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1. [2025上海黄浦区期中] 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是 (
A.$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$
B.$a^2(a - 1) = a^3 - a^2$
C.$a^2 - 2a - 1 = a(a - 2) - 1$
D.$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$
A
)A.$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$
B.$a^2(a - 1) = a^3 - a^2$
C.$a^2 - 2a - 1 = a(a - 2) - 1$
D.$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$
答案
1.A
2. 已知多项式$x^2 + ax - 6$因式分解的结果为$(x+2)(x+b)$，则$a+b$的值为（
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
A
）A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
2.A
3.多项式①$2x^2 - x$；②$4x^2 + 1 + 4x$；③$x^2 - 4x + 4$；④$-4x^2 - 1 + 4x$.在分解因式后，结果含有相同因式的是（
A.①④
B.①②
C.③④
D.②③
A
）A.①④
B.①②
C.③④
D.②③
答案
3.A
4. 下列因式分解正确的是（
A.$ab+ac+a=a(b+c)$
B.$a^2 - 2a - 3=(a+3)(a-1)$
C.$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$
D.$a^4 -81=(a^2 +9)(a^2 -9)$
C
）A.$ab+ac+a=a(b+c)$
B.$a^2 - 2a - 3=(a+3)(a-1)$
C.$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$
D.$a^4 -81=(a^2 +9)(a^2 -9)$
答案
4.C
5. 因式分解:(1)$2a^3b^2 - 3a^2b^2 =$
(2)$x^4 - 16 =$
(3)$2ax - ax^2 - a =$
$a^2b^2(2a-3)$
;(2)$x^4 - 16 =$
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
;(3)$2ax - ax^2 - a =$
$-a(x-1)^2$
.答案
5.(1)$a^2b^2(2a-3)$ (2)$(x^2+4)(x+2)(x-2)$ (3)$-a(x-1)^2$
6. 母题 教材 P136 复习题 T3 因式分解：
(1)$9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2$；
(2)$(x-3)(x+4)+x^2 - 6x + 9$。
(1)$9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2$；
(2)$(x-3)(x+4)+x^2 - 6x + 9$。
答案
6.【解】(1)$9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2 = [3(x+2y)+2(x-y)][3(x+2y)-2(x-y)] = (3x+6y+2x-2y)(3x+6y-2x+2y) = (5x+4y)(x+8y)$。
(2)$(x-3)(x+4)+x^2-6x+9 = (x-3)(x+4)+(x-3)^2 = (x-3)[(x+4)+(x-3)] = (x-3)(2x+1)$。
(2)$(x-3)(x+4)+x^2-6x+9 = (x-3)(x+4)+(x-3)^2 = (x-3)[(x+4)+(x-3)] = (x-3)(2x+1)$。
7. [2025淄博期中] 已知$a - b = 3$，$b - c = -4$，则整式$a^2 - ac - b(a - c)$的值为（
A.$-12$
B.$-4$
C.$-3$
D.$3$
C
）A.$-12$
B.$-4$
C.$-3$
D.$3$
答案
7.C 【点拨】$\because a-b=3,b-c=-4,\therefore a-c=-1.\therefore a^2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)=3×(-1)=-3.$
8. 若二次三项式 $4a^2 - (k - 1)a + 9$ 是一个关于a的完全平方式，则k=
$-11或13$
。答案
8.$-11或13$ 【点拨】$\because 4a^2-(k-1)a+9$是一个关于a的完全平方式，$\therefore k-1=\pm12$，解得$k=13$或$-11$。
9. 实数$m$满足$(m-2025)^2 + (2026 - m)^2 = 15$，则$(m-2025)(2026 - m)$的值是
$-7$
。答案
9.$-7$ 【点拨】$\because (m-2025)^2+(2026-m)^2=15$，$\therefore [(m-2025)+(2026-m)]^2-2(m-2025)(2026-m)=15.\therefore 1-2(m-2025)(2026-m)=15.\therefore 1-15=2(m-2025)(2026-m).\therefore (m-2025)(2026-m)=-7.$
10. 新视角 结论开放题 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式$x^3 - x$可以因式分解为$x(x-1)(x+1)$，当$x=29$时，$x-1=28$，$x+1=30$，此时可以得到的数字密码为282930，292830等.根据上述方法，当$x=15$，$y=5$时，对于多项式$x^3 - xy^2$分解因式后可以形成的数字密码是
152010(答案不唯一)
（写出一个即可）.答案
10.152010(答案不唯一) 【点拨】$x^3-xy^2=x(x+y)(x-y)$，当$x=15,y=5$时，$x+y=20,x-y=10$，$\therefore$形成的密码可以是152010，151020，201510等。
11. 简便计算：$22^2 + 44 × 18 + 18^2 + 19\frac{3}{4} × 20\frac{1}{4}$
答案
11.【解】$22^2+44×18+18^2+19\frac{3}{4}×20\frac{1}{4}=22^2+2×22×18+18^2+(20-\frac{1}{4})(20+\frac{1}{4})=(22+18)^2+20^2-(\frac{1}{4})^2=40^2+400-\frac{1}{16}=1600+400-\frac{1}{16}=2000-\frac{1}{16}=1999\frac{15}{16}.$
12. 已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$，求$(m+2n)^2 - (3m-n)^2$的值.
答案
12.【解】$(m+2n)^2-(3m-n)^2=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).$
当$4m+n=40,2m-3n=5$时，原式$=-40×5=-200.$
当$4m+n=40,2m-3n=5$时，原式$=-40×5=-200.$
