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1.(常州中考)计算$m^6 ÷ m^2$的结果是 （
A.$m^3$
B.$m^4$
C.$m^8$
D.$m^{12}$
B
）A.$m^3$
B.$m^4$
C.$m^8$
D.$m^{12}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先观察算式特征，发现是底数均为m的两个幂相除，符合同底数幂除法的适用条件；接下来回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；最后套用法则计算，将计算结果与选项比对即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$m^6 ÷ m^2 = m^{6-2} = m^4$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对同底数幂除法法则的掌握情况，牢记运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先观察算式特征，发现是底数均为m的两个幂相除，符合同底数幂除法的适用条件；接下来回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；最后套用法则计算，将计算结果与选项比对即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$m^6 ÷ m^2 = m^{6-2} = m^4$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对同底数幂除法法则的掌握情况，牢记运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.墨迹覆盖等式“$x^3$■$x=x^2(x≠0)$”中的运算符号，则覆盖的是（
A.+
B.−
C.×
D.÷
D
）A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
2.D
解析
【分析】
这道题要求确定被墨迹覆盖的运算符号，我们可以采用代入验证法解题：把四个选项的运算符号依次代入等式左边，根据整式的对应运算法则计算结果，再和等式右边的$x^2$对比，同时结合$x≠0$的前提条件，结果匹配的选项即为正确答案。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 若覆盖的是“$+$”：左边$=x^3+x$，$x^3$与$x$不是同类项，无法合并化简，结果不等于$x^2$，排除A；
2. 若覆盖的是“$-$”：左边$=x^3-x$，$x^3$与$x$不是同类项，无法合并化简，结果不等于$x^2$，排除B；
3. 若覆盖的是“$×$”：根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，左边$=x^3· x=x^{3+1}=x^4≠ x^2$，排除C；
4. 若覆盖的是“$÷$”：$x≠0$保证除数不为0，根据同底数幂的除法法则，底数不变、指数相减，左边$=x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$，和等式右边相等，符合要求。
综上，覆盖的运算符号是$÷$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查整式四则运算的计算规则，通过代入选项逐一验证即可快速得出答案，熟练掌握各类整式运算的计算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
这道题要求确定被墨迹覆盖的运算符号，我们可以采用代入验证法解题：把四个选项的运算符号依次代入等式左边，根据整式的对应运算法则计算结果，再和等式右边的$x^2$对比，同时结合$x≠0$的前提条件，结果匹配的选项即为正确答案。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 若覆盖的是“$+$”：左边$=x^3+x$，$x^3$与$x$不是同类项，无法合并化简，结果不等于$x^2$，排除A；
2. 若覆盖的是“$-$”：左边$=x^3-x$，$x^3$与$x$不是同类项，无法合并化简，结果不等于$x^2$，排除B；
3. 若覆盖的是“$×$”：根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，左边$=x^3· x=x^{3+1}=x^4≠ x^2$，排除C；
4. 若覆盖的是“$÷$”：$x≠0$保证除数不为0，根据同底数幂的除法法则，底数不变、指数相减，左边$=x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$，和等式右边相等，符合要求。
综上，覆盖的运算符号是$÷$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查整式四则运算的计算规则，通过代入选项逐一验证即可快速得出答案，熟练掌握各类整式运算的计算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3.计算：
(1)$(-x)^8 ÷ (-x)^5$；
(2)$(x-y)^7 ÷ (y-x)^6$；
(3)$(-mn)^5 ÷ (-mn)^3$。
(1)$(-x)^8 ÷ (-x)^5$；
(2)$(x-y)^7 ÷ (y-x)^6$；
(3)$(-mn)^5 ÷ (-mn)^3$。
答案
3.(1)原式$=-x^3$ (2)原式$=x-y$ (3)原式$=m^2n^2$
解析
【分析】
