1. 利用因式分解计算：
(1) $101^2 + 49^2 + 101 × 98$；
(2) $(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{9^2}) × (1 - \frac{1}{10^2})$；
(3) $100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。

(1) 原式$=101^2 + 2 × 101 × 49 + 49^2 = (101 + 49)^2 = 150^2 = 22500.$
(2) 原式$= (1+\frac{1}{2}) × (1-\frac{1}{2}) × (1+\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{3}) × (1+\frac{1}{4}) × (1-\frac{1}{4}) × \dots × (1+\frac{1}{9}) × (1-\frac{1}{9}) × (1+\frac{1}{10}) × (1-\frac{1}{10}) = \frac{3}{2} × \frac{1}{2} × \frac{4}{3} × \frac{2}{3} × \frac{5}{4} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{10}{9} × \frac{8}{9} × \frac{11}{10} × \frac{9}{10} = \frac{11}{20}.$
(3) 原式$= (100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \dots + (4^2 - 3^2) + (2^2 - 1^2) = (100 + 99) × (100 - 99) + (98 + 97) × (98 - 97) + \dots + (4 + 3) × (4 - 3) + (2 + 1) × (2 - 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + \dots + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{100 × (100 + 1)}{2} = 5050.$

2. 若k为任意整数，则$(2k+3)^2 - 4k^2$的值总能（）

A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除

B

3.一个两位数的十位上的数为$a$,个位上的数为$b$,这个两位数记作$\overline{ab}$;也可以表示成$10a+b$,一个三位数的百位上的数为$x$,十位上的数为$y$,个位上的数为$z$,这个三位数记作$\overline{xyz}$.
(1)$\overline{ab}-\overline{ba}$能被9整除吗?请说明理由;
(2)小明发现:如果$x+y+z$能被3整除,那么$\overline{xyz}$就能被3整除.请补全小明的证明思路.
小明的证明思路
$\overline{xyz}=$①
=②$+(x+y+z)$
$=3($③$)+(x+y+z)$.
∵代数式③,$(x+y+z)$都能被3整除,
∴$\overline{xyz}$能被3整除.

(1)能被9整除,理由如下：
$\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$,
易知$a-b$为整数，
$\therefore \overline{ab}-\overline{ba}$能被9整除.
(2)$100x+10y+z$；$99x+9y$；$33x+3y$

4. 已知$a,b,c$为三角形的三边长. 求证: $(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的值一定为负.

【证明】$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab) = [(a+b)^2 - c^2] · [(a-b)^2 - c^2] = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).$
$\because a,b,c$为三角形的三边长，
$\therefore a+b+c＞0,a+b-c＞0,a-b+c＞0,a-b-c＜0.$
$\therefore (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0,$
即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 ＜ 0.$
$\therefore (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的值一定为负.

5.若$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，求$m$和$n$的值.

【解】$\because m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0,$
$\therefore m^2 + 2mn + n^2 + n^2 - 6n + 9 = 0.$
$\therefore (m+n)^2 + (n-3)^2 = 0.$
$\therefore m+n=0,n-3=0. \therefore m=-3,n=3.$

6. 新考法 作差法 已知 $ P = 2x^2 + 4y + 13 $，$ Q = x^2 - y^2 + 6x - 1 $，比较 $ P, Q $ 的大小。

【解】$P-Q=(2x^2 + 4y + 13)-(x^2 - y^2 + 6x - 1)=x^2 -6x + y^2 +4y +14 = x^2 -6x +9 + y^2 +4y +4 +1 = (x-3)^2 + (y+2)^2 +1.$
$\because (x-3)^2 \ge 0,(y+2)^2 \ge 0,$
$\therefore P-Q=(x-3)^2 + (y+2)^2 +1＞0. \therefore P＞Q.$