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24 已知$x+y=3$，$xy=2$，求$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$的值。
答案
24.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要计算$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$的值，首先根据二次根式的被开方数非负、分母不为0的性质，先判断x和y的符号：由$xy=2＞0$可知x、y同号，结合$x+y=3＞0$，可得x、y均为正数，因此所求式子的结果为正数。直接化简原式计算较繁琐，可先计算该式的平方，利用完全平方公式展开后，将$x^2+y^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式，代入已知条件算出平方后的结果，最后开平方取正根即可。
【解析】
解：$\because x+y=3＞0$，$xy=2＞0$
$\therefore x＞0$，$y＞0$，则$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}＞0$
设$A=\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$，对A平方得：
$\begin{aligned}A^2&=(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}})^2\\&=\dfrac{x}{y} + 2·\sqrt{\dfrac{x}{y}·\dfrac{y}{x}} + \dfrac{y}{x}\\&=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2\\&=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+2\end{aligned}$
又$\because x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入$x+y=3$，$xy=2$得：
$x^2+y^2=3^2-2×2=9-4=5$
$\therefore A^2=\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}$
$\because A＞0$
$\therefore A=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题型，解题的关键是先判断x、y的符号确定所求式子的正负性，再利用平方法将待求式转化为可直接代入已知条件计算的形式，有效降低计算难度，注意开平方时需根据式子的正负性取舍结果，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要计算$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$的值，首先根据二次根式的被开方数非负、分母不为0的性质，先判断x和y的符号：由$xy=2＞0$可知x、y同号，结合$x+y=3＞0$，可得x、y均为正数，因此所求式子的结果为正数。直接化简原式计算较繁琐，可先计算该式的平方，利用完全平方公式展开后，将$x^2+y^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式，代入已知条件算出平方后的结果，最后开平方取正根即可。
【解析】
解：$\because x+y=3＞0$，$xy=2＞0$
$\therefore x＞0$，$y＞0$，则$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}＞0$
设$A=\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$，对A平方得：
$\begin{aligned}A^2&=(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}})^2\\&=\dfrac{x}{y} + 2·\sqrt{\dfrac{x}{y}·\dfrac{y}{x}} + \dfrac{y}{x}\\&=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2\\&=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+2\end{aligned}$
又$\because x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入$x+y=3$，$xy=2$得：
$x^2+y^2=3^2-2×2=9-4=5$
$\therefore A^2=\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}$
$\because A＞0$
$\therefore A=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题型，解题的关键是先判断x、y的符号确定所求式子的正负性，再利用平方法将待求式转化为可直接代入已知条件计算的形式，有效降低计算难度，注意开平方时需根据式子的正负性取舍结果，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
25 已知$a+\dfrac{1}{a}=1+\sqrt{10}$，求$a^2+\dfrac{1}{a^2}$的值。
答案
25.$9 + 2\sqrt{10}$
解析
【分析】
观察已知条件和待求式的结构，二者可通过完全平方和公式建立关联。回忆完全平方和公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$x=a$、$y=\frac{1}{a}$代入可得$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，因此只需将已知的$a+\frac{1}{a}$的值代入后移项计算，即可求出待求式的值，无需单独求解$a$，计算更简便。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}$
化简后得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
移项变形得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2$
将$a+\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$代入上式，先计算平方项：
$(1+\sqrt{10})^2 = 1^2 + 2×1×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 1 + 2\sqrt{10} + 10 = 11 + 2\sqrt{10}$
再代入原式计算：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 + 2\sqrt{10} - 2 = 9 + 2\sqrt{10}$
【答案】
$9 + 2\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形应用，通过整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.7
