10. [2024泰州期中] 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(5,5)$，点$B(1,1)$，点$C(7,1)$，若点$P$到点$A$，$B$，$C$的距离相等，则点$P$的坐标为。

10.$(4,2)$ 【点拨】$\because$ 点 $P$ 到点 $A$，$B,C$的距离相等，$\therefore$ 点 $P$ 是线段 $AB,BC$ 垂直平分线的交点，如图,故点 $P$ 的坐标为$(4,2).$

11.如图，在$△ ABC$中，$D$为$AB$中点，$DE⊥ AB$，$∠ ACE+∠ BCE=180°$，$EF⊥ BC$交$BC$于$F$，$AC=8$，$BC=12$，那么$BF=$.

11.10 【点拨】如图所示,连接 $AE$,过点 $E$ 作 $EG⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $G$.
$\because D$ 为 $AB$ 中点,$DE⊥ AB,\therefore DE$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore BE=AE.$
$\because ∠ ACE+∠ BCE=180^{\circ },∠ ACE+∠ ECG=180^{\circ },\therefore ∠ ECF=∠ ECG.$
$\because EF⊥ BC,EG ⊥ CG,\therefore EF = EG.$
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 和 $\mathrm{Rt}△ EGC$ 中,$\begin{cases} EC=EC,\\ EF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌\mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),\therefore FC=GC.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEG$ 中,$\begin{cases} BE=AE,\\ EF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEF≌\mathrm{Rt}△ AEG(\mathrm{HL}),\therefore BF=AG.$
$\because BF=BC-CF,AG=AC+CG,\therefore BC-CF=AC+CF,$即 $12-CF=8+CF,$解得 $CF=2,$
$\therefore BF=BC-CF=12-2=10.$

12. 如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(0,8),点C在AB的垂直平分线上，且∠ACB=90°,则点C的坐标为。

12.$(6,6)$或$(-2,2)$ 【点拨】分两种情况:如图①所示,过点 $C$ 作 $CD ⊥ OB$ 于 $D$,$CE ⊥ x$ 轴于 $E$,则$∠ BCA=∠ DCE=90^{\circ },\therefore ∠ BCD=∠ ACE.$
$\because$ 点 $C$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$\therefore BC = AC .$
在$△ BCD$ 与 $△ ACE$ 中，$\begin{cases} ∠ BDC=∠ AEC=90^{\circ },\\ ∠ BCD=∠ ACE,\\ BC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BCD≌ △ ACE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AE=BD,CE=CD,$易知 $OE=CD,OD=CE,\therefore OE=OD.$
又$\because OA=4,OB=8,\therefore 4+AE=8-AE,\therefore AE=2,$
$\therefore OE=OD=6,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(6,6).$
如图②所示,过点 $C$ 作 $CD ⊥ OB$ 于 $D$,$CE⊥ x$ 轴于 $E$.同理可得$△ BCD≌△ ACE,OE=CD,OD=CE,\therefore AE=BD,OE=OD,$
$\therefore 4+OE=8-OE,$
$\therefore OE=2,\therefore OD=2,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(-2,2).$
综上可知,点 $C$ 的坐标为$(6,6)$或$(-2,2).$

13. 如图，已知$△ ABC$中$BC$边的垂直平分线与$BC$交于点$D$，与$∠ BAC$的平分线交于点$E$，$EF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$，$EG ⊥ AC$于点$G$。
(1)求证：$BF=CG$；
(2)若$AB=6$，$AC=8$，求$AF$的长度。

13.(1)【证明】如图,连接 $BE$ 和 $CE$.
$\because DE$ 所在直线是 $BC$ 的垂直平分线,$\therefore BE=CE.$
$\because AE$ 平分$∠ BAC,EF⊥ AB,EG⊥ AC,\therefore ∠ BFE = ∠ EGC = 90^{\circ },EF=EG.$
在 $\mathrm{Rt}△ BFE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CGE$ 中,$\begin{cases} BE=CE,\\ EF=EG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFE≌\mathrm{Rt}△ CGE(\mathrm{HL}),\therefore BF=CG.$
(2)【解】由题意知 $∠ AFE = ∠ AGE = 90^{\circ },∠ FAE = ∠ GAE.$
在$△ AFE$ 和$△ AGE$ 中,$\begin{cases} ∠ AFE=∠ AGE,\\ ∠ FAE=∠ GAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ AFE≌△ AGE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AF=AG.$
$\because BF=CG,\therefore AB+AC=AF-BF+AG+CG=2AF.$
$\because AB=6,AC=8,\therefore AF=7.$

14. (1)如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AB+CD=AD;
(2)如图②为一家餐馆的平面区域示意图,AB,CF为走廊通道,BC为顾客用餐区域,其中∠B=∠C=90°.为了提高配菜及送餐效率,需规划一条直线型的机器人通道AD(其中点D在通道CF上),并在通道AD上设置一个机器人送餐停靠点G,使得机器人从点G出发,分别沿送餐路线G→A→B与G→D→C送至接餐点B,C的路程相等,且都等于通道AD的长度.求作通道AD和机器人送餐停靠点G.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

14.【解】(1)过点 $E$ 作 $EF⊥ AD$ 于点 $F$,如图①所示.
$\because ∠ B=∠ C=90^{\circ },\therefore EC⊥ CD,EB⊥ AB.$
$\because DE$ 平分$∠ ADC,\therefore EF=EC.$
$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore EC=EB,\therefore EF=EB.$
$\because EF=EC,ED=ED,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DEF≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),\therefore DF=DC.$
同理可得 $\mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL}),\therefore AF=AB,$
$\therefore AB+CD=AF+DF=AD.$
(2)$AD$ 即为所求通道,点 $G$ 即为所求送餐停靠点,如图②所示.