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12.(分类讨论的思想)若$(x - 5)^x = 1$，则整数$x$的值可能是
0或4或6
。答案
12.0或4或6
解析
【分析】
要使整数指数式的结果为1，我们可以结合幂的运算性质分三类情况讨论求解：①非零数的零次幂等于1；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。按照每类情况的限制条件列等式求解，再逐一验证是否符合要求即可，注意不要漏解。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 零指数幂情形：当指数为0且底数不为0时，幂的值为1
令$x=0$，此时底数$x-5=-5≠0$，满足$(-5)^0=1$，故$x=0$符合要求；
2. 底数为1的情形：1的任意次幂都为1
令$x-5=1$，解得$x=6$，此时$1^6=1$，故$x=6$符合要求；
3. 底数为-1的情形：-1的偶次幂为1
令$x-5=-1$，解得$x=4$，此时指数$x=4$是偶数，满足$(-1)^4=1$，故$x=4$符合要求。
综上，整数x的取值为0、4、6。
【答案】
0或4或6
【知识点】
零指数幂性质，乘方的意义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查幂的运算结果为1的三类特殊情况，解题时要做到分类标准清晰，不重不漏，尤其要注意零指数幂的底数不能为0的限制条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.7
要使整数指数式的结果为1，我们可以结合幂的运算性质分三类情况讨论求解：①非零数的零次幂等于1；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。按照每类情况的限制条件列等式求解，再逐一验证是否符合要求即可，注意不要漏解。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 零指数幂情形：当指数为0且底数不为0时，幂的值为1
令$x=0$，此时底数$x-5=-5≠0$，满足$(-5)^0=1$，故$x=0$符合要求；
2. 底数为1的情形：1的任意次幂都为1
令$x-5=1$，解得$x=6$，此时$1^6=1$，故$x=6$符合要求；
3. 底数为-1的情形：-1的偶次幂为1
令$x-5=-1$，解得$x=4$，此时指数$x=4$是偶数，满足$(-1)^4=1$，故$x=4$符合要求。
综上，整数x的取值为0、4、6。
【答案】
0或4或6
【知识点】
零指数幂性质，乘方的意义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查幂的运算结果为1的三类特殊情况，解题时要做到分类标准清晰，不重不漏，尤其要注意零指数幂的底数不能为0的限制条件，避免出现错解漏解。
【难度系数】
0.7
13.计算：
(1)$(x-y)^7 ÷ (y-x)^2 · (x-y)^3$；
(2)$-21x^2y^4 ÷ (-3xy^2) ÷ xy$；
(3)$(18x^3y^2 + x^2y^3 -12x^2y) ÷ (-6x^2y)$。
(1)$(x-y)^7 ÷ (y-x)^2 · (x-y)^3$；
(2)$-21x^2y^4 ÷ (-3xy^2) ÷ xy$；
(3)$(18x^3y^2 + x^2y^3 -12x^2y) ÷ (-6x^2y)$。
答案
13.(1)原式$=(x-y)^8$ (2)原式$=7y$ (3)原式$=-3xy-\frac{1}{6}y^2+2$
解析
【分析】
(1) 首先观察底数特点，$(y-x)^2$是偶次幂，可转化为$(x-y)^2$统一底数，再按照同底数幂乘除的运算规则：底数不变，指数相加减计算即可。
(2) 属于单项式连除运算，按从左到右的顺序，依次运用单项式除以单项式规则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式计算。
(3) 属于多项式除以单项式运算，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 先统一底数：$(y-x)^2=(x-y)^2$
原式$=(x-y)^7 ÷ (x-y)^2 · (x-y)^3$
根据同底数幂运算法则：
$=(x-y)^{7-2+3}=(x-y)^8$
(2) 按从左到右顺序计算：
第一步：$-21x^2y^4 ÷ (-3xy^2)=[(-21)÷(-3)]·x^{2-1}·y^{4-2}=7xy^2$
第二步：$7xy^2 ÷ xy=7·x^{1-1}·y^{2-1}=7y$
(3) 多项式每一项分别除以单项式：
原式$=18x^3y^2 ÷ (-6x^2y) + x^2y^3 ÷ (-6x^2y) + (-12x^2y) ÷ (-6x^2y)$
分别计算每一项的商：
$18x^3y^2 ÷ (-6x^2y)=-3xy$
$x^2y^3 ÷ (-6x^2y)=-\frac{1}{6}y^2$
$(-12x^2y) ÷ (-6x^2y)=2$
合并结果得：$-3xy-\frac{1}{6}y^2+2$
【答案】
(1)$(x-y)^8$；(2)$7y$；(3)$-3xy-\frac{1}{6}y^2+2$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、单项式除以单项式、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的基础巩固题型，核心考察整式乘除的运算规则，计算时需注意底数统一、运算顺序和符号处理，避免出现指数计算错误、漏项或符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察底数特点，$(y-x)^2$是偶次幂，可转化为$(x-y)^2$统一底数，再按照同底数幂乘除的运算规则：底数不变，指数相加减计算即可。
