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16 实数a在数轴上的位置如图所示，化简$|a - 1| + \sqrt{(a - 2)^2} =$
1
。答案
16.1
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定实数a的取值范围，再根据绝对值的性质、二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别判断$a-1$和$a-2$的正负，去掉绝对值符号后合并计算即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$1 ＜ a ＜ 2$
$\therefore a-1 ＞ 0$，$a-2 ＜ 0$
$\therefore |a-1| = a-1$，$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a$
$\therefore$原式$=(a-1)+(2-a)=a-1+2-a=1$
【答案】
1
【知识点】
数轴与实数、绝对值化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础化简题，结合数轴判断数的大小关系是解题的前提，熟练掌握绝对值和二次根式的化简性质是解题的关键，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定实数a的取值范围，再根据绝对值的性质、二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别判断$a-1$和$a-2$的正负，去掉绝对值符号后合并计算即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$1 ＜ a ＜ 2$
$\therefore a-1 ＞ 0$，$a-2 ＜ 0$
$\therefore |a-1| = a-1$，$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a$
$\therefore$原式$=(a-1)+(2-a)=a-1+2-a=1$
【答案】
1
【知识点】
数轴与实数、绝对值化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础化简题，结合数轴判断数的大小关系是解题的前提，熟练掌握绝对值和二次根式的化简性质是解题的关键，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
17 若$a + b = 5$，$ab = 4$，则$\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =$
$\pm\dfrac{1}{3}$
。答案
17.$\pm\dfrac{1}{3}$
[提示:因为$a + b = 5$，$ab = 4$，所以$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 25 - 16 = 9$，所以$a - b = \pm 3$。所以$\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} = \pm\dfrac{1}{3}$。]
[提示:因为$a + b = 5$，$ab = 4$，所以$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 25 - 16 = 9$，所以$a - b = \pm 3$。所以$\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} = \pm\dfrac{1}{3}$。]
解析
【分析】
首先观察所求代数式为含二次根式的分式，直接求解a、b的值再代入计算较为繁琐，因此优先考虑对代数式进行化简变形：可先通过分母有理化将所求式子转化为含a+b、ab、a-b的形式，再利用已知的a+b和ab的值，结合完全平方公式的变形求出a-b的值，最后代入化简后的式子计算即可，注意a-b的正负两种情况不要遗漏。
【解析】
第一步：求$a-b$的值
根据完全平方公式的变形：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，
将$a+b=5$，$ab=4$代入得：
$(a-b)^2=5^2-4×4=25-16=9$，
开平方得$a-b=\pm3$。
第二步：化简所求代数式
对$\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$进行分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{a}-\sqrt{b}$得：
$\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$
第三步：代入数值计算
将$a+b=5$，$ab=4$，$a-b=\pm3$代入上式：
分子$=5-2\sqrt{4}=5-4=1$，
因此原式$=\dfrac{1}{\pm3}=\pm\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\pm\dfrac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式应用；二次根式分母有理化；代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是通过化简将未知代数式转化为可直接代入已知条件的形式，需注意完全平方公式开平方后有正负两种结果，避免漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式为含二次根式的分式，直接求解a、b的值再代入计算较为繁琐，因此优先考虑对代数式进行化简变形：可先通过分母有理化将所求式子转化为含a+b、ab、a-b的形式，再利用已知的a+b和ab的值，结合完全平方公式的变形求出a-b的值，最后代入化简后的式子计算即可，注意a-b的正负两种情况不要遗漏。
【解析】
第一步：求$a-b$的值
根据完全平方公式的变形：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，
将$a+b=5$，$ab=4$代入得：
$(a-b)^2=5^2-4×4=25-16=9$，
开平方得$a-b=\pm3$。
第二步：化简所求代数式
对$\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$进行分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{a}-\sqrt{b}$得：
$\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$
第三步：代入数值计算
将$a+b=5$，$ab=4$，$a-b=\pm3$代入上式：
分子$=5-2\sqrt{4}=5-4=1$，
因此原式$=\dfrac{1}{\pm3}=\pm\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\pm\dfrac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式应用；二次根式分母有理化；代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是通过化简将未知代数式转化为可直接代入已知条件的形式，需注意完全平方公式开平方后有正负两种结果，避免漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.6
⑱ 观察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
请写出第⑦个式子：
请写出第⑦个式子：
$\sqrt{7+\dfrac{1}{9}}=8\sqrt{\dfrac{1}{9}}$
，用含$n(n≥1)$的式子写出你猜想的规律：$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
。答案
