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10.若$M=(x-3)(x-5),N=(x-2)(x-6),$
则$M$与$N$的大小关系为
则$M$与$N$的大小关系为
$M＞N$
.答案
10.$M＞N$
解析
【分析】
要比较两个代数式的大小，常用作差法：将两个代数式相减，判断差的正负即可得出大小关系——若差＞0，则被减数更大；若差=0，则两式相等；若差＜0，则减数更大。本题先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再计算M-N，化简后判断差的正负就能得到结果。
【解析】
解：先根据多项式乘多项式法则展开两个式子：
$M=(x-3)(x-5)=x^2-5x-3x+15=x^2-8x+15$
$N=(x-2)(x-6)=x^2-6x-2x+12=x^2-8x+12$
再计算$M-N$：
$M-N=(x^2-8x+15)-(x^2-8x+12)$
去括号得：$M-N=x^2-8x+15-x^2+8x-12$
合并同类项得：$M-N=3$
$\because 3＞0$，即$M-N＞0$
$\therefore M＞N$
【答案】
$M＞N$
【知识点】
多项式乘多项式运算；作差法比较大小；整式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查多项式乘法的计算能力和作差法的应用，计算时注意多项式乘多项式要逐项相乘，去括号时注意符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式的大小，常用作差法：将两个代数式相减，判断差的正负即可得出大小关系——若差＞0，则被减数更大；若差=0，则两式相等；若差＜0，则减数更大。本题先利用多项式乘多项式的法则分别展开M、N，再计算M-N，化简后判断差的正负就能得到结果。
【解析】
解：先根据多项式乘多项式法则展开两个式子：
$M=(x-3)(x-5)=x^2-5x-3x+15=x^2-8x+15$
$N=(x-2)(x-6)=x^2-6x-2x+12=x^2-8x+12$
再计算$M-N$：
$M-N=(x^2-8x+15)-(x^2-8x+12)$
去括号得：$M-N=x^2-8x+15-x^2+8x-12$
合并同类项得：$M-N=3$
$\because 3＞0$，即$M-N＞0$
$\therefore M＞N$
【答案】
$M＞N$
【知识点】
多项式乘多项式运算；作差法比较大小；整式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查多项式乘法的计算能力和作差法的应用，计算时注意多项式乘多项式要逐项相乘，去括号时注意符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
11.【阅读理解】四个数$a,b,c,d$排列成$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad - bc$。若$\begin{vmatrix} x-2 & x+3 \\ x+1 & x-2 \end{vmatrix}=13$，则$x=$ ______ 。
答案
11.$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路分为三步：第一步，准确理解二阶行列式的运算法则，将给定的行列式转化为整式运算的等式；第二步，运用多项式乘多项式的法则展开等式两边的整式，再通过去括号、合并同类项将等式化简为一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可得到x的值。计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
$(x-2)(x-2) - (x+3)(x+1) = 13$
分别展开多项式乘积：
左边第一项：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
左边第二项：$(x+3)(x+1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$
代入原式得：
$x^2 - 4x + 4 - (x^2 + 4x + 3) = 13$
去括号：
$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 = 13$
合并同类项：
$-8x + 1 = 13$
移项计算：
$-8x = 13 - 1$
$-8x = 12$
解得：
$x = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，多项式乘多项式，解一元一次方程
【点评】
本题将新定义运算与整式运算结合，解题关键是正确转化新运算为熟悉的整式运算，计算时要格外注意去括号的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题思路分为三步：第一步，准确理解二阶行列式的运算法则，将给定的行列式转化为整式运算的等式；第二步，运用多项式乘多项式的法则展开等式两边的整式，再通过去括号、合并同类项将等式化简为一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可得到x的值。计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