观察已知条件和待求式的结构，二者可通过完全平方和公式建立关联。回忆完全平方和公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$x=a$、$y=\frac{1}{a}$代入可得$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，因此只需将已知的$a+\frac{1}{a}$的值代入后移项计算，即可求出待求式的值，无需单独求解$a$，计算更简便。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}$
化简后得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
移项变形得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2$
将$a+\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$代入上式，先计算平方项：
$(1+\sqrt{10})^2 = 1^2 + 2×1×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 1 + 2\sqrt{10} + 10 = 11 + 2\sqrt{10}$
再代入原式计算：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 + 2\sqrt{10} - 2 = 9 + 2\sqrt{10}$
【答案】
$9 + 2\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式运算、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形应用，通过整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.7
26 若$x^2 - x - 2 = 0$，求$\dfrac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}}$的值。
答案
26.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
观察已知方程和待求代数式的结构，发现待求式中多次出现“$x^2 - x$”这个整体，因此不需要求解$x$的具体值，先从已知方程移项得到$x^2 - x$的值，再将其作为整体代入待求代数式，最后对得到的含二次根式的分式化简、进行分母有理化即可得到结果。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - x - 2 = 0$，移项可得：
$x^2 - x = 2$
将$x^2 - x = 2$代入待求式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{2^2 - 1 + \sqrt{3}}\\&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\end{aligned}$
对上述分式分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2 + 2\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}\\&=\frac{6 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6}{9 - 3}\\&=\frac{4\sqrt{3}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，避开求解未知数的复杂运算，利用整体代入思想可大幅简化计算过程，同时考查了二次根式分母有理化的基本运算能力。
【难度系数】
0.7
观察已知方程和待求代数式的结构，发现待求式中多次出现“$x^2 - x$”这个整体，因此不需要求解$x$的具体值，先从已知方程移项得到$x^2 - x$的值，再将其作为整体代入待求代数式，最后对得到的含二次根式的分式化简、进行分母有理化即可得到结果。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - x - 2 = 0$，移项可得：
$x^2 - x = 2$
将$x^2 - x = 2$代入待求式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{2^2 - 1 + \sqrt{3}}\\&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\end{aligned}$
对上述分式分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2 + 2\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}\\&=\frac{6 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6}{9 - 3}\\&=\frac{4\sqrt{3}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，避开求解未知数的复杂运算，利用整体代入思想可大幅简化计算过程，同时考查了二次根式分母有理化的基本运算能力。
【难度系数】
0.7
27 已知下列等式：
① $\sqrt{9 × 9 + 19} = 10$，② $\sqrt{99 × 99 + 199} = 100$，
③ $\sqrt{999 × 999 + 1999} = 1000$，…
（1）根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；
（2）观察上述等式的规律，请你写出第$n$个等式。
① $\sqrt{9 × 9 + 19} = 10$，② $\sqrt{99 × 99 + 199} = 100$，
③ $\sqrt{999 × 999 + 1999} = 1000$，…
（1）根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；
（2）观察上述等式的规律，请你写出第$n$个等式。
答案
27.(1)$\sqrt{9999 × 9999 + 19999} = \sqrt{9999 × 9999 + 10000 + 9999} = \sqrt{9999 × (9999 + 1) + 10000} = \sqrt{9999 × 10000 + 10000} = \sqrt{10000 × (9999 + 1)} = 10000$。
(2) 第$n$个等式为 $\sqrt{\underbrace{999···999}_{n个9} × \underbrace{999···999}_{n个9} + \underbrace{1999···999}_{n个9}} = \underbrace{1000···000}_{n个0}$。
(2) 第$n$个等式为 $\sqrt{\underbrace{999···999}_{n个9} × \underbrace{999···999}_{n个9} + \underbrace{1999···999}_{n个9}} = \underbrace{1000···000}_{n个0}$。
解析
【分析】
（1）观察已知的3个等式：等式①含1个9，②含2个9，③含3个9，规律为第k个等式中，根号内的乘数是k个9，相加的数是1后面接k个9，运算结果是1后面接k个0。因此第四个等式对应k=4，即乘数和相加的数都含4个9，结果是1后面接4个0。验证时可将19999拆分为9999+10000，通过提公因式逐步化简根号内的式子，最终算出结果验证正确性。
（2）结合前几个等式的规律，将“k个9”的情况推广到“n个9”，即可写出第n个通用等式。
【解析】