这三道题均属于同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先观察每道小题的底数是否一致，若底数互为相反数，可利用偶次幂的符号性质统一底数；再运用同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a\ne0$，$m、n$为正整数，$m＞n$）计算，最后化简式子、处理符号即可得到结果。
【解析】
(1) 底数均为$-x$，直接运用同底数幂除法法则计算：
原式$=(-x)^{8-5}=(-x)^3=-x^3$
(2) 底数$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，利用偶次幂的性质统一底数：$(y-x)^6=(x-y)^6$，再计算：
原式$=(x-y)^7÷(x-y)^6=(x-y)^{7-6}=x-y$
(3) 底数均为$-mn$，直接运用同底数幂除法法则计算，再化简偶次幂的符号：
原式$=(-mn)^{5-3}=(-mn)^2=m^2n^2$
【答案】
(1)$-x^3$；(2)$x-y$；(3)$m^2n^2$
【知识点】
同底数幂的除法、偶次幂的符号性质、积的乘方
【点评】
本题是整式除法的基础常规题，重点考查幂的运算性质的应用，易错点是底数互为相反数时的符号处理，熟练掌握幂的相关运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先观察每道小题的底数是否一致，若底数互为相反数，可利用偶次幂的符号性质统一底数；再运用同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a\ne0$，$m、n$为正整数，$m＞n$）计算，最后化简式子、处理符号即可得到结果。
【解析】
(1) 底数均为$-x$，直接运用同底数幂除法法则计算：
原式$=(-x)^{8-5}=(-x)^3=-x^3$
(2) 底数$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，利用偶次幂的性质统一底数：$(y-x)^6=(x-y)^6$，再计算：
原式$=(x-y)^7÷(x-y)^6=(x-y)^{7-6}=x-y$
(3) 底数均为$-mn$，直接运用同底数幂除法法则计算，再化简偶次幂的符号：
原式$=(-mn)^{5-3}=(-mn)^2=m^2n^2$
【答案】
(1)$-x^3$；(2)$x-y$；(3)$m^2n^2$
【知识点】
同底数幂的除法、偶次幂的符号性质、积的乘方
【点评】
本题是整式除法的基础常规题，重点考查幂的运算性质的应用，易错点是底数互为相反数时的符号处理，熟练掌握幂的相关运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.(模型观念)若$(x+2)^0=1$,则$x$的取值范围是（
A.$x≥ -2$
B.$x≤ -2$
C.$x≠ -2$
D.$x=-2$
C
）A.$x≥ -2$
B.$x≤ -2$
C.$x≠ -2$
D.$x=-2$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决零指数幂的取值问题，首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，一个数的0次幂才等于1。因此本题的解题突破口是保证底数x+2不等于0，通过解简单的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算规则：$a^0=1$（$a≠0$），
本题中幂的底数为$x+2$，因此需要满足底数不为0的要求：
$x+2≠0$
解得$x≠-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题是幂运算类的基础题，解题核心是牢记零指数幂中底数不能为0的限制条件，避免忽略该限制错选其他选项。
【难度系数】
0.9
要解决零指数幂的取值问题，首先要明确零指数幂的成立条件：只有当底数不为0时，一个数的0次幂才等于1。因此本题的解题突破口是保证底数x+2不等于0，通过解简单的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算规则：$a^0=1$（$a≠0$），
本题中幂的底数为$x+2$，因此需要满足底数不为0的要求：
$x+2≠0$
解得$x≠-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题是幂运算类的基础题，解题核心是牢记零指数幂中底数不能为0的限制条件，避免忽略该限制错选其他选项。
【难度系数】
0.9
5.若$(-5)^{3m+9}=1$,则$m=$
-3
.答案
5.$-3$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆幂的结果为1的常见情况：①非零数的零次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。观察本题底数为-5，既不是1也不是-1，因此只需满足零指数幂的条件即可：底数不为0（本题-5≠0，满足要求），指数为0，据此列方程求解m即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1$（$a≠0$），
已知底数$-5≠0$，因此要使$(-5)^{3m+9}=1$，只需指数为0，即：
$3m + 9 = 0$
移项得：$3m = -9$
系数化为1得：$m = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
