7. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$a^2 + b^2 - 2a - 6b + 10 = 0$，请判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

【解】$△ ABC$为等腰三角形,理由如下：
$\because a^2 + b^2 - 2a - 6b + 10 = 0,$
$\therefore a^2 - 2a + 1 + b^2 - 6b + 9 = 0.$
$\therefore (a-1)^2 + (b-3)^2 = 0.$
$\therefore a-1=0,b-3=0$,解得$a=1,b=3.$
$\because a,b,c$是三角形的三边长，
$\therefore 3-1＜c＜3+1$,即$2＜c＜4.$
$\because c$是正整数,$\therefore c=3.$
$\therefore b=c=3. \therefore △ ABC$为等腰三角形.

8. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$b^2+2ab = c^2+2ac$.
(1)试判断$△ ABC$的形状；
(2)若$a=4,b=3$，求$△ ABC$的周长.

【解】(1)$\because b^2 + 2ab = c^2 + 2ac,$
$\therefore (b^2 - c^2) + (2ab - 2ac) = 0.$
$\therefore (b+c)(b-c) + 2a(b-c) = 0. \therefore (b-c)(b+c+2a)=0.$
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边长,$\therefore b+c+2a＞0, \therefore b-c=0,$即$b=c.$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
(2)由(1)可知$c=b=3$,
$\therefore △ ABC$的周长为$a+b+c=4+3+3=10.$

9. 新视角 项目探究题 (1)【感知】为了求代数式 $a^2 + 2a +5$ 的值，我们必须要知道 $a$ 的值.
若 $a=-1$，则这个代数式的值为 ；
若 $a=0$，则这个代数式的值为 ；
若 $a=1$，则这个代数式的值为 ；
…
可见，这个代数式的值因 $a$ 的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围.
(2)【探索】把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大(或最小)值问题.例如：
$a^2 +2a +5 = a^2 +2a +1 +4 = (a+1)^2 +4$，
∵$(a+1)^2$ 是非负数，∴这个代数式的最小值是 ，此时相应的 $a$ 的值是 .
(3)【应用】试说明代数式 $-a^2 +6a +2025$ 有最大值，并求出这个最大值及相应的 $a$ 的值.

【解】(1)4；5；8
(2)4；-1
(3)$-a^2 +6a +2025 = -(a^2 -6a) + 2025 = -(a^2 -6a +9) +9 +2025 = -(a-3)^2 +2034.$
$\because (a-3)^2 \ge 0, \therefore -(a-3)^2 \le 0.$
$\therefore -(a-3)^2 +2034 \le 2034.$
$\therefore$ 当$a=3$时,$-a^2 +6a +2025$有最大值,最大值是2034.

10. 请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题：
①$x^2 -1=(x-1)(x+1)$；
②$x^3 -1=(x-1)(x^2 +x +1)$；
③$x^4 -1=(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)$；
④$x^5 -1=(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$；
…
(1)$x^6 -1=(x-1)(\_\_\_\_\_\_)$；
(2)$\_\_\_\_\_\_=(x-1)(x^7 +x^6 +x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$；
(3)以上各等式，从左到右的变形________（填“是”或“不是”）因式分解；
(4)将$x^3 +x^2 +x +1$因式分解。

【解】(1)$x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1$
(2)$x^8 -1$
(3)是
(4)$\because x^4 -1=(x^2 +1)(x^2 -1)=(x^2 +1)(x-1)(x+1),$
$x^4 -1=(x-1)(x^3 +x^2 +x +1),$
$\therefore x^3 +x^2 +x +1=(x^2 +1)(x+1).$