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5.如果一个数x的平方等于81，则x的值是（
A.－9
B.9
C.9或－9
D.$\sqrt{9}$
C
）.A.－9
B.9
C.9或－9
D.$\sqrt{9}$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查平方根的定义应用，解题思路如下：首先根据题目描述列出等式$x^2=81$，将问题转化为求81的平方根；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，需同时考虑正数和负数两种情况，避免漏解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意可得方程：$x^2 = 81$
因为$9^2 = 81$，$(-9)^2 = 81$，
所以平方等于81的数是9或-9，即$x=9$或$x=-9$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题是平方根的基础常考题，易错点是仅考虑正根漏掉负根，解题时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.75
本题考查平方根的定义应用，解题思路如下：首先根据题目描述列出等式$x^2=81$，将问题转化为求81的平方根；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，需同时考虑正数和负数两种情况，避免漏解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意可得方程：$x^2 = 81$
因为$9^2 = 81$，$(-9)^2 = 81$，
所以平方等于81的数是9或-9，即$x=9$或$x=-9$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题是平方根的基础常考题，易错点是仅考虑正根漏掉负根，解题时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.75
6. 一块正方形瓷砖的面积是1600 cm²，则正方形瓷砖的边长是（
A.40 cm
B.－40 cm
C.80 cm
D.－80 cm
A
）.A.40 cm
B.－40 cm
C.80 cm
D.－80 cm
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此已知面积求边长，本质是求面积的算术平方根。需要注意两点：一是边长是实际长度，一定为正数，负数解直接排除；二是要准确计算哪个正数的平方等于1600，再对应选项即可。
【解析】
设正方形瓷砖的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，根据实际意义可知$ x＞0 $。
根据正方形面积公式可得：$ x^2 = 1600 $
因为边长是正数，所以$ x $是1600的算术平方根，即$ x = \sqrt{1600} = 40 $。
选项B、D的数值为负，不符合长度的实际意义，直接排除；$ 80^2=6400≠1600 $，排除C选项。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平方根的应用，易错点是忽略实际问题中量的取值范围误选负数解，或计算平方数出错选错数值，解题时要兼顾数学计算和实际合理性。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此已知面积求边长，本质是求面积的算术平方根。需要注意两点：一是边长是实际长度，一定为正数，负数解直接排除；二是要准确计算哪个正数的平方等于1600，再对应选项即可。
【解析】
设正方形瓷砖的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，根据实际意义可知$ x＞0 $。
根据正方形面积公式可得：$ x^2 = 1600 $
因为边长是正数，所以$ x $是1600的算术平方根，即$ x = \sqrt{1600} = 40 $。
选项B、D的数值为负，不符合长度的实际意义，直接排除；$ 80^2=6400≠1600 $，排除C选项。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平方根的应用，易错点是忽略实际问题中量的取值范围误选负数解，或计算平方数出错选错数值，解题时要兼顾数学计算和实际合理性。
【难度系数】
0.9
7. 下列各式正确的是（
A.$\sqrt{16}=\pm4$
B.$\sqrt{9}=-3$
C.$\pm\sqrt{36}=\pm6$
D.$-\sqrt{4}=2$
C
）.A.$\sqrt{16}=\pm4$
B.$\sqrt{9}=-3$
C.$\pm\sqrt{36}=\pm6$
D.$-\sqrt{4}=2$
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的定义区分，解题思路如下：首先明确两个核心定义：①形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子表示$a$的算术平方根，运算结果一定是非负数；②形如$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子表示$a$的平方根，运算结果为互为相反数的两个数。再结合定义逐一判断每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们根据平方根、算术平方根的定义逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{16}=4$，该选项错误；
B选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果应为正数3，该选项错误；
C选项：$\pm\sqrt{36}$表示36的平方根，36的平方根为$\pm6$，该选项正确；
D选项：$-\sqrt{4}$表示4的算术平方根的相反数，$\sqrt{4}=2$，因此$-\sqrt{4}=-2$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根定义，平方根定义，根式化简
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号表示、运算结果的正负性，解题时只要先看清根号前的符号，再对应相关定义判断结果就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根与算术平方根的定义区分，解题思路如下：首先明确两个核心定义：①形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子表示$a$的算术平方根，运算结果一定是非负数；②形如$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子表示$a$的平方根，运算结果为互为相反数的两个数。再结合定义逐一判断每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们根据平方根、算术平方根的定义逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{16}=4$，该选项错误；
B选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果应为正数3，该选项错误；
C选项：$\pm\sqrt{36}$表示36的平方根，36的平方根为$\pm6$，该选项正确；
