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14.如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形.若空白部分面积之和为6，则a的值为
1
.答案
14.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先计算两个边长为2的正方形的总面积，再分析空白部分面积的组成：每个正方形的空白面积等于自身面积减去重叠部分面积，因此两个正方形的空白面积之和等于两个正方形总面积减去2倍的重叠部分面积。根据已知空白面积之和为6列方程，再结合a为正数解方程即可求出a的值。
【解析】
步骤1：计算单个正方形面积：边长为2的正方形面积为$2×2=4$，两个正方形的总面积为$4×2=8$。
步骤2：表示重叠部分面积：重叠部分是边长为a的正方形，面积为$a^2$。
步骤3：列方程：两个正方形的空白部分面积之和=两个正方形总面积$-2×$重叠部分面积，已知空白面积和为6，因此列方程：
$8-2a^2=6$
步骤4：解方程：
移项得$2a^2=8-6=2$
两边同时除以2得$a^2=1$
因为a是正方形的边长，为正数，所以$a=\sqrt{1}=1$（负根舍去）。
【答案】
1
【知识点】
正方形面积计算，列方程解应用题，平方根的应用
【点评】
本题结合图形重叠的场景考查面积计算与方程的求解，解题的核心是理清空白面积、总面积、重叠面积三者之间的数量关系，求解时注意结合边长的实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先计算两个边长为2的正方形的总面积，再分析空白部分面积的组成：每个正方形的空白面积等于自身面积减去重叠部分面积，因此两个正方形的空白面积之和等于两个正方形总面积减去2倍的重叠部分面积。根据已知空白面积之和为6列方程，再结合a为正数解方程即可求出a的值。
【解析】
步骤1：计算单个正方形面积：边长为2的正方形面积为$2×2=4$，两个正方形的总面积为$4×2=8$。
步骤2：表示重叠部分面积：重叠部分是边长为a的正方形，面积为$a^2$。
步骤3：列方程：两个正方形的空白部分面积之和=两个正方形总面积$-2×$重叠部分面积，已知空白面积和为6，因此列方程：
$8-2a^2=6$
步骤4：解方程：
移项得$2a^2=8-6=2$
两边同时除以2得$a^2=1$
因为a是正方形的边长，为正数，所以$a=\sqrt{1}=1$（负根舍去）。
【答案】
1
【知识点】
正方形面积计算，列方程解应用题，平方根的应用
【点评】
本题结合图形重叠的场景考查面积计算与方程的求解，解题的核心是理清空白面积、总面积、重叠面积三者之间的数量关系，求解时注意结合边长的实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 求下列各数的平方根：
（1）100；
（2）$\frac{64}{49}$；
（3）$(-7)^2$。
15. 求下列各数的平方根：
（1）100；
（2）$\frac{64}{49}$；
（3）$(-7)^2$。
答案
15.(1)$\pm10$ (2)$\pm\dfrac{8}{7}$ (3)$\pm7$
解析
【分析】
解题前先明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根，其中正数有两个互为相反数的平方根。解题思路如下：①对每个给出的数，先判断它是非负数，符合求平方根的前提；②找到平方后等于该数的两个互为相反数的数；③注意第三小问需要先计算出$(-7)^2$的结果，再求平方根，避免直接对底数开平方出错。
【解析】
根据平方根的定义求解：
（1）
∵$(±10)^2=100$，
∴100的平方根是$±10$；
（2）
∵$(±\frac{8}{7})^2=\frac{64}{49}$，
∴$\frac{64}{49}$的平方根是$±\frac{8}{7}$；
（3）先计算乘方：$(-7)^2=49$，
∵$(±7)^2=49$，
∴$(-7)^2$的平方根是$±7$。
【答案】
(1)$\pm10$；(2)$\pm\dfrac{8}{7}$；(3)$\pm7$
【知识点】
1.平方根的定义；2.有理数乘方运算；3.正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根的基础考查题，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，遇到含有乘方运算的数时，要先化简再求平方根，减少错误。
【难度系数】
0.85
解题前先明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根，其中正数有两个互为相反数的平方根。解题思路如下：①对每个给出的数，先判断它是非负数，符合求平方根的前提；②找到平方后等于该数的两个互为相反数的数；③注意第三小问需要先计算出$(-7)^2$的结果，再求平方根，避免直接对底数开平方出错。
【解析】
根据平方根的定义求解：
（1）
∵$(±10)^2=100$，
∴100的平方根是$±10$；
（2）
∵$(±\frac{8}{7})^2=\frac{64}{49}$，
∴$\frac{64}{49}$的平方根是$±\frac{8}{7}$；
（3）先计算乘方：$(-7)^2=49$，
∵$(±7)^2=49$，
∴$(-7)^2$的平方根是$±7$。
【答案】
(1)$\pm10$；(2)$\pm\dfrac{8}{7}$；(3)$\pm7$
【知识点】
1.平方根的定义；2.有理数乘方运算；3.正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根的基础考查题，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，遇到含有乘方运算的数时，要先化简再求平方根，减少错误。
