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1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$E$为$AB$上的一点,$DE=DC$,以$D$为圆心,$DB$长为半径作$\odot D$,$AB=5$,$EB=3$.
(1)求证:$AC$是$\odot D$的切线;
(2)求线段$AC$的长.
(1)求证:$AC$是$\odot D$的切线;
(2)求线段$AC$的长.
答案
1. (1)过点 D 作 $DF ⊥ AC$ 于 F, $\because ∠ B=90°$,AD 平分 $∠ BAC$, $DF ⊥ AC$,$\therefore BD=DF$,$\therefore AC$ 是$\odot D$ 的切线.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FDC$ 中, $\because BD = DF$, $DE = DC$, $\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ FDC(\mathrm{HL})$,$\therefore EB = FC$. 易证得 $AB=AF$, $\therefore AB+EB=AF+FC$,即 $AB+EB=AC$,$\therefore AC=5+3=8$.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FDC$ 中, $\because BD = DF$, $DE = DC$, $\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ FDC(\mathrm{HL})$,$\therefore EB = FC$. 易证得 $AB=AF$, $\therefore AB+EB=AF+FC$,即 $AB+EB=AC$,$\therefore AC=5+3=8$.
2. (2024·镇江中考)如图,将$△ ABC$沿过点A的直线翻折并展开,点C的对应点$C'$落在边AB上,折痕为AD,点O在边AB上,$\odot O$经过点A,D.若$∠ ACB=90°$,判断BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
2. BC 与$\odot O$相切.理由:如图,连接 OD.$\because OA=OD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$.$\because$ 图形沿过点 A 的直线翻折,点 C 的对应点 $C'$ 落在边 AB 上,$\therefore ∠ CAD=∠ OAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ ODA$,$\therefore AC// OD$.
$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ODC=90°$,即 $OD ⊥ BC$,$\therefore BC$ 与$\odot O$相切.
3. (潍坊中考)如图,BD为△ABC的外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C.
(1)求证:AE与⊙O相切于点A;
(2)若AE//BC,BC=2√7,AC=2√2,求AD的长.
(1)求证:AE与⊙O相切于点A;
(2)若AE//BC,BC=2√7,AC=2√2,求AD的长.
答案
3. (1)连接 OA,交 BC 于点 F,则 $OA=OD$,$\therefore ∠ D=∠ DAO$.
$\because ∠ D=∠ C$,$\therefore ∠ C=∠ DAO$.$\because ∠ BAE=∠ C$,$\therefore ∠ BAE=∠ DAO$.$\because BD$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAD=90°$,即 $∠ DAO+∠ BAO=90°$,$\therefore ∠ BAE+∠ BAO=90°$,即 $∠ OAE=90°$, $\therefore AE ⊥ OA$,$\therefore AE$ 与$\odot O$ 相切于点 A.
(2)$\because AE// BC$,$AE ⊥ OA$,$\therefore OA ⊥ BC$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$FB=\frac{1}{2}BC$, $\therefore AB=AC$.$\because BC=2\sqrt{7}$,$AC=2\sqrt{2}$,$\therefore BF=\sqrt{7}$,$AB=2\sqrt{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}=1$, 在 $\mathrm{Rt}△ OFB$ 中,$OB^2=BF^2+(OB-AF)^2$,$\therefore OB=4$,$\therefore BD=8$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{64-8}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$.
$\because ∠ D=∠ C$,$\therefore ∠ C=∠ DAO$.$\because ∠ BAE=∠ C$,$\therefore ∠ BAE=∠ DAO$.$\because BD$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAD=90°$,即 $∠ DAO+∠ BAO=90°$,$\therefore ∠ BAE+∠ BAO=90°$,即 $∠ OAE=90°$, $\therefore AE ⊥ OA$,$\therefore AE$ 与$\odot O$ 相切于点 A.
(2)$\because AE// BC$,$AE ⊥ OA$,$\therefore OA ⊥ BC$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$FB=\frac{1}{2}BC$, $\therefore AB=AC$.$\because BC=2\sqrt{7}$,$AC=2\sqrt{2}$,$\therefore BF=\sqrt{7}$,$AB=2\sqrt{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}=1$, 在 $\mathrm{Rt}△ OFB$ 中,$OB^2=BF^2+(OB-AF)^2$,$\therefore OB=4$,$\therefore BD=8$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{64-8}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$.
4. (江西中考)AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D,连接BC.
(1)如图①,连接DO,若BC//OD,求证:CD是半圆的切线;
(2)如图②,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断∠AED和∠ACD的数量关系,并证明你的结论.
(1)如图①,连接DO,若BC//OD,求证:CD是半圆的切线;
(2)如图②,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断∠AED和∠ACD的数量关系,并证明你的结论.
答案
4. (1)如图①,连接 OC,$\because AF$ 为半圆的切线,AB 为半圆的直径,$\therefore AB ⊥ AD$.$\because CD// AB$,$BC// OD$,$\therefore$ 四边形 BODC 是平行四边形,$\therefore OB=CD$.$\because OA=OB$,$\therefore CD=OA$. 又 $CD// OA$,$\therefore$ 四边形 ADCO 是平行四边形.$\because AB ⊥ AD$,$\therefore$ 平行四边形 ADCO 是矩形,$\therefore OC ⊥ CD$,$\therefore CD$ 是半圆的切线.
(2)$∠ AED+∠ ACD=90°$.证明:如图②,连接 BE,$\because AB$ 为半圆的直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,$\therefore ∠ EBA+∠ BAE=90°$.$\because AB ⊥ AD$, $\therefore ∠ DAE+∠ BAE=90°$,$\therefore ∠ ABE=∠ DAE$.$\because ∠ ACE=∠ ABE$,$\therefore ∠ ACE=∠ DAE$.$\because CD// AB$,$AB ⊥ AD$,$\therefore CD ⊥ AD$, $\therefore ∠ ADE=90°$,$\therefore ∠ DAE+∠ AED=∠ AED+∠ ACD=90°$.