D选项：$-\sqrt{4}$表示4的算术平方根的相反数，$\sqrt{4}=2$，因此$-\sqrt{4}=-2$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根定义，平方根定义，根式化简
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号表示、运算结果的正负性，解题时只要先看清根号前的符号，再对应相关定义判断结果就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
8. 估计$\sqrt{30}$的值在（
A.2与3之间
B.3与4之间
C.5与6之间
D.6与7之间
C
）.A.2与3之间
B.3与4之间
C.5与6之间
D.6与7之间
答案
8.C
解析
【分析】
要估计$\sqrt{30}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先找到和30相邻的两个正的完全平方数，再对这三个数同时取算术平方根，就能推导得出$\sqrt{30}$所在的整数区间。
【解析】
第一步：计算相邻整数的平方，找到和30相邻的完全平方数：
$5^2=25$，$6^2=36$
第二步：比较被开方数的大小：
$25＜30＜36$
第三步：根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方：
$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$
化简可得$5＜\sqrt{30}＜6$，即$\sqrt{30}$的值在5与6之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数。
【难度系数】
0.9
要估计$\sqrt{30}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先找到和30相邻的两个正的完全平方数，再对这三个数同时取算术平方根，就能推导得出$\sqrt{30}$所在的整数区间。
【解析】
第一步：计算相邻整数的平方，找到和30相邻的完全平方数：
$5^2=25$，$6^2=36$
第二步：比较被开方数的大小：
$25＜30＜36$
第三步：根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方：
$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$
化简可得$5＜\sqrt{30}＜6$，即$\sqrt{30}$的值在5与6之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数。
【难度系数】
0.9
9.电流通过导线时会产生热量，电流$ I $（单位：A）、导线电阻$ R $（单位：Ω）、通电时间$ t $（单位：s）与产生的热量$ Q $（单位：J）之间满足$ Q=I^2 Rt $. 已知导线的电阻为10Ω，1 s时间导线产生25000 J的热量，电流$ I $的值是（
A.5
B.50
C.500
D.5000
B
）A.A.5
B.50
C.500
D.5000
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的热量计算公式，我们的目标是求电流I，因此先将已知的电阻R、通电时间t、热量Q的数值代入公式，得到关于I²的等式，再结合电流为正数的实际意义，求算术平方根即可得到I的值。
【解析】
已知热量计算公式为$Q=I^2 Rt$，将$R=10\Omega$，$t=1\mathrm{s}$，$Q=25000\mathrm{J}$代入公式可得：
$25000 = I^2 × 10 × 1$
整理等式得：$I^2 = 25000÷10=2500$
由于电流I为正数，因此$I=\sqrt{2500}=50$（A）
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根计算；代数式求值；公式应用
【点评】
本题结合物理焦耳定律公式考查平方根的实际应用，只需准确代入已知数值，正确计算算术平方根即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的热量计算公式，我们的目标是求电流I，因此先将已知的电阻R、通电时间t、热量Q的数值代入公式，得到关于I²的等式，再结合电流为正数的实际意义，求算术平方根即可得到I的值。
【解析】
已知热量计算公式为$Q=I^2 Rt$，将$R=10\Omega$，$t=1\mathrm{s}$，$Q=25000\mathrm{J}$代入公式可得：
$25000 = I^2 × 10 × 1$
整理等式得：$I^2 = 25000÷10=2500$
由于电流I为正数，因此$I=\sqrt{2500}=50$（A）
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根计算；代数式求值；公式应用
【点评】
本题结合物理焦耳定律公式考查平方根的实际应用，只需准确代入已知数值，正确计算算术平方根即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
10. $\sqrt{\dfrac{256}{81}} =$
$\dfrac{16}{9}$
.答案
10.$\dfrac{16}{9}$
解析
【分析】
本题是求正分数的算术平方根，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，那么x就是a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。其次，对于分数的算术平方根，可以按“分子、分母分别开算术平方根后再求商（分母不为0）”的规则计算，只需要先分别求出分子256、分母81的算术平方根，再做商就能得到最终结果。
【解析】
根据算术平方根的运算性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{\dfrac{256}{81}}=\dfrac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}$
因为$16^2=256$，所以$\sqrt{256}=16$；
因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
代入得$\dfrac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}=\dfrac{16}{9}$。
【答案】
$\dfrac{16}{9}$
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查算术平方根的计算，解题时要注意算术平方根的结果为非负数，计算分数的算术平方根时分别对分子、分母开平方即可，熟记常见数的平方可以有效提升计算速度和准确率。
【难度系数】
0.9
本题是求正分数的算术平方根，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，那么x就是a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。其次，对于分数的算术平方根，可以按“分子、分母分别开算术平方根后再求商（分母不为0）”的规则计算，只需要先分别求出分子256、分母81的算术平方根，再做商就能得到最终结果。
【解析】
根据算术平方根的运算性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{\dfrac{256}{81}}=\dfrac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}$
因为$16^2=256$，所以$\sqrt{256}=16$；
因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