【难度系数】
0.85
16. 求下列各数的算术平方根：
(1) 0.09；
(2) 25；
(3) $\frac{1}{16}$。
(1) 0.09；
(2) 25；
(3) $\frac{1}{16}$。
答案
16.(1)0.3 (2)5 (3)$\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
解题前首先明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是0，算术平方根的结果一定是非负数。解题时只需分别找到平方后对应等于0.09、25、$\frac{1}{16}$的非负数，即可得到对应数的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.3^2=0.09$，根据算术平方根的定义，可得0.09的算术平方根是0.3，即$\sqrt{0.09}=0.3$。
(2) 因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，可得25的算术平方根是5，即$\sqrt{25}=5$。
(3) 因为$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{1}{16}$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，即$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)0.3 (2)5 (3)$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察对算术平方根定义的掌握，解题时需注意算术平方根的结果恒为非负数，熟记常见整数、分数的平方值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.9
解题前首先明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是0，算术平方根的结果一定是非负数。解题时只需分别找到平方后对应等于0.09、25、$\frac{1}{16}$的非负数，即可得到对应数的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.3^2=0.09$，根据算术平方根的定义，可得0.09的算术平方根是0.3，即$\sqrt{0.09}=0.3$。
(2) 因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，可得25的算术平方根是5，即$\sqrt{25}=5$。
(3) 因为$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{1}{16}$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，即$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)0.3 (2)5 (3)$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察对算术平方根定义的掌握，解题时需注意算术平方根的结果恒为非负数，熟记常见整数、分数的平方值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.9
17. 求下列各式中$x$的值：
（1）$x^2=64$；
（2）$4x^2=49$；
（3）$(x+1)^2=0.25$。
（1）$x^2=64$；
（2）$4x^2=49$；
（3）$(x+1)^2=0.25$。
答案
17.(1)$x=\pm8$ (2)$x=\pm\dfrac{7}{2}$ (3)$x_1=-0.5,x_2=-1.5$
解析
【分析】
这三道题均根据平方根的定义求解：若一个数的平方等于$a$（$a≥0$），那么这个数就是$a$的平方根，记为$\pm\sqrt{a}$，正数的平方根有2个，互为相反数，解题时注意不要漏解。（1）直接对等式两边开平方即可求$x$；（2）先将$x^2$的系数化为1，再开平方求解；（3）把$(x+1)$看作整体先开平方，再解一元一次方程即可。
【解析】
（1）解：$\because x^2=64$，根据平方根的定义，64的平方根为$\pm8$
$\therefore x=\pm\sqrt{64}=\pm8$
（2）解：等式两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$
根据平方根的定义，$\dfrac{49}{4}$的平方根为$\pm\dfrac{7}{2}$
$\therefore x=\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}=\pm\dfrac{7}{2}$
（3）解：将$(x+1)$看作整体，对等式两边开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{0.25}=\pm0.5$
当$x+1=0.5$时，$x=0.5-1=-0.5$
当$x+1=-0.5$时，$x=-0.5-1=-1.5$
$\therefore x_1=-0.5,x_2=-1.5$
【答案】
(1)$x=\pm8$ (2)$x=\pm\dfrac{7}{2}$ (3)$x_1=-0.5,x_2=-1.5$
【知识点】
平方根的定义、开平方运算、整体法求值
【点评】
