5. 如图,在$△ ABC$中,$O$为$AC$上的一点,以点$O$为圆心,$OC$为半径的$\odot O$与$BC$相切于点$C$,过点$A$作$AD ⊥ BO$交$BO$的延长线于点$D$,且$∠ AOD = ∠ BAD$.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线;
(2)若$∠ BAD = 60°$,$\odot O$的半径为 3,则$AD =$,点$D$与$\odot O$的位置关系为.

5. (1)如图①,作 $OE ⊥ AB$ 于点 E.$\because AD ⊥ BO$,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because \odot O$ 与 BC 相切于点 C,$\therefore BC ⊥ OC$,$\therefore ∠ OCB=90°$.
$\because ∠ AOD=∠ BAD$,$\therefore ∠ EBO=90°-∠ BAD=90°-∠ AOD=∠ OAD$.$\because ∠ BOC=∠ AOD$,$\therefore ∠ CBO=90°-∠ BOC=90°-∠ AOD=∠ OAD$,$\therefore ∠ EBO=∠ CBO$.$\because ∠ OEB=∠ OCB=90°$, $OB=OB$,$\therefore △ OEB≌△ OCB(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OC$,$\therefore AB$ 是$\odot O$ 的切线.

(2)$3\sqrt{3}$ 点 D 在$\odot O$ 上 解析:如图②,作 $OE ⊥ AB$ 于点 E.$\because ∠ BAD=60°$,$\therefore ∠ AOD=∠ BAD=60°$,$\therefore ∠ OAD=90°-60°=30°$,$\therefore ∠ OAD=∠ OAE=30°$.$\because ∠ ODA=∠ OEA=90°$, $OA=OA$,$\therefore △ ODA≌△ OEA(\mathrm{AAS})$,$\therefore OD=OE=3$,$\therefore$ 点 D 在$\odot O$ 上.$\because OA=2OD=6$,$\therefore AD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.

6. (2026·无锡期中)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB,AC分别与小圆相切于点D,E.
(1)求证:AB=AC.
(2)若MN是大圆的第三条弦,且MN=AB,则MN与小圆相切吗?请说明理由.

6. (1)连接 OD,OE.$\because AB,AC$ 是小圆的两条切线,切点分别为 D,E, $\therefore AD=AE$,$AB ⊥ OD$,$AC ⊥ OE$, $\therefore AB=2AD$,$AC=2AE$,$\therefore AB=AC$.
(2) MN 与小圆相切. 理由:连接 OM,OA,过点 O 作 $OH ⊥ MN$,垂足为 H,$\therefore MN=2MH$.$\because MN=AB$,$\therefore AD=MH$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△ MHO$ 中,$\begin{cases} AD=MH, \\ OA=OM, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ MHO$,$\therefore OD=OH$,$\therefore MN$ 与小圆相切.

7. (2026·长沙期中)如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD均与⊙O相切,切点分别为E,F,G,且AB≠AD,连接OD,DO平分∠ADC.
(1)求证:AD与⊙O相切;
(2)如图,记AD与⊙O的公共点为点H,连接EG,FH交于点I,若EG⊥FH,求证:四边形ABCD对角互补;
(3)如图,⊙O的半径为r,连接AC,BD,AC与⊙O交于点M,N,BD与⊙O交于点P,Q,AC⊥BD,连接PM,令PM=x,MN=y,则y关于x的函数解析式为.(不考虑自变量x的取值范围)

7. (1)如图①,连接 OG,过点 O 作 $OH ⊥ AD$ 于点 H,$\because CD$ 与$\odot O$ 相切,$\therefore OG ⊥ CD$,又 DO 平分 $∠ ADC$,$\therefore OG=OH$,$\therefore AD$ 与$\odot O$ 相切.

(2)如图②,连接 OE,OF,OG,OH,HG,$\because \odot O$ 是四边形 ABCD 的内切圆,$\therefore OE ⊥ AB$,$OF ⊥ BC$,$OG ⊥ CD$, $OH ⊥ AD$,$\therefore ∠ OEA=∠ OHA=90°$, 在四边形 AEOH 中,$∠ A+∠ EOH=360°-90°-90°=180°$, 同理可证,$∠ FOG+∠ C=180°$.$\because EG ⊥ FH$,$\therefore ∠ IGH+∠ IHG=90°$.$\because ∠ EOH=2∠ EGH$, $∠ GOF=2∠ GHF$,$\therefore ∠ FOG+∠ EOH=180°$,$\therefore ∠ A+∠ C=180°$,$\therefore ∠ B+∠ D=180°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 对角互补.
(3)$y=\frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{r}$ 解析: $\because \odot O$ 是四边形 ABCD 的内切圆,$\therefore AB+CD=AD+BC$ ①,记 AC 与 BD 的交点为点 T,$\because AC ⊥ BD$,$\therefore AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=AT^2+BT^2+CT^2+DT^2$ ②,由①②可得 $AB· CD=AD· BC$,设 $AB+CD=AD+BC=m$,$AB· CD=AD· BC=n$,$\therefore AB,CD$ 和 $AD,BC$ 都是方程 $x^2-mx+n=0$ 的两根. 又 $AB≠ AD$,$\therefore AB=BC$,$AD=CD$,又 $AC ⊥ BD$,$\therefore BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore PQ$ 为直径,连接 MQ,如图③,则 $∠ PMQ=90°$, $\therefore MQ=\sqrt{PQ^2-PM^2}=\sqrt{4r^2-x^2}$,$\therefore MT=\frac{PM· MQ}{PQ}=\frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{2r}$.$\because PQ$ 为直径,$AC ⊥ BD$,$\therefore MN=2MT$ $\therefore y=\frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{r}$.