(2) 属于单项式连除运算，按从左到右的顺序，依次运用单项式除以单项式规则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式计算。
(3) 属于多项式除以单项式运算，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 先统一底数：$(y-x)^2=(x-y)^2$
原式$=(x-y)^7 ÷ (x-y)^2 · (x-y)^3$
根据同底数幂运算法则：
$=(x-y)^{7-2+3}=(x-y)^8$
(2) 按从左到右顺序计算：
第一步：$-21x^2y^4 ÷ (-3xy^2)=[(-21)÷(-3)]·x^{2-1}·y^{4-2}=7xy^2$
第二步：$7xy^2 ÷ xy=7·x^{1-1}·y^{2-1}=7y$
(3) 多项式每一项分别除以单项式：
原式$=18x^3y^2 ÷ (-6x^2y) + x^2y^3 ÷ (-6x^2y) + (-12x^2y) ÷ (-6x^2y)$
分别计算每一项的商：
$18x^3y^2 ÷ (-6x^2y)=-3xy$
$x^2y^3 ÷ (-6x^2y)=-\frac{1}{6}y^2$
$(-12x^2y) ÷ (-6x^2y)=2$
合并结果得：$-3xy-\frac{1}{6}y^2+2$
【答案】
(1)$(x-y)^8$；(2)$7y$；(3)$-3xy-\frac{1}{6}y^2+2$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、单项式除以单项式、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的基础巩固题型，核心考察整式乘除的运算规则，计算时需注意底数统一、运算顺序和符号处理，避免出现指数计算错误、漏项或符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
14.先化简,再求值:$(\frac{3}{4}a^{4}b^{7}+\frac{1}{2}a^{3}b^{8}-\frac{1}{9}a^{2}b^{6})÷(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}$,其中$a=1,b=-4.$
答案
14.原式$=\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-1$,当$a=1,b=-4$时,原式$=44$
解析
【分析】
解题时先遵循运算顺序，先计算除式的乘方运算，运用积的乘方、幂的乘方法则算出除式的结果；再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，化简得到最简整式；最后将a、b的取值代入最简整式计算最终结果即可。
【解析】
1. 先计算除式的乘方：
$(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}=(-\frac{1}{3})^{2}· a^{2}· (b^{3})^{2}=\frac{1}{9}a^{2}b^{6}$
2. 计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3}{4}a^{4}b^{7}+\frac{1}{2}a^{3}b^{8}-\frac{1}{9}a^{2}b^{6})÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}\\&=\frac{3}{4}a^{4}b^{7}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}+\frac{1}{2}a^{3}b^{8}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}-\frac{1}{9}a^{2}b^{6}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}\\&=\frac{27}{4}a^{2}b+\frac{9}{2}ab^{2}-1\end{aligned}$
3. 代入$a=1,b=-4$求值：
$\begin{aligned}原式&=\frac{27}{4}×1^{2}×(-4)+\frac{9}{2}×1×(-4)^{2}-1\\&=-27+72-1\\&=44\end{aligned}$
【答案】
原式$=\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-1$，当$a=1,b=-4$时，原式$=44$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；多项式除以单项式；化简求值
【点评】
本题侧重考查整式的混合运算规则，运算时要严格遵循先乘方、后除法的顺序，计算过程中需注意系数符号、同底数幂的次数计算，熟练掌握整式运算法则是解题核心。
【难度系数】
0.75
解题时先遵循运算顺序，先计算除式的乘方运算，运用积的乘方、幂的乘方法则算出除式的结果；再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，化简得到最简整式；最后将a、b的取值代入最简整式计算最终结果即可。
【解析】
1. 先计算除式的乘方：
$(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}=(-\frac{1}{3})^{2}· a^{2}· (b^{3})^{2}=\frac{1}{9}a^{2}b^{6}$