18.$\sqrt{7+\dfrac{1}{9}}=8\sqrt{\dfrac{1}{9}}$；$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，我们可以先对应序号n（n=1,2,3…），拆分等式左右两边的各组成部分，分别找每部分和序号n的对应关系：观察已知式子可得，等式左边根号内的整数部分等于序号n，分数的分子恒为1，分母等于n+2；等式右边根号外的系数等于n+1，根号内的部分和左边根号内的分数完全一致。找到对应关系后，将n=7代入即可得到第⑦个式子，再把对应关系整理为含n的通用表达式即可得到规律。
【解析】
我们先验证已知式子和序号的对应关系：
当n=1时，$\sqrt{1+\frac{1}{1+2}}=(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$，即$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，和已知①一致；
当n=2时，$\sqrt{2+\frac{1}{2+2}}=(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$，即$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，和已知②一致；
当n=3时，$\sqrt{3+\frac{1}{3+2}}=(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，即$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，和已知③一致。
1. 求第⑦个式子：对应n=7，代入上述对应关系得：
$\sqrt{7+\frac{1}{7+2}}=(7+1)\sqrt{\frac{1}{7+2}}$，化简为$\sqrt{7+\frac{1}{9}}=8\sqrt{\frac{1}{9}}$。
2. 推导含n的通用规律：整理上述对应关系，可得n≥1时，规律为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
【答案】
$\sqrt{7+\dfrac{1}{9}}=8\sqrt{\dfrac{1}{9}}$；$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是拆分等式的结构，分别对比各部分和对应序号的数量关系，即可快速推导出结论。
【难度系数】
0.8
解决这类规律探究题，我们可以先对应序号n（n=1,2,3…），拆分等式左右两边的各组成部分，分别找每部分和序号n的对应关系：观察已知式子可得，等式左边根号内的整数部分等于序号n，分数的分子恒为1，分母等于n+2；等式右边根号外的系数等于n+1，根号内的部分和左边根号内的分数完全一致。找到对应关系后，将n=7代入即可得到第⑦个式子，再把对应关系整理为含n的通用表达式即可得到规律。
【解析】
我们先验证已知式子和序号的对应关系：
当n=1时，$\sqrt{1+\frac{1}{1+2}}=(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$，即$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，和已知①一致；
当n=2时，$\sqrt{2+\frac{1}{2+2}}=(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$，即$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，和已知②一致；
当n=3时，$\sqrt{3+\frac{1}{3+2}}=(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，即$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，和已知③一致。
1. 求第⑦个式子：对应n=7，代入上述对应关系得：
$\sqrt{7+\frac{1}{7+2}}=(7+1)\sqrt{\frac{1}{7+2}}$，化简为$\sqrt{7+\frac{1}{9}}=8\sqrt{\frac{1}{9}}$。
2. 推导含n的通用规律：整理上述对应关系，可得n≥1时，规律为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
【答案】
$\sqrt{7+\dfrac{1}{9}}=8\sqrt{\dfrac{1}{9}}$；$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
【知识点】
数字规律探究，二次根式的性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是拆分等式的结构，分别对比各部分和对应序号的数量关系，即可快速推导出结论。
【难度系数】
0.8
19 计算：$\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$。
答案
19.$3\sqrt{x}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题遵循“先化简、再合并”的思路：①首先明确隐含条件$x＞0$（保证根号内的数非负且分母不为0）；②利用二次根式的性质，将每一项都化为最简二次根式；③合并被开方数相同的同类二次根式，系数相加减、被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
由原式可知$x＞0$，逐项化简如下：
1. 化简第一项：$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×\sqrt{9}×\sqrt{x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
2. 化简第二项：$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$
3. 化简第三项：$-2x\sqrt{\frac{1}{x}}=-2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=-2\sqrt{x}$
将化简后的三项合并：
原式$=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$
【答案】
$3\sqrt{x}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，解题时需注意先确定根号内字母的取值范围，避免化简时出现符号错误，熟练掌握二次根式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题遵循“先化简、再合并”的思路：①首先明确隐含条件$x＞0$（保证根号内的数非负且分母不为0）；②利用二次根式的性质，将每一项都化为最简二次根式；③合并被开方数相同的同类二次根式，系数相加减、被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
由原式可知$x＞0$，逐项化简如下：
1. 化简第一项：$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×\sqrt{9}×\sqrt{x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
2. 化简第二项：$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$
3. 化简第三项：$-2x\sqrt{\frac{1}{x}}=-2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=-2\sqrt{x}$
将化简后的三项合并：
原式$=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$
【答案】
$3\sqrt{x}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，解题时需注意先确定根号内字母的取值范围，避免化简时出现符号错误，熟练掌握二次根式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
20 计算：$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})$。
答案
20.$5 + 4\sqrt{3}$
解析
【分析】