代入得$\dfrac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}=\dfrac{16}{9}$。
【答案】
$\dfrac{16}{9}$
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查算术平方根的计算，解题时要注意算术平方根的结果为非负数，计算分数的算术平方根时分别对分子、分母开平方即可，熟记常见数的平方可以有效提升计算速度和准确率。
【难度系数】
0.9
11.比较大小：$\sqrt{63}$
$＜$
8（填“＞”“＜”或“=”）答案
11.$＜$
解析
【分析】
要比较$\sqrt{63}$和8的大小，因为两个数都是正数，对于正数而言，平方越大的数本身也越大，所以我们可以通过比较两个数平方的大小，来间接判断原数的大小，这种方法可以避免计算无理数的近似值，简化运算步骤。
【解析】
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{63})^2 = 63$，
$8^2 = 64$，
因为$63 ＜ 64$，且$\sqrt{63}$和$8$均为正数，正数平方越大，原数越大，所以$\sqrt{63} ＜ 8$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
3. 平方运算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是掌握正数比较大小的平方法，将无理数比较转化为熟悉的有理数比较，这种转化思想在实数相关运算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要比较$\sqrt{63}$和8的大小，因为两个数都是正数，对于正数而言，平方越大的数本身也越大，所以我们可以通过比较两个数平方的大小，来间接判断原数的大小，这种方法可以避免计算无理数的近似值，简化运算步骤。
【解析】
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{63})^2 = 63$，
$8^2 = 64$，
因为$63 ＜ 64$，且$\sqrt{63}$和$8$均为正数，正数平方越大，原数越大，所以$\sqrt{63} ＜ 8$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
3. 平方运算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是掌握正数比较大小的平方法，将无理数比较转化为熟悉的有理数比较，这种转化思想在实数相关运算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
12.某数值转化器的工作流程如图所示，当输入x的值为49时，输出y的值是
$\sqrt{7}$
。答案
12.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若得到的结果是有理数，就把这个结果作为新的输入值再次取算术平方根，直到结果为无理数时再输出。我们按照这个规则逐步计算输入x=49时的结果即可。
【解析】
第一步：输入x=49，计算49的算术平方根：$\sqrt{49}=7$，7属于有理数，不符合输出条件，需要返回重新运算；
第二步：将7作为新的输入值，计算7的算术平方根，得到$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y值为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根运算，无理数判别
【点评】
本题结合流程图考查实数相关运算，解题核心是准确把握循环运算的要求，只有算术平方根的结果为无理数时才可输出，要注意避免只运算一步就直接输出的粗心错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若得到的结果是有理数，就把这个结果作为新的输入值再次取算术平方根，直到结果为无理数时再输出。我们按照这个规则逐步计算输入x=49时的结果即可。
【解析】
第一步：输入x=49，计算49的算术平方根：$\sqrt{49}=7$，7属于有理数，不符合输出条件，需要返回重新运算；
第二步：将7作为新的输入值，计算7的算术平方根，得到$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y值为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根运算，无理数判别
【点评】
本题结合流程图考查实数相关运算，解题核心是准确把握循环运算的要求，只有算术平方根的结果为无理数时才可输出，要注意避免只运算一步就直接输出的粗心错误。
【难度系数】
0.8
13. a的算术平方根是2，b是9的一个平方根，则a+b=
1或7
。答案
13.1或7
解析
【分析】
解题时先分两步确定a和b的值：第一步，根据算术平方根的非负性，已知a的算术平方根是2，可直接求出a的唯一确定值；第二步，明确一个正数的平方根有两个，且互为相反数，因此9的平方根有两个，即b有两种可能的取值；最后分两种情况分别计算a+b的结果即可，注意不要遗漏b为负数的情况。
【解析】
解：①先求a的值：
∵a的算术平方根是2，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，
∴a = 2² = 4；
②再求b的值：
∵b是9的一个平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，
∴9的平方根为±√9 = ±3，即b=3或b=-3；
③分情况计算a+b：
当b=3时，a+b=4+3=7；
当b=-3时，a+b=4+(-3)=1；
综上，a+b的值为1或7。
【答案】
1或7
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；代数式求值
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查对算术平方根和平方根概念的区分，易错点是忽略正数的平方根有正负两个取值，仅计算b=3的情况导致漏解。掌握“算术平方根唯一非负，正数的平方根有两个且互为相反数”是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先分两步确定a和b的值：第一步，根据算术平方根的非负性，已知a的算术平方根是2，可直接求出a的唯一确定值；第二步，明确一个正数的平方根有两个，且互为相反数，因此9的平方根有两个，即b有两种可能的取值；最后分两种情况分别计算a+b的结果即可，注意不要遗漏b为负数的情况。
【解析】
解：①先求a的值：
∵a的算术平方根是2，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，
∴a = 2² = 4；
②再求b的值：
∵b是9的一个平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，
∴9的平方根为±√9 = ±3，即b=3或b=-3；
③分情况计算a+b：
当b=3时，a+b=4+3=7；
当b=-3时，a+b=4+(-3)=1；
综上，a+b的值为1或7。
【答案】
1或7
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；代数式求值
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查对算术平方根和平方根概念的区分，易错点是忽略正数的平方根有正负两个取值，仅计算b=3的情况导致漏解。掌握“算术平方根唯一非负，正数的平方根有两个且互为相反数”是解题的关键。
【难度系数】
0.7