零指数幂的运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对零指数幂性质的理解与应用，解题时先根据底数的特征排除其他幂等于1的情况，再列方程求解即可，整体思路清晰简单。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆幂的结果为1的常见情况：①非零数的零次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。观察本题底数为-5，既不是1也不是-1，因此只需满足零指数幂的条件即可：底数不为0（本题-5≠0，满足要求），指数为0，据此列方程求解m即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1$（$a≠0$），
已知底数$-5≠0$，因此要使$(-5)^{3m+9}=1$，只需指数为0，即：
$3m + 9 = 0$
移项得：$3m = -9$
系数化为1得：$m = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
零指数幂的运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对零指数幂性质的理解与应用，解题时先根据底数的特征排除其他幂等于1的情况，再列方程求解即可，整体思路清晰简单。
【难度系数】
0.8
6.计算$-6x^3 ÷ 3x^2$的结果是 （
A.$-2x$
B.$2x^2$
C.$2x^5$
D.$2x^6$
A
）A.$-2x$
B.$2x^2$
C.$2x^5$
D.$2x^6$
答案
6.A
解析
【分析】
拿到这道题首先识别考点是单项式除以单项式的运算，解题时遵循单项式除以单项式的运算规则：先将两个单项式的系数相除，所得结果作为商的系数；再将两个单项式中相同字母的幂按照同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算，最后将各部分计算结果相乘即可，运算时要注意负号的处理。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的商：$-6 ÷ 3 = -2$
2. 计算同底数幂的商：$x^3 ÷ x^2 = x^{3-2} = x$
3. 合并两部分结果得：$-2 × x = -2x$
因此计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心考查单项式除以单项式的运算规则，只要掌握系数相除、同底数幂分别相除的计算逻辑，注意符号运算的准确性，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先识别考点是单项式除以单项式的运算，解题时遵循单项式除以单项式的运算规则：先将两个单项式的系数相除，所得结果作为商的系数；再将两个单项式中相同字母的幂按照同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算，最后将各部分计算结果相乘即可，运算时要注意负号的处理。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的商：$-6 ÷ 3 = -2$
2. 计算同底数幂的商：$x^3 ÷ x^2 = x^{3-2} = x$
3. 合并两部分结果得：$-2 × x = -2x$
因此计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心考查单项式除以单项式的运算规则，只要掌握系数相除、同底数幂分别相除的计算逻辑，注意符号运算的准确性，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
7.(教材P109练习T2变式)计算：
(1)$-6x^3y^2 ÷ 2x^2y$；
(2)$(-2a^3)^2 ÷ a^2$；
(3)$(6 × 10^6) ÷ (-3 × 10^3)$。
(1)$-6x^3y^2 ÷ 2x^2y$；
(2)$(-2a^3)^2 ÷ a^2$；
(3)$(6 × 10^6) ÷ (-3 × 10^3)$。
答案
7.(1)原式$=-3xy$ (2)原式$=4a^4$ (3)原式$=-2×10^3$
解析
【分析】
本题考查整式的除法相关运算，解题思路如下：
（1）对于单项式除以单项式，分别对系数、同底数幂进行相除，再将所得结果相乘即可；
（2）运算顺序为先算乘方，利用积的乘方、幂的乘方法则化简被除式后，再按照单项式除以单项式的法则计算；
（3）科学记数法形式的除法运算，分别对系数、10的幂次进行相除，再将结果相乘即可。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则，系数、同底数幂分别相除：
原式$=(-6÷2)·(x^3÷ x^2)·(y^2÷ y)=-3xy$
(2) 先计算乘方，再计算除法：
原式$=(-2)^2·(a^3)^2÷ a^2=4a^6÷ a^2=4a^{6-2}=4a^4$
(3) 分别计算系数和10的幂次的除法：
原式$=[6÷(-3)]×(10^6÷10^3)=-2×10^{6-3}=-2×10^3$
【答案】
(1)$-3xy$；(2)$4a^4$；(3)$-2×10^3$
【知识点】
单项式除以单项式；幂的乘方与积的乘方；科学记数法运算
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，重点考查幂的运算性质和单项式除法法则的应用，计算时需注意先明确运算顺序，同时关注符号和指数的变化，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的除法相关运算，解题思路如下：
（1）对于单项式除以单项式，分别对系数、同底数幂进行相除，再将所得结果相乘即可；
（2）运算顺序为先算乘方，利用积的乘方、幂的乘方法则化简被除式后，再按照单项式除以单项式的法则计算；
（3）科学记数法形式的除法运算，分别对系数、10的幂次进行相除，再将结果相乘即可。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则，系数、同底数幂分别相除：