观察两个相乘的因式的结构，发现两个因式中$\sqrt{2}+\sqrt{6}$是公共部分，$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$互为相反数，因此可以把$\sqrt{2}+\sqrt{6}$看作整体，将原式变形为平方差公式的形式$(a+b)(a-b)$，先利用平方差公式化简，再结合完全平方公式展开计算，最后合并同类二次根式得到结果，这种方法比直接逐项相乘更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：原式$=[(\sqrt{2}+\sqrt{6})+\sqrt{3}][(\sqrt{2}+\sqrt{6})-\sqrt{3}]$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{3}$，得：
$=(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2$
再利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$：
$=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - 3$
计算各项：
$=2 + 2\sqrt{12} + 6 - 3$
化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，合并同类项：
$=2 + 4\sqrt{3} + 6 - 3$
$=5 + 4\sqrt{3}$
【答案】
$5 + 4\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题核心是通过观察式子特征，对项进行合理分组，活用乘法公式简化运算，避免了直接逐项展开的繁琐，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
观察两个相乘的因式的结构，发现两个因式中$\sqrt{2}+\sqrt{6}$是公共部分，$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$互为相反数，因此可以把$\sqrt{2}+\sqrt{6}$看作整体，将原式变形为平方差公式的形式$(a+b)(a-b)$，先利用平方差公式化简，再结合完全平方公式展开计算，最后合并同类二次根式得到结果，这种方法比直接逐项相乘更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：原式$=[(\sqrt{2}+\sqrt{6})+\sqrt{3}][(\sqrt{2}+\sqrt{6})-\sqrt{3}]$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{3}$，得：
$=(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2$
再利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$：
$=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - 3$
计算各项：
$=2 + 2\sqrt{12} + 6 - 3$
化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，合并同类项：
$=2 + 4\sqrt{3} + 6 - 3$
$=5 + 4\sqrt{3}$
【答案】
$5 + 4\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题核心是通过观察式子特征，对项进行合理分组，活用乘法公式简化运算，避免了直接逐项展开的繁琐，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
21 计算：$\frac{2}{b}\sqrt{ab} · (-\frac{3}{2}\sqrt{a^3b}) ÷ \frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}$。$(a ＞ 0)$
答案
21.$\dfrac{-9a^2\sqrt{ab}}{b}$
解析
【分析】
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：1. 先根据“除以一个数等于乘它的倒数”将除法转化为乘法，先确定整个式子的符号；2. 将系数部分和二次根式部分分开计算，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按乘除法则合并为一个二次根式；3. 结合a＞0的条件以及二次根式有意义的隐含条件（b＞0），将合并后的二次根式化为最简形式，最后将系数与最简二次根式相乘得到最终结果。
【解析】
解：
∵a＞0，且二次根式的被开方数非负、分母不为0，
∴b＞0
原式 = $\frac{2}{b}\sqrt{ab} · (-\frac{3}{2}\sqrt{a^3b}) × 3\sqrt{\frac{a}{b}}$
① 计算系数部分：
$\frac{2}{b} × (-\frac{3}{2}) × 3 = -\frac{9}{b}$
② 计算二次根式部分：
$\sqrt{ab} · \sqrt{a^3b} · \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{ab · a^3b · \frac{a}{b}} = \sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 · ab} = a^2\sqrt{ab}$
③ 合并两部分结果：
$-\frac{9}{b} × a^2\sqrt{ab} = \frac{-9a^2\sqrt{ab}}{b}$
【答案】
$\dfrac{-9a^2\sqrt{ab}}{b}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时需先统一运算为乘法，分别计算系数和被开方数部分，同时要注意挖掘题目中的隐含条件，运算后结果需化为最简二次根式，计算过程中要避免符号和化简错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：1. 先根据“除以一个数等于乘它的倒数”将除法转化为乘法，先确定整个式子的符号；2. 将系数部分和二次根式部分分开计算，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按乘除法则合并为一个二次根式；3. 结合a＞0的条件以及二次根式有意义的隐含条件（b＞0），将合并后的二次根式化为最简形式，最后将系数与最简二次根式相乘得到最终结果。
【解析】
解：
∵a＞0，且二次根式的被开方数非负、分母不为0，
∴b＞0
原式 = $\frac{2}{b}\sqrt{ab} · (-\frac{3}{2}\sqrt{a^3b}) × 3\sqrt{\frac{a}{b}}$
① 计算系数部分：
$\frac{2}{b} × (-\frac{3}{2}) × 3 = -\frac{9}{b}$
② 计算二次根式部分：
$\sqrt{ab} · \sqrt{a^3b} · \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{ab · a^3b · \frac{a}{b}} = \sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 · ab} = a^2\sqrt{ab}$
③ 合并两部分结果：
$-\frac{9}{b} × a^2\sqrt{ab} = \frac{-9a^2\sqrt{ab}}{b}$
【答案】
$\dfrac{-9a^2\sqrt{ab}}{b}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时需先统一运算为乘法，分别计算系数和被开方数部分，同时要注意挖掘题目中的隐含条件，运算后结果需化为最简二次根式，计算过程中要避免符号和化简错误。
【难度系数】
0.7
22 当$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{3}-1$时，求代数式$a^2+ab-b^2$的值。
答案