$(x-2)(x-2) - (x+3)(x+1) = 13$
分别展开多项式乘积：
左边第一项：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
左边第二项：$(x+3)(x+1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$
代入原式得：
$x^2 - 4x + 4 - (x^2 + 4x + 3) = 13$
去括号：
$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 = 13$
合并同类项：
$-8x + 1 = 13$
移项计算：
$-8x = 13 - 1$
$-8x = 12$
解得：
$x = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，多项式乘多项式，解一元一次方程
【点评】
本题将新定义运算与整式运算结合，解题关键是正确转化新运算为熟悉的整式运算，计算时要格外注意去括号的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
12.(抽象能力)用图中所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为$(2a+b)$，宽为$(3a+2b)$的长方形，需要A类卡片
6
张，B类卡片7
张，C类卡片2
张.答案
12.6 7 2
解析
【分析】
要解决本题，可利用面积相等的思路推导：拼成的大长方形的总面积等于所有使用的A、B、C三类卡片的面积之和。首先先分别计算三类卡片的面积，再计算大长方形的面积并按多项式乘多项式法则展开，最后将展开式中各项的系数与对应卡片的面积匹配，即可得到各类卡片的需求量。
【解析】
第一步：计算三类卡片的面积
A类是边长为$a$的正方形，面积为$S_A=a· a=a^2$；
B类是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$S_B=a· b=ab$；
C类是边长为$b$的正方形，面积为$S_C=b· b=b^2$。
第二步：计算大长方形的面积并展开
长为$(2a+b)$、宽为$(3a+2b)$的长方形面积为：
$\begin{aligned}S&=(2a+b)(3a+2b)\\&=2a·3a + 2a·2b + b·3a + b·2b\\&=6a^2 +4ab +3ab +2b^2\\&=6a^2 +7ab +2b^2\end{aligned}$
第三步：匹配系数得卡片数量
$a^2$项的系数为6，即需要A类卡片6张；$ab$项的系数为7，即需要B类卡片7张；$b^2$项的系数为2，即需要C类卡片2张。
【答案】
6；7；2
【知识点】
多项式乘多项式；面积法应用；整式运算
【点评】
本题将代数运算与几何图形面积相结合，既考查了多项式乘法法则的掌握程度，也体现了数形结合的思想，能够帮助理解整式乘法的几何意义，解题的关键是明确总面积等于各部分面积之和，展开多项式时注意不要漏乘、错算系数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可利用面积相等的思路推导：拼成的大长方形的总面积等于所有使用的A、B、C三类卡片的面积之和。首先先分别计算三类卡片的面积，再计算大长方形的面积并按多项式乘多项式法则展开，最后将展开式中各项的系数与对应卡片的面积匹配，即可得到各类卡片的需求量。
【解析】
第一步：计算三类卡片的面积
A类是边长为$a$的正方形，面积为$S_A=a· a=a^2$；
B类是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$S_B=a· b=ab$；
C类是边长为$b$的正方形，面积为$S_C=b· b=b^2$。
第二步：计算大长方形的面积并展开
长为$(2a+b)$、宽为$(3a+2b)$的长方形面积为：
$\begin{aligned}S&=(2a+b)(3a+2b)\\&=2a·3a + 2a·2b + b·3a + b·2b\\&=6a^2 +4ab +3ab +2b^2\\&=6a^2 +7ab +2b^2\end{aligned}$
第三步：匹配系数得卡片数量
$a^2$项的系数为6，即需要A类卡片6张；$ab$项的系数为7，即需要B类卡片7张；$b^2$项的系数为2，即需要C类卡片2张。
【答案】
6；7；2
【知识点】
多项式乘多项式；面积法应用；整式运算
【点评】
本题将代数运算与几何图形面积相结合，既考查了多项式乘法法则的掌握程度，也体现了数形结合的思想，能够帮助理解整式乘法的几何意义，解题的关键是明确总面积等于各部分面积之和，展开多项式时注意不要漏乘、错算系数。
【难度系数】
0.7
13.(教材 P110 习题 T3 变式)计算：
(1)(咸宁中考)$(a+3)(a-2)-a(a-1)$；
(2)$(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1)$；
(3)$2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6)$.