原式$=(-6÷2)·(x^3÷ x^2)·(y^2÷ y)=-3xy$
(2) 先计算乘方，再计算除法：
原式$=(-2)^2·(a^3)^2÷ a^2=4a^6÷ a^2=4a^{6-2}=4a^4$
(3) 分别计算系数和10的幂次的除法：
原式$=[6÷(-3)]×(10^6÷10^3)=-2×10^{6-3}=-2×10^3$
【答案】
(1)$-3xy$；(2)$4a^4$；(3)$-2×10^3$
【知识点】
单项式除以单项式；幂的乘方与积的乘方；科学记数法运算
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，重点考查幂的运算性质和单项式除法法则的应用，计算时需注意先明确运算顺序，同时关注符号和指数的变化，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
8.(教材P109练习T3变式)计算:
(1)$(6x^4 - 8x^3) ÷ (-2x^2) =$
(2)$(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy) =$
(1)$(6x^4 - 8x^3) ÷ (-2x^2) =$
$-3x^2+4x$
;(2)$(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy) =$
$-6x+2y-1$
.答案
8.(1)$-3x^2+4x$ (2)$-6x+2y-1$
解析
【分析】
这两道题均为多项式除以单项式的基础运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：首先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有项相除得到的商相加即可。运算时需注意两点：一是系数相除时要准确判断符号，若除数为负，多项式每一项的符号在相除后均会改变；二是同底数幂相除要遵循“底数不变，指数相减”的规则，避免指数运算出错。
【解析】
(1) 原式拆分为两项分别除以$-2x^2$：
$\begin{aligned}(6x^4 - 8x^3) ÷ (-2x^2)&=6x^4÷(-2x^2) + (-8x^3)÷(-2x^2)\\&=(6÷(-2))x^{4-2} + [(-8)÷(-2)]x^{3-2}\\&=-3x^2 + 4x\end{aligned}$
(2) 原式拆分为三项分别除以$-\frac{1}{2}xy$：
$\begin{aligned}(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)&=3x^2y÷(-\frac{1}{2}xy) + (-xy^2)÷(-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy÷(-\frac{1}{2}xy)\\&=[3÷(-\frac{1}{2})]x^{2-1}y^{1-1} + [(-1)÷(-\frac{1}{2})]x^{1-1}y^{2-1} + (\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{2}))x^{1-1}y^{1-1}\\&=-6x + 2y -1\end{aligned}$
【答案】
(1)$-3x^2+4x$；(2)$-6x+2y-1$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础常规题，主要考查对多项式除以单项式运算法则的掌握程度，运算的易错点是符号处理和指数计算，做题时要仔细核对每一步的运算结果，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均为多项式除以单项式的基础运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：首先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有项相除得到的商相加即可。运算时需注意两点：一是系数相除时要准确判断符号，若除数为负，多项式每一项的符号在相除后均会改变；二是同底数幂相除要遵循“底数不变，指数相减”的规则，避免指数运算出错。
【解析】
(1) 原式拆分为两项分别除以$-2x^2$：
$\begin{aligned}(6x^4 - 8x^3) ÷ (-2x^2)&=6x^4÷(-2x^2) + (-8x^3)÷(-2x^2)\\&=(6÷(-2))x^{4-2} + [(-8)÷(-2)]x^{3-2}\\&=-3x^2 + 4x\end{aligned}$
(2) 原式拆分为三项分别除以$-\frac{1}{2}xy$：
$\begin{aligned}(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)&=3x^2y÷(-\frac{1}{2}xy) + (-xy^2)÷(-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy÷(-\frac{1}{2}xy)\\&=[3÷(-\frac{1}{2})]x^{2-1}y^{1-1} + [(-1)÷(-\frac{1}{2})]x^{1-1}y^{2-1} + (\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{2}))x^{1-1}y^{1-1}\\&=-6x + 2y -1\end{aligned}$
【答案】
