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13. 对于任意自然数 $ n $，$(n+7)^2 - (n-5)^2$ 是否能被24整除？
答案
13.【解】$(n+7)^2-(n-5)^2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=(2n+2)×12=24(n+1).$
$\because n$为自然数，$\therefore (n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
$\because n$为自然数，$\therefore (n+7)^2-(n-5)^2$能被24整除。
14.若一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc = 0$,试判断该三角形的形状,并说明理由.
答案
14.【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0,$
$\therefore a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0.$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0.$
$\therefore a-b=0,b-c=0.\therefore a=b,b=c,即a=b=c.$
$\therefore$该三角形是等边三角形。
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0,$
$\therefore a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0.$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0.$
$\therefore a-b=0,b-c=0.\therefore a=b,b=c,即a=b=c.$
$\therefore$该三角形是等边三角形。
15. 已知 $ m + n = 2 $，则 $ m^2 - n^2 + 4n $ 的值为
$4$
。答案
15.$4$ 【点拨】$\because m+n=2,\therefore 原式=(m+n)(m-n)+4n=2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2(m+n)=4.$
16.若$x^2 - 4xy - y^2 = 0(y＞0)$，则$\dfrac{x}{y}=$
$2+\sqrt{5}或2-\sqrt{5}$
。答案
16.$2+\sqrt{5}或2-\sqrt{5}$
17. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”。
(1)用1张边长为$ a $的正方形卡片，2张边长为$ a,b $的长方形卡片，1张边长为$ b $的正方形卡片，拼成一个正方形(
)，观察拼图的过程，写出相应的等式：
(2)用1张边长为$ a $的正方形卡片，3张边长为$ a,b $的长方形卡片，2张边长为$ b $的正方形卡片，拼成一个长方形()，观察拼图的过程，写出相应的等式：
(3)用1张边长为$ a $的正方形卡片，6张边长为$ a,b $的长方形卡片，9张边长为$ b $的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为
(4)用4张边长为$ a,b $的长方形卡片，拼成一个大正方形(
)。若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的面积是16，则边长为$ a,b $的长方形卡片的面积是
(5)将2张边长为$ m $的正方形卡片放到1张边长为$ n $的正方形卡片内($ m＜n $)，拼成如图()所示的形状，再将3张边长为$ m $的正方形卡片放到1张边长为$ n $的正方形卡片内，拼成如图()所示的形状。若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面积大$ 2m^2 $，则$ m $与$ n $的关系为
(1)用1张边长为$ a $的正方形卡片，2张边长为$ a,b $的长方形卡片，1张边长为$ b $的正方形卡片，拼成一个正方形(
)，观察拼图的过程，写出相应的等式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
；(2)用1张边长为$ a $的正方形卡片，3张边长为$ a,b $的长方形卡片，2张边长为$ b $的正方形卡片，拼成一个长方形()，观察拼图的过程，写出相应的等式：
$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
；(3)用1张边长为$ a $的正方形卡片，6张边长为$ a,b $的长方形卡片，9张边长为$ b $的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为
$a+3b$
；(4)用4张边长为$ a,b $的长方形卡片，拼成一个大正方形(
)。若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的面积是16，则边长为$ a,b $的长方形卡片的面积是$12$
；(5)将2张边长为$ m $的正方形卡片放到1张边长为$ n $的正方形卡片内($ m＜n $)，拼成如图()所示的形状，再将3张边长为$ m $的正方形卡片放到1张边长为$ n $的正方形卡片内，拼成如图()所示的形状。若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面积大$ 2m^2 $，则$ m $与$ n $的关系为
$m=\frac{2}{5}n$
。答案
17.(1)$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
(2)$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
(3)$a+3b$ 【点拨】$\because$用1张边长为$a$的正方形卡片，6张边长为$a,b$的长方形卡片，9张边长为$b$的正方形卡片拼成一个大正方形，$\therefore$大正方形卡片的面积为$a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2$，$\therefore$大正方形的边长为$a+3b$。
(4)$12$ 【点拨】由题图可知大正方形的边长为$a+b$，中间围成的小正方形的边长为$b-a$。$\therefore$大正方形的面积为$(a+b)^2$，中间围成的小正方形的面积为$(b-a)^2$。$\because$大正方形的面积是64，$\therefore (a+b)^2=64.\therefore a+b=8$(负值已舍去)。$\because$中间围成的小正方形的面积是16，$\therefore (b-a)^2=16$。$\therefore b-a=4$(负值已舍去)。$\therefore \begin{cases}a+b=8,\\b-a=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=6,\end{cases}$$\therefore$边长为$a,b$的长方形卡片的面积是$ab=12$。
(5)$m=\frac{2}{5}n$ 【点拨】由题意得，题图④阴影部分为正方形，且边长为$2m-n$，$\therefore$该阴影部分的面积为$(2m-n)^2$。由题意得，将题图⑤中阴影部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为$n-m$，$\therefore$该长方形是正方形，$\therefore$面积为$(n-m)^2$。$\because$题图⑤中阴影部分的面积比题图④中阴影部分的面积大$2m^2$，$\therefore (n-m)^2-(2m-n)^2=2m^2$，$\therefore n^2-2mn+m^2-4m^2+4mn-n^2=2m^2$。$\therefore 2mn=5m^2$。$\because m＞0,\therefore 5m=2n.\therefore m=\frac{2}{5}n.$
(2)$a^2+3ab+2b^2=(a+2b)(a+b)$
(3)$a+3b$ 【点拨】$\because$用1张边长为$a$的正方形卡片，6张边长为$a,b$的长方形卡片，9张边长为$b$的正方形卡片拼成一个大正方形，$\therefore$大正方形卡片的面积为$a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2$，$\therefore$大正方形的边长为$a+3b$。
(4)$12$ 【点拨】由题图可知大正方形的边长为$a+b$，中间围成的小正方形的边长为$b-a$。$\therefore$大正方形的面积为$(a+b)^2$，中间围成的小正方形的面积为$(b-a)^2$。$\because$大正方形的面积是64，$\therefore (a+b)^2=64.\therefore a+b=8$(负值已舍去)。$\because$中间围成的小正方形的面积是16，$\therefore (b-a)^2=16$。$\therefore b-a=4$(负值已舍去)。$\therefore \begin{cases}a+b=8,\\b-a=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=6,\end{cases}$$\therefore$边长为$a,b$的长方形卡片的面积是$ab=12$。
(5)$m=\frac{2}{5}n$ 【点拨】由题意得，题图④阴影部分为正方形，且边长为$2m-n$，$\therefore$该阴影部分的面积为$(2m-n)^2$。由题意得，将题图⑤中阴影部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为$n-m$，$\therefore$该长方形是正方形，$\therefore$面积为$(n-m)^2$。$\because$题图⑤中阴影部分的面积比题图④中阴影部分的面积大$2m^2$，$\therefore (n-m)^2-(2m-n)^2=2m^2$，$\therefore n^2-2mn+m^2-4m^2+4mn-n^2=2m^2$。$\therefore 2mn=5m^2$。$\because m＞0,\therefore 5m=2n.\therefore m=\frac{2}{5}n.$