(1)(咸宁中考)$(a+3)(a-2)-a(a-1)$；
(2)$(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1)$；
(3)$2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6)$.
答案
(1)原式$=2a-6$
(2)原式$=4y^2-3xy-6x-2y$
(3)原式$=7x^2+29x-6$
(2)原式$=4y^2-3xy-6x-2y$
(3)原式$=7x^2+29x-6$
解析
【分析】
这是整式混合运算类题目，解题遵循“先乘除后加减”的顺序：第一步先根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开所有乘积项，注意不要漏乘任意一项；第二步去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；第三步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先分别展开两个乘法项：
$(a+3)(a-2)=a^2-2a+3a-6=a^2+a-6$
$a(a-1)=a^2-a$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a^2+a-6)-(a^2-a)\\&=a^2+a-6-a^2+a\\&=2a-6\end{aligned}$
(2) 先分别展开两个乘积项：
$(x+2y)(y-2)=xy-2x+2y^2-4y$
$(2y-4x)(y+1)=2y^2+2y-4xy-4x$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(xy-2x+2y^2-4y)+(2y^2+2y-4xy-4x)\\&=xy-2x+2y^2-4y+2y^2+2y-4xy-4x\\&=4y^2-3xy-6x-2y\end{aligned}$
(3) 先分别计算两个带系数的乘积项：
先算$(x+2)(2x+3)=2x^2+3x+4x+6=2x^2+7x+6$，乘2得：$2(2x^2+7x+6)=4x^2+14x+12$
再算$(1-x)(x+6)=x+6-x^2-6x=-x^2-5x+6$，乘3得：$3(-x^2-5x+6)=-3x^2-15x+18$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2+14x+12)-(-3x^2-15x+18)\\&=4x^2+14x+12+3x^2+15x-18\\&=7x^2+29x-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a-6$
(2)$4y^2-3xy-6x-2y$
(3)$7x^2+29x-6$
【知识点】
多项式乘多项式；单项式乘多项式；整式的加减
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法法则的应用和合并同类项的能力，运算过程中要注意去括号的符号变化，避免因符号错误或者漏乘项导致结果出错。
【难度系数】
0.7
这是整式混合运算类题目，解题遵循“先乘除后加减”的顺序：第一步先根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开所有乘积项，注意不要漏乘任意一项；第二步去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；第三步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先分别展开两个乘法项：
$(a+3)(a-2)=a^2-2a+3a-6=a^2+a-6$
$a(a-1)=a^2-a$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a^2+a-6)-(a^2-a)\\&=a^2+a-6-a^2+a\\&=2a-6\end{aligned}$
(2) 先分别展开两个乘积项：
$(x+2y)(y-2)=xy-2x+2y^2-4y$
$(2y-4x)(y+1)=2y^2+2y-4xy-4x$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(xy-2x+2y^2-4y)+(2y^2+2y-4xy-4x)\\&=xy-2x+2y^2-4y+2y^2+2y-4xy-4x\\&=4y^2-3xy-6x-2y\end{aligned}$
(3) 先分别计算两个带系数的乘积项：
先算$(x+2)(2x+3)=2x^2+3x+4x+6=2x^2+7x+6$，乘2得：$2(2x^2+7x+6)=4x^2+14x+12$
再算$(1-x)(x+6)=x+6-x^2-6x=-x^2-5x+6$，乘3得：$3(-x^2-5x+6)=-3x^2-15x+18$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2+14x+12)-(-3x^2-15x+18)\\&=4x^2+14x+12+3x^2+15x-18\\&=7x^2+29x-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a-6$
(2)$4y^2-3xy-6x-2y$
(3)$7x^2+29x-6$
【知识点】
多项式乘多项式；单项式乘多项式；整式的加减