(1)$-3x^2+4x$；(2)$-6x+2y-1$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础常规题，主要考查对多项式除以单项式运算法则的掌握程度，运算的易错点是符号处理和指数计算，做题时要仔细核对每一步的运算结果，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
9.(教材 P111 习题 T7 变式)先化简,再求值:
$(5x^2y^3 - 4x^3y^2 + 6x) ÷ 6x$,其中 $x=-2$,
$y=2.$
$(5x^2y^3 - 4x^3y^2 + 6x) ÷ 6x$,其中 $x=-2$,
$y=2.$
答案
9.原式$=\frac{5}{6}xy^3-\frac{2}{3}x^2y^2+1$,当$x=-2,y=2$时,原式$=\frac{5}{6}×(-2)×2^3-\frac{2}{3}×(-2)^2×2^2+1=-23$
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先利用多项式除以单项式的运算法则化简原式，即把多项式的每一项分别除以单项式6x，再把所得的商相加，得到最简整式；第二步将x=-2、y=2代入化简后的整式计算结果，相比直接代入原式计算，化简后计算更简便、出错率更低。计算时要注意每一项的符号，还有同底数幂相除时指数的运算规则。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的运算法则，将原式每一项分别除以6x：
原式$=5x^2y^3÷6x - 4x^3y^2÷6x + 6x÷6x$
$=\frac{5}{6}x^{2-1}y^3 - \frac{4}{6}x^{3-1}y^2 + 1$
$=\frac{5}{6}xy^3 - \frac{2}{3}x^2y^2 + 1$
将$x=-2$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{5}{6}×(-2)×2^3 - \frac{2}{3}×(-2)^2×2^2 + 1$
$=\frac{5}{6}×(-2)×8 - \frac{2}{3}×4×4 + 1$
$=-\frac{40}{3} - \frac{32}{3} + 1$
$=-24 + 1$
$=-23$
【答案】
$-23$
【知识点】
多项式除以单项式；整式化简求值；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，核心考查多项式除以单项式的运算规则，化简后代入求值可大幅减少计算量，解题时需注意各项的符号以及幂的运算顺序，避免因粗心算错指数或符号失分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先利用多项式除以单项式的运算法则化简原式，即把多项式的每一项分别除以单项式6x，再把所得的商相加，得到最简整式；第二步将x=-2、y=2代入化简后的整式计算结果，相比直接代入原式计算，化简后计算更简便、出错率更低。计算时要注意每一项的符号，还有同底数幂相除时指数的运算规则。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的运算法则，将原式每一项分别除以6x：
原式$=5x^2y^3÷6x - 4x^3y^2÷6x + 6x÷6x$
$=\frac{5}{6}x^{2-1}y^3 - \frac{4}{6}x^{3-1}y^2 + 1$
$=\frac{5}{6}xy^3 - \frac{2}{3}x^2y^2 + 1$
将$x=-2$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{5}{6}×(-2)×2^3 - \frac{2}{3}×(-2)^2×2^2 + 1$
$=\frac{5}{6}×(-2)×8 - \frac{2}{3}×4×4 + 1$
$=-\frac{40}{3} - \frac{32}{3} + 1$
$=-24 + 1$
$=-23$
【答案】
$-23$
【知识点】
多项式除以单项式；整式化简求值；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，核心考查多项式除以单项式的运算规则，化简后代入求值可大幅减少计算量，解题时需注意各项的符号以及幂的运算顺序，避免因粗心算错指数或符号失分。
【难度系数】
0.8
10.(逆向思维)已知长方形的面积为$4a^2 -6ab +2a$，且一边长为$2a$，则其周长为（
A.$4a -3b$
B.$8a -6b$
C.$4a -3b -1$
D.$8a -6b +2$
D
）A.$4a -3b$
B.$8a -6b$
C.$4a -3b -1$
D.$8a -6b +2$
答案
10.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确长方形的面积和周长公式：长方形面积=长×宽，长方形周长=2×(长+宽)。已知面积和其中一条边长，第一步先用面积除以已知边长，通过多项式除以单项式的运算法则求出邻边的长度，第二步再将两条边的长度代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求长方形已知边的邻边长度：
已知长方形面积为$4a^2 -6ab +2a$，一条边长为$2a$，则邻边长为面积除以已知边长，即：
$\begin{aligned}(4a^2 -6ab +2a) ÷ 2a &= 4a^2÷2a -6ab÷2a +2a÷2a \\&= 2a - 3b + 1\end{aligned}$
2. 计算长方形的周长：
根据长方形周长公式，周长为2倍的邻边之和：
$\begin{aligned}周长 &= 2×(2a + 2a -3b +1) \\&= 2×(4a -3b +1) \\&= 8a -6b +2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 长方形周长与面积公式