本题是平方根运算的基础题，核心考查对平方根概念的掌握，解题的易错点是容易漏写负数平方根，第三题通过整体思想可简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这三道题均根据平方根的定义求解：若一个数的平方等于$a$（$a≥0$），那么这个数就是$a$的平方根，记为$\pm\sqrt{a}$，正数的平方根有2个，互为相反数，解题时注意不要漏解。（1）直接对等式两边开平方即可求$x$；（2）先将$x^2$的系数化为1，再开平方求解；（3）把$(x+1)$看作整体先开平方，再解一元一次方程即可。
【解析】
（1）解：$\because x^2=64$，根据平方根的定义，64的平方根为$\pm8$
$\therefore x=\pm\sqrt{64}=\pm8$
（2）解：等式两边同时除以4，得$x^2=\dfrac{49}{4}$
根据平方根的定义，$\dfrac{49}{4}$的平方根为$\pm\dfrac{7}{2}$
$\therefore x=\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}=\pm\dfrac{7}{2}$
（3）解：将$(x+1)$看作整体，对等式两边开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{0.25}=\pm0.5$
当$x+1=0.5$时，$x=0.5-1=-0.5$
当$x+1=-0.5$时，$x=-0.5-1=-1.5$
$\therefore x_1=-0.5,x_2=-1.5$
【答案】
(1)$x=\pm8$ (2)$x=\pm\dfrac{7}{2}$ (3)$x_1=-0.5,x_2=-1.5$
【知识点】
平方根的定义、开平方运算、整体法求值
【点评】
本题是平方根运算的基础题，核心考查对平方根概念的掌握，解题的易错点是容易漏写负数平方根，第三题通过整体思想可简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
18.如果一个正数m的两个平方根分别是2a+1和a−10，n+2的算术平方根是4.
（1）求m和n的值；
（2）求m−2n的算术平方根.
（1）求m和n的值；
（2）求m−2n的算术平方根.
答案
18.(1)$m=49,n=14$ (2)$\sqrt{21}$
解析
【分析】
解题思路分为两部分：①求m的值：根据正数的两个平方根互为相反数，二者之和为0，先列方程求出a的值，再代入其中一个平方根计算平方即可得到m；②求n的值：根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，列等式即可求出n的值。第二问先代入m、n的值计算出m-2n的结果，再求该结果的算术平方根即可。
【解析】
（1）
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ $(2a + 1) + (a - 10) = 0$
合并同类项得：$3a - 9 = 0$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$2a+1$得：$2×3 + 1 = 7$
∴ $m = 7^2 = 49$
∵ $n+2$的算术平方根是4
∴ $n + 2 = 4^2 = 16$
解得：$n = 16 - 2 = 14$
（2）将$m=49$，$n=14$代入得：
$m - 2n = 49 - 2×14 = 49 - 28 = 21$
∵ 21的算术平方根为$\sqrt{21}$
∴ $m-2n$的算术平方根是$\sqrt{21}$
【答案】
(1) $m=49, n=14$；(2) $\sqrt{21}$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根与算术平方根的相关性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数、算术平方根的平方等于被开方数这两个核心结论，计算时注意运算顺序避免出错即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两部分：①求m的值：根据正数的两个平方根互为相反数，二者之和为0，先列方程求出a的值，再代入其中一个平方根计算平方即可得到m；②求n的值：根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，列等式即可求出n的值。第二问先代入m、n的值计算出m-2n的结果，再求该结果的算术平方根即可。
【解析】
（1）
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ $(2a + 1) + (a - 10) = 0$
合并同类项得：$3a - 9 = 0$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$2a+1$得：$2×3 + 1 = 7$
∴ $m = 7^2 = 49$
∵ $n+2$的算术平方根是4
∴ $n + 2 = 4^2 = 16$
解得：$n = 16 - 2 = 14$
（2）将$m=49$，$n=14$代入得：
$m - 2n = 49 - 2×14 = 49 - 28 = 21$
∵ 21的算术平方根为$\sqrt{21}$
∴ $m-2n$的算术平方根是$\sqrt{21}$
【答案】
(1) $m=49, n=14$；(2) $\sqrt{21}$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根与算术平方根的相关性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数、算术平方根的平方等于被开方数这两个核心结论，计算时注意运算顺序避免出错即可。
【难度系数】
0.8