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法法则的应用和合并同类项的能力，运算过程中要注意去括号的符号变化，避免因符号错误或者漏乘项导致结果出错。
【难度系数】
0.7
14.先化简，再求值：
(1)$(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)$，其中$x=-2$；
(2)已知$x=\frac{1}{3}$，求$(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)$的值。
(1)$(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)$，其中$x=-2$；
(2)已知$x=\frac{1}{3}$，求$(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)$的值。
答案
(1)原式$=22x-23$,当$x=-2$时,原式$=-67$
(2)原式$=3x-1$,当$x=\frac{1}{3}$时,原式$=0$
(2)原式$=3x-1$,当$x=\frac{1}{3}$时,原式$=0$
解析
【分析】
这类整式化简求值题遵循“先化简、后求值”的思路，可减少计算量、降低出错率。解题时第一步先依据多项式乘多项式、单项式乘多项式、平方差公式的运算法则，分别展开原式中的乘法项；第二步去括号时要注意括号前的符号，若为减号则括号内各项需变号；第三步合并同类项得到最简整式，最后将给定的x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
(1) 先展开多项式乘法：
$(3x+1)(2x-3)=3x·2x + 3x·(-3) + 1·2x + 1·(-3)=6x^2-9x+2x-3=6x^2-7x-3$
$(6x-5)(x-4)=6x· x + 6x·(-4) + (-5)· x + (-5)·(-4)=6x^2-24x-5x+20=6x^2-29x+20$
代入原式去括号合并同类项：
原式$=(6x^2-7x-3)-(6x^2-29x+20)$
$=6x^2-7x-3-6x^2+29x-20$
$=22x-23$
将$x=-2$代入化简后的式子：
原式$=22×(-2)-23=-44-23=-67$
(2) 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1$
$x(3-4x)=3x-4x^2$
代入原式合并同类项：
原式$=4x^2-1+3x-4x^2=3x-1$
将$x=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3×\frac{1}{3}-1=1-1=0$
【答案】
(1)化简结果为$22x-23$，求值结果为$-67$；
(2)化简结果为$3x-1$，求值结果为$0$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简求值，平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法的基本运算能力，解题的关键是熟练掌握各类整式乘法的运算法则，去括号时注意符号变化，先化简再代入的思路能大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
这类整式化简求值题遵循“先化简、后求值”的思路，可减少计算量、降低出错率。解题时第一步先依据多项式乘多项式、单项式乘多项式、平方差公式的运算法则，分别展开原式中的乘法项；第二步去括号时要注意括号前的符号，若为减号则括号内各项需变号；第三步合并同类项得到最简整式，最后将给定的x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
(1) 先展开多项式乘法：
$(3x+1)(2x-3)=3x·2x + 3x·(-3) + 1·2x + 1·(-3)=6x^2-9x+2x-3=6x^2-7x-3$
$(6x-5)(x-4)=6x· x + 6x·(-4) + (-5)· x + (-5)·(-4)=6x^2-24x-5x+20=6x^2-29x+20$
代入原式去括号合并同类项：
原式$=(6x^2-7x-3)-(6x^2-29x+20)$
$=6x^2-7x-3-6x^2+29x-20$
$=22x-23$
将$x=-2$代入化简后的式子：
原式$=22×(-2)-23=-44-23=-67$
(2) 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1$
$x(3-4x)=3x-4x^2$
代入原式合并同类项：
原式$=4x^2-1+3x-4x^2=3x-1$
将$x=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3×\frac{1}{3}-1=1-1=0$
【答案】
(1)化简结果为$22x-23$，求值结果为$-67$；
(2)化简结果为$3x-1$，求值结果为$0$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简求值，平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法的基本运算能力，解题的关键是熟练掌握各类整式乘法的运算法则，去括号时注意符号变化，先化简再代入的思路能大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
