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9. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两端点均在格点上.在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画 （
A.2条
B.3条
C.5条
D.6条
C
）A.2条
B.3条
C.5条
D.6条
答案
9.C 【点拨】如图所示,这样的线段能画5条.
10.如图,将长方形ABCD沿EF翻折,点B的对应点G恰好落在DC边上,点A的对应点为点H.若∠1=20°,则∠DEF的度数为
80°
.答案
10. 80° 【点拨】
∵将长方形$ ABCD $沿$ EF $翻折,点$ B $的对应点$ G $恰好落在$ DC $边上,
∴$∠BFE=∠GFE$.
∵$∠1=20°$,
∴$∠BFG=180°-∠1=160°$,
∴$∠BFE=∠GFE=\frac{1}{2}×160°=80°$.
∵四边形$ ABCD $是长方形,
∴$AD// BC$,
∴$∠DEF=∠BFE=80°$.
∵将长方形$ ABCD $沿$ EF $翻折,点$ B $的对应点$ G $恰好落在$ DC $边上,
∴$∠BFE=∠GFE$.
∵$∠1=20°$,
∴$∠BFG=180°-∠1=160°$,
∴$∠BFE=∠GFE=\frac{1}{2}×160°=80°$.
∵四边形$ ABCD $是长方形,
∴$AD// BC$,
∴$∠DEF=∠BFE=80°$.
11.[2025盐城期中]如图，$∠ AOB=45°$，点$M$，$N$分别在射线$OA$，$OB$上，$MN=4$，$△ OMN$的面积为$3$，$P$是直线$MN$上的动点，点$P$关于$OA$对称的点为$P_1$，点$P$关于$OB$对称的点为$P_2$，当点$P$在直线$NM$上运动时，$△ OP_1P_2$的面积最小值为
$\frac{9}{8}$
。答案
11. $\frac{9}{8}$ 【点拨】如图,连接$ OP $,过点$ O $作$ OH⊥MN $交$ NM $的延长线于$ H $,
∵$S_{△OMN}=\frac{1}{2}MN·OH=3$,且$ MN=4 $,
∴$OH=\frac{3}{2}$.
∵点$ P $关于$ OA $对称的点为$ P_1 $,点$ P $关于$ OB $对称的点为$ P_2 $,
∴$∠AOP=∠AOP_1,∠BOP=∠BOP_2,OP_1=OP=OP_2$.
∵$∠AOB=45°$,
∴$∠P_1OP_2=2（∠AOP + ∠BOP）=2∠AOB=90°$,
∴$△OP_1P_2$的面积为$\frac{1}{2}OP_1 · OP_2=\frac{1}{2}OP^2$.由垂线段最短可知,当点$ P $与点$ H $重合时,$ OP $取得最小值,最小值为$ OH=\frac{3}{2}$,
∴$△OP_1P_2$的面积的最小值为$\frac{1}{2}×(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{8}$.
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$D$为$AC$上一点，$E$为$BC$上一点，点$A$和点$E$关于$BD$对称，点$B$和点$C$关于$DE$对称.求$∠ ABC$和$∠ C$的度数.
答案
12.【解】
∵A点和E点关于BD对称，
∴$∠ABD=∠EBD$,即$∠ABC=2∠EBD$.
又
∵点B和点C关于DE对称,
∴$∠DBE=∠C$,
∴$∠ABC=2∠C$.
∵$∠A=90°$,
∴$∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°$.
∴$∠C=30°$,
∴$∠ABC=2∠C=60°$.
∵A点和E点关于BD对称，
∴$∠ABD=∠EBD$,即$∠ABC=2∠EBD$.
又
∵点B和点C关于DE对称,
∴$∠DBE=∠C$,
∴$∠ABC=2∠C$.
∵$∠A=90°$,
∴$∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°$.
∴$∠C=30°$,
∴$∠ABC=2∠C=60°$.
13.【定义】如图①，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称.
【理解题意】
(1)如图①，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB=45°，则∠AOM=
【应用实际】
(2)如图②，若∠AOB=45°，OP在∠AOB内部，OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(3)如图③，若∠AOB=45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
【拓展提升】
(4)若∠AOB=45°，OP，OP₁关于∠AOB的OB边对称，∠AOP₁=4∠BOP₁，求∠AOP的度数(直接写出答案).
【理解题意】
(1)如图①，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB=45°，则∠AOM=
22.5
°；【应用实际】
(2)如图②，若∠AOB=45°，OP在∠AOB内部，OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(3)如图③，若∠AOB=45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
【拓展提升】
(4)若∠AOB=45°，OP，OP₁关于∠AOB的OB边对称，∠AOP₁=4∠BOP₁，求∠AOP的度数(直接写出答案).
答案
13.【解】(1)22.5 【点拨】
∵射线$ OB,OA $关于$ OM $对称且$∠AOB=45°$,
∴$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$.
(2)
∵$ OP $和$ OP_1 $关于$ OB $对称,
∴$∠POP_1=2∠BOP$.
∵$ OP $和$ OP_2 $关于$ OA $对称,
∴$∠POP_2=2∠AOP$.
∵$∠P_1OP_2=∠POP_1+∠POP_2$,
∴$∠P_1OP_2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°$.
(3)
∵$ OP $和$ OP_1 $关于$ OB $对称,
∴$∠POP_1=2∠BOP$.
∵$ OP $和$ OP_2 $关于$ OA $对称,
∴$∠POP_2=2∠AOP$.
∵$∠P_1OP_2=∠POP_1-∠POP_2$,
∴$∠P_1OP_2=2∠BOP-2∠AOP=2∠AOB=90°$.
(4)$∠AOP$的度数为$30°$或$54°$.
【点拨】①当$ OP $在$∠AOB$内部时,如图①,
∵$ OP,OP_1 $关于$∠AOB$的$ OB $边对称,
∴$∠BOP=∠BOP_1$.
∵$∠AOP_1=4∠BOP_1$,
∴$∠AOB=3∠BOP_1=45°$.
∴$∠BOP_1=15°$.
∴$∠BOP=∠BOP_1=15°$.
∴$∠AOP=∠AOB-∠BOP=30°$.②当$ OP $在$∠AOB$外部时,
∵$∠AOP_1=4∠BOP_1$,
∴射线$ OP $在射线$ OB $的上面,如图②.
∵$ OP,OP_1 $关于$∠AOB$的$ OB $边对称,
∴$∠BOP=∠BOP_1$.
∵$∠AOP_1=4∠BOP_1$,
∴$∠AOB=∠BOP_1+∠AOP_1=5∠BOP_1=45°$.
∴$∠BOP_1=9°$.
∴$∠BOP=∠BOP_1=9°$.
∴$∠AOP=45°+9°=54°$.综上所述,$∠AOP=30°$或$54°$.