2. 计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3}{4}a^{4}b^{7}+\frac{1}{2}a^{3}b^{8}-\frac{1}{9}a^{2}b^{6})÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}\\&=\frac{3}{4}a^{4}b^{7}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}+\frac{1}{2}a^{3}b^{8}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}-\frac{1}{9}a^{2}b^{6}÷\frac{1}{9}a^{2}b^{6}\\&=\frac{27}{4}a^{2}b+\frac{9}{2}ab^{2}-1\end{aligned}$
3. 代入$a=1,b=-4$求值：
$\begin{aligned}原式&=\frac{27}{4}×1^{2}×(-4)+\frac{9}{2}×1×(-4)^{2}-1\\&=-27+72-1\\&=44\end{aligned}$
【答案】
原式$=\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-1$，当$a=1,b=-4$时，原式$=44$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；多项式除以单项式；化简求值
【点评】
本题侧重考查整式的混合运算规则，运算时要严格遵循先乘方、后除法的顺序，计算过程中需注意系数符号、同底数幂的次数计算，熟练掌握整式运算法则是解题核心。
【难度系数】
0.75
15. 情境题 现实生活 李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，发现这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：$(21x^4y^3 - \_\_\_\_\_\_ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y) = \_\_\_\_\_\_ + 5xy - y$.你能复原被污染的地方吗？请你试一试.
答案
15.被除式的第二项为$5xy · (-7x^2y) = -35x^3y^2$,商的第一项为$21x^4y^3 ÷ (-7x^2y) = -3x^2y^2$,所以被除式被污染的地方是$35x^3y^2$,商被污染的地方是$-3x^2y^2$
解析
【分析】
要复原被污染的部分，我们可以利用多项式除以单项式的运算关系：多项式除以单项式时，是把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。反过来，被除式的每一项等于商的对应项乘除式，商的每一项等于被除式的对应项除以除式。我们只需找准已知项的对应关系，分别计算两个被污染的部分即可，计算时要注意符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
① 求商的第一项：
商的第一项对应被除式的第一项除以除式，计算得：
$21x^4y^3 ÷ (-7x^2y) = [21÷(-7)]·x^{4-2}·y^{3-1} = -3x^2y^2$
② 求被除式的第二项：
商的第二项$5xy$对应被除式的第二项除以除式，因此被除式的第二项为：
$5xy × (-7x^2y) = 5×(-7)·x^{1+2}·y^{1+1} = -35x^3y^2$
观察被除式结构为$21x^4y^3 - □ + 7x^2y^2$，可知被除式的第二项为$-□$，因此$-□ = -35x^3y^2$，解得$□=35x^3y^2$。
【答案】
被除式被污染的地方是$35x^3y^2$，商被污染的地方是$-3x^2y^2$
【知识点】
多项式除以单项式、单项式乘除运算、同底数幂的运算
【点评】
本题结合实际情境考查整式除法的逆用，需要明确多项式除以单项式的运算逻辑，找准项与项之间的对应关系，计算时要格外注意符号和指数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
要复原被污染的部分，我们可以利用多项式除以单项式的运算关系：多项式除以单项式时，是把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。反过来，被除式的每一项等于商的对应项乘除式，商的每一项等于被除式的对应项除以除式。我们只需找准已知项的对应关系，分别计算两个被污染的部分即可，计算时要注意符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
① 求商的第一项：
商的第一项对应被除式的第一项除以除式，计算得：
$21x^4y^3 ÷ (-7x^2y) = [21÷(-7)]·x^{4-2}·y^{3-1} = -3x^2y^2$
② 求被除式的第二项：
商的第二项$5xy$对应被除式的第二项除以除式，因此被除式的第二项为：
$5xy × (-7x^2y) = 5×(-7)·x^{1+2}·y^{1+1} = -35x^3y^2$
观察被除式结构为$21x^4y^3 - □ + 7x^2y^2$，可知被除式的第二项为$-□$，因此$-□ = -35x^3y^2$，解得$□=35x^3y^2$。
【答案】
被除式被污染的地方是$35x^3y^2$，商被污染的地方是$-3x^2y^2$
【知识点】
多项式除以单项式、单项式乘除运算、同底数幂的运算
【点评】
本题结合实际情境考查整式除法的逆用，需要明确多项式除以单项式的运算逻辑，找准项与项之间的对应关系，计算时要格外注意符号和指数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
16. 新考向 代数推理 如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为$a$的长方体形状的无盖纸盒.如果纸盒的容积为$4a^2b + 3ab^2 - 2ab$，底面长方形的宽为$b$，求长方形纸板的周长.