15.(运算能力)小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题:$(3x+a)(2x+b)$，由于小马抄错了$a$的符号，得到的结果为$6x^2 -17x +12$；由于小睿漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$3x^2 -5x -12$。
(1)求出$a$，$b$的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果。
(1)求出$a$，$b$的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果。
答案
(1)$∵$小马抄错了$a$的符号,得到的结果为$6x^2-17x+12$,$∴(3x-a)(2x+b)=6x^2-17x+12$,$∴3b-2a=-17$;$∵$小睿漏抄了第二个多项式中$x$的系数,得到的结果为$3x^2-5x-12$,$∴(3x+a)(x+b)=3x^2-5x-12$,$∴a+3b=-5$,联立方程组$\begin{cases}3b-2a=-17,\\a+3b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=4,\\b=-3,\end{cases}$$∴a=4,b=-3$
(2)$∵a=4,b=-3$,$∴(3x+4)(2x-3)=6x^2-9x+8x-12=6x^2-x-12$
(2)$∵a=4,b=-3$,$∴(3x+4)(2x-3)=6x^2-9x+8x-12=6x^2-x-12$
解析
【分析】
我们可以结合两人抄错条件但计算过程正确的特点解题：首先分别写出两人抄错后对应的整式乘法算式，再根据多项式乘多项式法则展开，利用等式两边对应项系数相等列出关于a、b的两个方程，联立成方程组即可求解a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按多项式乘多项式法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 小马抄错了a的符号，他实际计算的算式为$(3x-a)(2x+b)$，展开可得：
$(3x-a)(2x+b)=6x^2+(3b-2a)x-ab$
和他得到的结果$6x^2-17x+12$对应一次项系数相等，得：$3b-2a=-17$ ①
小睿漏抄了第二个多项式中x的系数，他实际计算的算式为$(3x+a)(x+b)$，展开可得：
$(3x+a)(x+b)=3x^2+(a+3b)x+ab$
和他得到的结果$3x^2-5x-12$对应一次项系数相等，得：$a+3b=-5$ ②
联立①②得方程组$\begin{cases}3b-2a=-17\\a+3b=-5\end{cases}$
用②-①得：$3a=12$，解得$a=4$，把$a=4$代入②得$4+3b=-5$，解得$b=-3$。
(2) 把$a=4$，$b=-3$代入原式$(3x+a)(2x+b)$得：
$(3x+4)(2x-3)=6x^2-9x+8x-12=6x^2-x-12$
【答案】
(1)$a=4$，$b=-3$
(2)$6x^2 - x - 12$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，系数对应相等
【点评】
本题以错中求解为载体考查整式乘法和方程思想的应用，解题核心是准确梳理抄错条件对应的算式变化，通过系数相等建立方程，能够有效锻炼运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
我们可以结合两人抄错条件但计算过程正确的特点解题：首先分别写出两人抄错后对应的整式乘法算式，再根据多项式乘多项式法则展开，利用等式两边对应项系数相等列出关于a、b的两个方程，联立成方程组即可求解a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按多项式乘多项式法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 小马抄错了a的符号，他实际计算的算式为$(3x-a)(2x+b)$，展开可得：
$(3x-a)(2x+b)=6x^2+(3b-2a)x-ab$
和他得到的结果$6x^2-17x+12$对应一次项系数相等，得：$3b-2a=-17$ ①
小睿漏抄了第二个多项式中x的系数，他实际计算的算式为$(3x+a)(x+b)$，展开可得：
$(3x+a)(x+b)=3x^2+(a+3b)x+ab$
和他得到的结果$3x^2-5x-12$对应一次项系数相等，得：$a+3b=-5$ ②
联立①②得方程组$\begin{cases}3b-2a=-17\\a+3b=-5\end{cases}$
用②-①得：$3a=12$，解得$a=4$，把$a=4$代入②得$4+3b=-5$，解得$b=-3$。
(2) 把$a=4$，$b=-3$代入原式$(3x+a)(2x+b)$得：
$(3x+4)(2x-3)=6x^2-9x+8x-12=6x^2-x-12$
【答案】
(1)$a=4$，$b=-3$
(2)$6x^2 - x - 12$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，系数对应相等
【点评】
本题以错中求解为载体考查整式乘法和方程思想的应用，解题核心是准确梳理抄错条件对应的算式变化，通过系数相等建立方程，能够有效锻炼运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