22.$-2 + \sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是二次根式背景下的代数式求值问题，解题思路如下：首先观察到已知的a、b均为含二次根式的二项式，代数式是关于a、b的二次式，因此可以先分别计算出a²、b²、ab的值，再代入原代数式，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果。计算时要熟练运用完全平方公式和多项式乘法法则，注意符号不要出错。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，分别计算各部分：
1. 计算$a^2$：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，得
$a^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
2. 计算$b^2$：
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，得
$b^2=(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$
3. 计算$ab$：
根据多项式乘多项式法则展开，得
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-1)=\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×1+1×\sqrt{3}-1×1=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1$
4. 代入原式计算：
$a^2+ab-b^2=(3+2\sqrt{2})+(\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)-(4-2\sqrt{3})$
去括号得：
$=3+2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1-4+2\sqrt{3}$
合并同类项（同类二次根式）得：
$=(3-1-4)+(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+\sqrt{6}=-2+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}$
【答案】
$-2 + \sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，二次根式混合运算
【点评】
本题核心考查二次根式的运算能力，解题时要准确运用乘法公式展开，去括号时注意符号变化，合并同类二次根式时要区分同类和不同类的二次根式，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式背景下的代数式求值问题，解题思路如下：首先观察到已知的a、b均为含二次根式的二项式，代数式是关于a、b的二次式，因此可以先分别计算出a²、b²、ab的值，再代入原代数式，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果。计算时要熟练运用完全平方公式和多项式乘法法则，注意符号不要出错。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，分别计算各部分：
1. 计算$a^2$：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，得
$a^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
2. 计算$b^2$：
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，得
$b^2=(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$
3. 计算$ab$：
根据多项式乘多项式法则展开，得
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-1)=\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×1+1×\sqrt{3}-1×1=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1$
4. 代入原式计算：
$a^2+ab-b^2=(3+2\sqrt{2})+(\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)-(4-2\sqrt{3})$
去括号得：
$=3+2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-1-4+2\sqrt{3}$
合并同类项（同类二次根式）得：
$=(3-1-4)+(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+\sqrt{6}=-2+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}$
【答案】
$-2 + \sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，二次根式混合运算
【点评】
本题核心考查二次根式的运算能力，解题时要准确运用乘法公式展开，去括号时注意符号变化，合并同类二次根式时要区分同类和不同类的二次根式，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
23 已知$(x-2)^2 + \sqrt{y - x + 1}=0$，求$x + y$的平方根。
答案
23.$\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
平方数和算术平方根都具有非负性，即二者的取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足等式成立，因此我们可以先列出关于x、y的方程，求解得到x、y的值后计算x+y的结果，最后根据平方根的定义求出对应结果即可。
【解析】
解：
∵ 平方数、算术平方根均为非负数
∴ $(x-2)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y - x + 1} ≥ 0$
又
∵ $(x-2)^2 + \sqrt{y - x + 1}=0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}x-2=0 \\y - x + 1=0\end{cases}$
解得$x=2$，将$x=2$代入第二个等式得：$y - 2 + 1=0$，即$y=1$
∴ $x+y=2+1=3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 非负数的性质 2. 平方根的定义
【点评】
本题核心考查非负数的性质以及平方根的计算，解题关键是牢记“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，同时注意正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
平方数和算术平方根都具有非负性，即二者的取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足等式成立，因此我们可以先列出关于x、y的方程，求解得到x、y的值后计算x+y的结果，最后根据平方根的定义求出对应结果即可。
【解析】
解：
∵ 平方数、算术平方根均为非负数
∴ $(x-2)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y - x + 1} ≥ 0$
又
∵ $(x-2)^2 + \sqrt{y - x + 1}=0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}x-2=0 \\y - x + 1=0\end{cases}$
解得$x=2$，将$x=2$代入第二个等式得：$y - 2 + 1=0$，即$y=1$
∴ $x+y=2+1=3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 非负数的性质 2. 平方根的定义
【点评】
本题核心考查非负数的性质以及平方根的计算，解题关键是牢记“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，同时注意正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