3. 整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，解题的易错点有两个：一是多项式除以单项式时容易遗漏最后一项的运算，漏算常数项1；二是计算周长时忘记乘以2，要注意运算的完整性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确长方形的面积和周长公式：长方形面积=长×宽，长方形周长=2×(长+宽)。已知面积和其中一条边长，第一步先用面积除以已知边长，通过多项式除以单项式的运算法则求出邻边的长度，第二步再将两条边的长度代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求长方形已知边的邻边长度：
已知长方形面积为$4a^2 -6ab +2a$，一条边长为$2a$，则邻边长为面积除以已知边长，即：
$\begin{aligned}(4a^2 -6ab +2a) ÷ 2a &= 4a^2÷2a -6ab÷2a +2a÷2a \\&= 2a - 3b + 1\end{aligned}$
2. 计算长方形的周长：
根据长方形周长公式，周长为2倍的邻边之和：
$\begin{aligned}周长 &= 2×(2a + 2a -3b +1) \\&= 2×(4a -3b +1) \\&= 8a -6b +2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 长方形周长与面积公式
3. 整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，解题的易错点有两个：一是多项式除以单项式时容易遗漏最后一项的运算，漏算常数项1；二是计算周长时忘记乘以2，要注意运算的完整性。
【难度系数】
0.7
11.(1)若$a^x ÷ a^3 · a^5 = a^6$，则$x=$
(2)已知$3^a =10,9^b=8$，则$3^a ÷ 3^{2b}$的值为
4
；(2)已知$3^a =10,9^b=8$，则$3^a ÷ 3^{2b}$的值为
$\frac{5}{4}$
。答案
11.(1)4 (2)$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
(1)本题考查同底数幂的乘除混合运算，解题思路是先根据同底数幂“相乘指数相加、相除指数相减”的运算法则，将左边的式子化简为底数为a的幂的形式，再根据“两个同底数幂相等时，指数相等”列方程求解x的值。
(2)本题考查幂的乘方的逆用及同底数幂的除法运算，解题思路是先利用幂的乘方法则将$9^b$转化为$3^{2b}$，再根据同底数幂的除法法则将待求式变形为$3^a$与$3^{2b}$的商，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)根据同底数幂的乘除运算法则：
左边 = $a^x ÷ a^3 · a^5 = a^{x - 3 + 5} = a^{x + 2}$
已知左边 = $a^6$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$x + 2 = 6$
解得 $x = 4$
(2)根据幂的乘方法则：$9^b = (3^2)^b = 3^{2b}$，已知$9^b=8$，因此$3^{2b}=8$。
再根据同底数幂的除法法则：
$3^a ÷ 3^{2b} = \frac{3^a}{3^{2b}}$
代入$3^a=10$，$3^{2b}=8$，可得：
原式 = $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
【答案】
(1)4；(2)$\frac{5}{4}$
【知识点】
1.同底数幂的乘除法运算
2.幂的乘方的逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，能准确对幂的形式进行等价变形，计算时注意指数的加减规则不要混淆即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
(1)本题考查同底数幂的乘除混合运算，解题思路是先根据同底数幂“相乘指数相加、相除指数相减”的运算法则，将左边的式子化简为底数为a的幂的形式，再根据“两个同底数幂相等时，指数相等”列方程求解x的值。
(2)本题考查幂的乘方的逆用及同底数幂的除法运算，解题思路是先利用幂的乘方法则将$9^b$转化为$3^{2b}$，再根据同底数幂的除法法则将待求式变形为$3^a$与$3^{2b}$的商，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)根据同底数幂的乘除运算法则：
左边 = $a^x ÷ a^3 · a^5 = a^{x - 3 + 5} = a^{x + 2}$
已知左边 = $a^6$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$x + 2 = 6$
解得 $x = 4$
(2)根据幂的乘方法则：$9^b = (3^2)^b = 3^{2b}$，已知$9^b=8$，因此$3^{2b}=8$。
再根据同底数幂的除法法则：
$3^a ÷ 3^{2b} = \frac{3^a}{3^{2b}}$
代入$3^a=10$，$3^{2b}=8$，可得：
原式 = $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
【答案】
(1)4；(2)$\frac{5}{4}$
【知识点】
1.同底数幂的乘除法运算
2.幂的乘方的逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，能准确对幂的形式进行等价变形，计算时注意指数的加减规则不要混淆即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