答案
16.长方体纸盒的长为$(4a^2b+3ab^2-2ab)÷ab =4a+3b-2$,则长方形纸板的长为$4a+3b-2+2a=6a+3b-2$,长方形纸板的宽为$2a+b$,$∴$长方形纸板的周长为$[(6a+3b-2)+(2a+b)]×2=(8a+4b-2)×2=16a+8b-4$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆长方体容积公式：容积=长×宽×高，已知纸盒的容积、高、底面宽，可先求出纸盒底面的长；第二步，结合剪折的特点，原长方形纸板的长和宽分别比纸盒底面的长和宽多2a（四角各剪去边长为a的正方形，长和宽方向各减少2a，因此原长/宽=底面长/宽+2a），即可求出原纸板的长和宽；第三步，利用长方形周长公式计算周长即可。
【解析】
首先计算无盖纸盒底面的长：
根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}} · h = \mathrm{底面长} × \mathrm{底面宽} × h$，可得底面长$= V ÷ (\mathrm{底面宽} × h)$
代入已知条件$V=4a^2b + 3ab^2 - 2ab$，底面宽为$b$，高$h=a$：
$\begin{aligned}\mathrm{底面长}&=(4a^2b + 3ab^2 - 2ab) ÷ (a · b)\\&=(4a^2b + 3ab^2 - 2ab) ÷ ab\\&=4a + 3b - 2\end{aligned}$
接下来求原长方形纸板的长和宽：
原纸板的长 = 底面长 + 2a = $4a + 3b - 2 + 2a = 6a + 3b - 2$
原纸板的宽 = 底面宽 + 2a = $b + 2a = 2a + b$
最后计算原纸板的周长：
长方形周长$=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×[(6a + 3b - 2) + (2a + b)]\\&=2×(8a + 4b - 2)\\&=16a + 8b - 4\end{aligned}$
【答案】
$16a+8b-4$
【知识点】
整式的除法；长方体容积公式；长方形周长计算
【点评】
本题结合实际剪折场景考查代数运算能力，解题核心是明确剪折前后原纸板和纸盒各边长的对应关系，再结合几何公式和整式运算法则逐步求解，是典型的代数与几何结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，回忆长方体容积公式：容积=长×宽×高，已知纸盒的容积、高、底面宽，可先求出纸盒底面的长；第二步，结合剪折的特点，原长方形纸板的长和宽分别比纸盒底面的长和宽多2a（四角各剪去边长为a的正方形，长和宽方向各减少2a，因此原长/宽=底面长/宽+2a），即可求出原纸板的长和宽；第三步，利用长方形周长公式计算周长即可。
【解析】
首先计算无盖纸盒底面的长：
根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}} · h = \mathrm{底面长} × \mathrm{底面宽} × h$，可得底面长$= V ÷ (\mathrm{底面宽} × h)$
代入已知条件$V=4a^2b + 3ab^2 - 2ab$，底面宽为$b$，高$h=a$：
$\begin{aligned}\mathrm{底面长}&=(4a^2b + 3ab^2 - 2ab) ÷ (a · b)\\&=(4a^2b + 3ab^2 - 2ab) ÷ ab\\&=4a + 3b - 2\end{aligned}$
接下来求原长方形纸板的长和宽：
原纸板的长 = 底面长 + 2a = $4a + 3b - 2 + 2a = 6a + 3b - 2$
原纸板的宽 = 底面宽 + 2a = $b + 2a = 2a + b$
最后计算原纸板的周长：
长方形周长$=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×[(6a + 3b - 2) + (2a + b)]\\&=2×(8a + 4b - 2)\\&=16a + 8b - 4\end{aligned}$
【答案】
$16a+8b-4$
【知识点】
整式的除法；长方体容积公式；长方形周长计算
【点评】
本题结合实际剪折场景考查代数运算能力，解题核心是明确剪折前后原纸板和纸盒各边长的对应关系，再结合几何公式和整式运算法则逐步求解，是典型的代数与几何结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
