8. 对于二次三项式 $x^2 + mx + n$，如果能将常数项$n$分解成两个因数$a,b$，使$a,b$的和恰好等于一次项系数$m$，即$ab = n, a + b = m$，就能将$x^2 + mx + n$分解因式，这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”。为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，从而进行分解。则代数式$x^2 + 2x -15$因式分解的结果为。

8. $(x-3)(x+5)$

9. 下面是某同学对多项式$(x^2 -4x +2)(x^2 -4x +6)+4$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 -4x = y$,
则原式$=(y+2)(y+6)+4$
$= y^2 +8y +16$
$=(y+4)^2$
$=(x^2 -4x +4)^2$.
回答下列问题:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请你直接写出该因式分解的最后结果: .
(2)请你仿照以上方法尝试对多项式$(m^2 -2m)(m^2 -2m +2)+1$进行因式分解.

9. 【解】(1)不彻底；$(x-2)^4$
(2)设$m^2-2m=n$,则原式$=n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2=(m^2-2m+1)^2=(m-1)^4$。

10. 阅读并解答.
在分解因式$x^2 -5x +6$时,李老师是这样做的:
$x^2 -5x +6$
$=x^2 -4x +4 -x +2$ （第一步）
$=(x-2)^2 -(x-2)$ （第二步）
$=(x-2)(x-2 -1)$ （第三步）
$=(x-2)(x-3)$. （第四步）
(1)从第一步到第二步运用了公式;
(2)从第二步到第三步运用了;
(3)仿照上面的方法分解因式:$x^2 -7x +12$.

10. 【解】(1)完全平方 (2)提公因式法
(3)$x^2-7x+12=x^2-6x+9-x+3=(x-3)^2-(x-3)=(x-3)(x-3-1)=(x-3)(x-4)$。

11.阅读下面的材料：
对于形如 $x^2 + 2ax + a^2$ 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成 $(x+a)^2$ 的形式.但对于二次三项式 $x^2 +4x -5$，就不能直接用完全平方公式分解了.对此，我们可以添上一项4，使它与 $x^2 +4x$ 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 $x^2 +4x -5=(x^2 +4x +4)-4-5=(x+2)^2 -9$.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫作配方法.
利用上述“配方法”分解因式：
(1)$x^2 -2x -15$； (2)$x^2 +4xy -5y^2$.

11. 【解】(1)$x^2-2x-15=x^2-2x+1-1-15=(x-1)^2-4^2=(x-1+4)(x-1-4)=(x+3)(x-5)$。
(2)$x^2+4xy-5y^2=x^2+4xy+4y^2-4y^2-5y^2=(x+2y)^2-(3y)^2=(x+2y+3y)(x+2y-3y)=(x+5y)(x-y)$。