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1. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（
A.$AB=AD$
B.$CA$平分$∠ BCD$
C.$AB=BD$
D.$△ BEC≌△ DEC$
C
）A.$AB=AD$
B.$CA$平分$∠ BCD$
C.$AB=BD$
D.$△ BEC≌△ DEC$
答案
1.C
2. 下列说法中错误的个数是 （
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2.B
3.[2025无锡期中]有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的（
A.三边中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上高的交点处
B
）A.三边中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上高的交点处
答案
3.B
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=52°$，$P$为$△ ABC$内一点，过点$P$的直线$MN$分别交$AB$，$BC$于点$M$，$N$，若$M$在$PA$的垂直平分线上，$N$在$PC$的垂直平分线上，则$∠ APC$的度数为（
A.$104°$
B.$116°$
C.$128°$
D.$142°$
B
）A.$104°$
B.$116°$
C.$128°$
D.$142°$
答案
4.B 【点拨】$\because ∠ABC=52^{\circ },\therefore ∠BMN+∠BNM=180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }.$
$\because M$在$PA$ 的垂直平分线上，$N$ 在 $PC$ 的垂直平分线上，$\therefore MA=MP,NP=NC,$
$\therefore ∠MAP=∠MPA,∠NPC=∠NCP,\therefore ∠BMN=∠MAP+∠MPA=2∠MPA,∠BNM=∠NCP+∠NPC=2∠NPC,$
$\therefore ∠MPA+∠NPC=\frac {1}{2}∠BMN+\frac {1}{2}∠BNM=\frac {1}{2}×128^{\circ }=64^{\circ },$
$\therefore ∠APC=180^{\circ }-(∠MPA+∠NPC)=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }.$
5. 母题 教材 P70 习题 T4 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线交AC于点D,若$△ BCD$的周长为5,BC=2,则边AB的长的取值范围为
1<AB<5
.答案
5.$1＜AB＜5$ 【点拨】$\because △BCD$的周长为$5,BC=2,\therefore BC+BD+CD=2+BD+CD=5,\therefore BD+CD=3.$
$\because AB$的垂直平分线交$AC$于点$D,\therefore AD=BD,\therefore AC=AD+CD=BD+CD=3.$
由三角形的三边关系得 $AC-BC＜AB＜AC+BC,\therefore 3-2＜AB＜3+2,$即边 $AB$ 的长的取值范围为 $1＜AB＜5.$
$\because AB$的垂直平分线交$AC$于点$D,\therefore AD=BD,\therefore AC=AD+CD=BD+CD=3.$
由三角形的三边关系得 $AC-BC＜AB＜AC+BC,\therefore 3-2＜AB＜3+2,$即边 $AB$ 的长的取值范围为 $1＜AB＜5.$
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$，$DE ⊥ BC$于点$E$，连接$AE$.
(1)求证：$△ ABD ≌ △ EBD$；
(2)求证：$BD$垂直平分$AE$；
(3)若$△ ABC$的周长为$24$，$AB=8$，求$△ CDE$的周长.
(1)求证：$△ ABD ≌ △ EBD$；
(2)求证：$BD$垂直平分$AE$；
(3)若$△ ABC$的周长为$24$，$AB=8$，求$△ CDE$的周长.
答案
6.(1)【证明】$\because BD$ 平分$∠ ABC,∠ BAC=90^{\circ },DE⊥ BC,$
$\therefore AD=DE,∠ BAD=∠ BED=90^{\circ }.$
又$\because BD=BD,\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ EBD(\mathrm{HL}).$
(2)【证明】$\because △ ABD≌△ EBD,\therefore BA=BE.$
又$\because AD=DE,\therefore BD$ 垂直平分 $AE.$
(3)【解】由(2)得 $BE=BA=8.$
$\because AD=DE,$
$\therefore △ CDE$ 的周长$=CE+CD+DE=CE+CA.$
$\because △ ABC$ 的周长为 24，
$\therefore AB+BE+CE+CA=24,$即 $8+8+CE+CA=24,$
$\therefore CE+CA=8,\therefore △ CDE$ 的周长为 8.
$\therefore AD=DE,∠ BAD=∠ BED=90^{\circ }.$
又$\because BD=BD,\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ EBD(\mathrm{HL}).$
(2)【证明】$\because △ ABD≌△ EBD,\therefore BA=BE.$
又$\because AD=DE,\therefore BD$ 垂直平分 $AE.$
(3)【解】由(2)得 $BE=BA=8.$
$\because AD=DE,$
$\therefore △ CDE$ 的周长$=CE+CD+DE=CE+CA.$
$\because △ ABC$ 的周长为 24，
$\therefore AB+BE+CE+CA=24,$即 $8+8+CE+CA=24,$
$\therefore CE+CA=8,\therefore △ CDE$ 的周长为 8.
7. 新考法 转化思想 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则（
A.$BC＞PC+AP$
B.$BC=PC+AP$
C.$BC＜PC+AP$
D.$BC≤PC+AP$
B
）A.$BC＞PC+AP$
B.$BC=PC+AP$
C.$BC＜PC+AP$
D.$BC≤PC+AP$
答案
7.B
8. 如图，线段AB，BC的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点O.若$∠ OEB=46°$，则$∠ AOC=$（
A.$92°$
B.$88°$
C.$46°$
D.$86°$
（第8题）
B
）A.$92°$
B.$88°$
C.$46°$
D.$86°$
（第8题）答案
8.B 【点拨】连接 $BO$,并延长 $BO$ 到 $P$,如图.
$\because ∠ OEB=46^{\circ },l_{1}⊥ AB,\therefore ∠ ABC=44^{\circ }.$
$\because l_1,l_2$ 分别为 $AB,BC$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OB=OC,$易证得$△ AOF≌△ BOF,$$△ BOD ≌ △ COD,\therefore ∠ A = ∠ ABO,∠ OBC = ∠ C.$
$\because ∠ AOP = ∠ A + ∠ ABO,∠ COP = ∠ C + ∠ OBC,$
$\therefore ∠ AOC = ∠ AOP + ∠ COP = ∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 2∠ ABC=2×44^{\circ }=88^{\circ }.$故选 B.
9. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，且$CD=5$，$AD=13$，直线$EF$是边$AC$的垂直平分线.若点$M$在直线$EF$上运动，连接$DM$，$CM$，则$△ CDM$周长的最小值为 （
A.8
B.16
C.18
D.20
C
）A.8
B.16
C.18
D.20
答案
9.C 【点拨】如图,连接 $AM$,$\because EF$ 是 $AC$ 的垂直平分线，$M$ 在 $EF$ 上运动，$\therefore AM=MC,$
$\therefore △ CDM$ 的周长$=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,$
$\therefore$ 要想$△ CDM$ 的周长 最小，即 $AM+ DM$ 的值最小，
$\therefore$ 当 $A,M,D$ 三点共线时,$AM+ DM$ 的值最小,此时$AM+ DM=AD=13,$
$\therefore △ CDM$ 周长的最小值为 $13+5=18.$
