC
∴ AB=AC=BC,
∴ △ABC为等边三角形.
(3)
∵ △ABC为等边三角形,
∴ ∠CAH=∠ABK=60°.
∵ AH=BK,AC=AB,
∴ △CAH≌△ABK(SAS),
∴ ∠ACH=∠BAK.
∵ ∠KMC=∠KAC+∠ACM,
∴ ∠KMC=∠KAC+∠BAK=60°.如图③,过点C作CQ⊥AK,垂足为Q,过点B作BT⊥CH,垂足为T,
∴ ∠AQC=∠CTB=90°.
∵ ∠QAC=∠BAC-∠BAK=60°-∠BAK, ∠TCB = ∠ACB - ∠ACH = 60° - ∠ACH,
∴ ∠QAC = ∠TCB.
∵ AC = BC,
∴ △AQC≌△CTB( AAS ),
∴ QC=BT. 在Rt△MQC中,
∵ CM = 4√3 , ∠QMC = 60°,∠QCM=30°,
∴ QM=1/2 CM=2√3 ,
∴ QC=6.设∠BAK=2α=∠ACH.
∵ ∠PNC - 1/2 ∠BAK = 60°,
∴ ∠PNC = 60°+α =∠BNH,
∴ ∠BCH = ∠ACB - ∠ACH = 60°-2α. 延长NH到点R,使RT=TN,连接BR,
∴ BT是RN的垂直平分线,
∴ BR=BN,
∴ ∠BNR = ∠BRN = 60°+α,
∴ ∠CBR = 180°-∠BCR -∠CRB=60°+α,
∴ ∠CBR = ∠CRB = 60°+α,
∴ BC = RC. 设TN=RT=a,
∵ CN=6,
∴ CT=a+6,CR=CB=2a+6.
∵ CQ=BT=6,在Rt△BTC中,BT²+TC²=BC²,
∴ 6²+(a+6)²=(2a+6)²,
∴ a₁=-6(舍),a₂=2,
∴ TN=2,
∴ BC=10.

2. (包头中考)如图,在$\odot O$中,B是$\odot O$上的一点,$∠ ABC = 120°$,弦$AC = 2\sqrt{3}$,弦BM平分$∠ ABC$交AC于点D,连接MA,MC.
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)求证:$AB+BC=BM$.

(1) 连接OA, OC, 过O作OH ⊥ AC于点H, 如图①,
∵ ∠ABC=120°,
∴ ∠AMC=180°-∠ABC=60°,
∴ ∠AOC=2∠AMC=120°,
∴ ∠AOH=1/2 ∠AOC=60°.
∵ AH=1/2 AC=√3,∠OAH=30°,
∴ OH=1/2 AO,
∴ 由勾股定理得OA=2,故⊙O的半径长为2.

(2) 在BM上截取BE = BC, 连接CE, 如图②,
∵ ∠ABC=120°,BM平分∠ABC,
∴ ∠ABM = ∠CBM = 60°.
∵ BE = BC,
∴ △EBC是等边三角形,
∴ CE = CB = BE, ∠BCE = 60°,
∴ ∠BCD+∠DCE=60°.
∵ ∠ACM = ∠ABM=60°,
∴ ∠ECM+∠DCE=60°,
∴ ∠ECM = ∠BCD.
∵ ∠CAM = ∠CBM = 60°,∠ACM = ∠ABM=60°,
∴ △ACM是等边三角形,
∴ AC=CM,
∴ △ACB≌△MCE,
∴ AB = ME.
∵ ME + EB = BM,
∴ AB + BC = BM.

3. 如图,BC为$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径,点M为$△ ABC$的内心,连接AM并延长交$\odot O$于点D,连接CD.
(1)求$∠ BCD$的大小;
(2)若$CD=4$,求DM的长;
(3)连接OM,若$AM=2\sqrt{2}$, $OM=\sqrt{5}$,求AC的长.

(1)
∵ BC为△ABC的外接圆⊙O的直径,
∴ ∠BAC=90°.
∵ M 为 △ABC 的内心,
∴ ∠BAD = 45°,
∴ ∠BCD = ∠BAD=45°.
(2) 如图①,连接CM,
∵ M为△ABC的内心,
∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ACM = ∠BCM.
∵ ⌢BD = ⌢BD,
∴ ∠BAD = ∠BCD,
∴ ∠DAC = ∠BCD.
∵ ∠DMC = ∠DAC + ∠ACM,∠DCM = ∠BCD+∠BCM,
∴ ∠DMC = ∠DCM,
∴ DM=CD=4.

(3) 如图②,过M作ME⊥AB于E, MF⊥BC于F, MG⊥AC于G, 则四边形AEMG是正方形.
∵ 点M是△ABC的内心,AM=2√2,
∴ AE = AG = MF = 2. 在Rt△OMF中,OF=√(OM²-MF²)=√((√5)²-2²)=1,设CF=CG=x, 则OC=OB=x+1,BF=BE=x+2,
∴ AB=x+2+2=x+4,AC=x+2,BC=2(x+1),在Rt△ABC中,AB²+AC²=BC²,
∴ (x+4)²+(x+2)²=[2(x+1)]²,解得x=4 或x=-2(舍去),
∴ AC=x+2=6.