18. 观察下列各式及验证过程：

(1)按照上述四个等式及其验证过程的基本思路,猜想$\sqrt{\frac{1}{5}(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})}$的变形结果并进行验证；
(2)根据上述各式反映的规律,请直接写出用$n(n ≥ 2$,且$n$为整数)表示的等式.

18. (1)$\sqrt{\frac{1}{5}(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$. 验证略.
(2)$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}$ ($n≥2,且n为整数$).

【分析】
第(1)问解题思路
先观察给出的4个等式的变形规律：等式左边均为$\sqrt{\frac{1}{k}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}$的形式，变形结果为$\frac{1}{k+1}\sqrt{\frac{k+1}{k(k+2)}}$。本题中对应$k=5$，直接代入规律即可猜想结果；验证时参照示例步骤，先计算括号内分式的减法，再计算与括号外分数的乘积，最后对二次根式化简验证等式成立即可。
第(2)问解题思路
将上述规律中的$k$替换为$n$（$n≥2$，且$n$为整数），即可写出通用的等式，注意标注$n$的取值范围。
【解析】
(1) 猜想：$\sqrt{\frac{1}{5}(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$
验证：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=\sqrt{\frac{1}{5}×(\frac{7-6}{6×7})}\\&=\sqrt{\frac{1}{5×6×7}}\\&=\sqrt{\frac{6}{5×6^2×7}}\\&=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{5×7}}\\&=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}=\mathrm{右边}\end{aligned}$
猜想成立。
(2) 观察所有式子的共性，可得出用$n$表示的等式：
$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}$（$n≥2$，且$n$为整数）
【答案】
(1) $\sqrt{\frac{1}{5}(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$，验证如上；
(2) $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}$ ($n≥2$,且$n$为整数)
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式运算
【点评】
本题需要先从特殊示例中提炼通用运算规律，再利用规律解决具体问题、推导一般式，既考查了二次根式、分式的基本运算能力，也考查了观察归纳的逻辑思维能力，掌握二次根式的化简规则是解题的基础。
【难度系数】
0.7