（1）第四个等式为：$\sqrt{9999 × 9999 + 19999} = 10000$
验证过程：
$\sqrt{9999 × 9999 + 19999}$
$= \sqrt{9999 × 9999 + 10000 + 9999}$
$= \sqrt{9999 × (9999 + 1) + 10000}$
$= \sqrt{9999 × 10000 + 10000}$
$= \sqrt{10000 × (9999 + 1)}$
$= \sqrt{10000×10000}$
$=10000$，等式成立。
（2）观察规律可知，第n个等式中，根号内的两个乘数均为n个9，相加的数为1后面接n个9，运算结果为1后面接n个0，因此得到第n个等式。
【答案】
(1) 第四个等式为$\sqrt{9999 × 9999 + 19999} = 10000$，验证成立；
(2) 第$n$个等式为 $\sqrt{\underbrace{999···999}_{n个9} × \underbrace{999···999}_{n个9} + \underbrace{1999···999}_{n个9}} = \underbrace{1000···000}_{n个0}$。
【知识点】
数字规律探究、提公因式法、算术平方根运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既考查对特殊例子的观察归纳能力，又结合了整式因式分解和算术平方根的运算知识，需要从个例中提炼共性特征，推导通用结论，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察已知的3个等式：等式①含1个9，②含2个9，③含3个9，规律为第k个等式中，根号内的乘数是k个9，相加的数是1后面接k个9，运算结果是1后面接k个0。因此第四个等式对应k=4，即乘数和相加的数都含4个9，结果是1后面接4个0。验证时可将19999拆分为9999+10000，通过提公因式逐步化简根号内的式子，最终算出结果验证正确性。
（2）结合前几个等式的规律，将“k个9”的情况推广到“n个9”，即可写出第n个通用等式。
【解析】
（1）第四个等式为：$\sqrt{9999 × 9999 + 19999} = 10000$
验证过程：
$\sqrt{9999 × 9999 + 19999}$
$= \sqrt{9999 × 9999 + 10000 + 9999}$
$= \sqrt{9999 × (9999 + 1) + 10000}$
$= \sqrt{9999 × 10000 + 10000}$
$= \sqrt{10000 × (9999 + 1)}$
$= \sqrt{10000×10000}$
$=10000$，等式成立。
（2）观察规律可知，第n个等式中，根号内的两个乘数均为n个9，相加的数为1后面接n个9，运算结果为1后面接n个0，因此得到第n个等式。
【答案】
(1) 第四个等式为$\sqrt{9999 × 9999 + 19999} = 10000$，验证成立；
(2) 第$n$个等式为 $\sqrt{\underbrace{999···999}_{n个9} × \underbrace{999···999}_{n个9} + \underbrace{1999···999}_{n个9}} = \underbrace{1000···000}_{n个0}$。
【知识点】
数字规律探究、提公因式法、算术平方根运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既考查对特殊例子的观察归纳能力，又结合了整式因式分解和算术平方根的运算知识，需要从个例中提炼共性特征，推导通用结论，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
所以$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$。
化简下列各式：
(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$；
(2) $\sqrt{13-2\sqrt{42}}$。
化简下列各式：
(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$；
(2) $\sqrt{13-2\sqrt{42}}$。
答案
28.(1)$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4×3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$
(2)$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{6×7} + (\sqrt{6})^2}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2)$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{6×7} + (\sqrt{6})^2}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题考查复合二次根式的化简，解题核心是利用完全平方公式将根号内的式子配凑成完全平方形式，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$）化简：
1. 先将根号内的式子整理为$m\pm2\sqrt{n}$的形式；
2. 找到两个正数$x、y$，满足$x+y=m$，$xy=n$，则根号内的式子可写为$(\sqrt{x}\pm\sqrt{y})^2$；
3. 开方后取非负结果即可。
【解析】
(1) 先将$7+4\sqrt{3}$变形为完全平方形式：
$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4×3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}$
因为$\sqrt{4}+\sqrt{3}＞0$，所以开方得$\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
(2) 同理将$13-2\sqrt{42}$变形为完全平方形式：
$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{6×7} + (\sqrt{6})^2}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}$
因为$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$，所以开方得$\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $2+\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题的解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，能够快速找到对应凑完全平方的两个数，同时要注意二次根式开方结果一定是非负的，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题考查复合二次根式的化简，解题核心是利用完全平方公式将根号内的式子配凑成完全平方形式，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$）化简：
1. 先将根号内的式子整理为$m\pm2\sqrt{n}$的形式；
2. 找到两个正数$x、y$，满足$x+y=m$，$xy=n$，则根号内的式子可写为$(\sqrt{x}\pm\sqrt{y})^2$；
3. 开方后取非负结果即可。
【解析】
(1) 先将$7+4\sqrt{3}$变形为完全平方形式：
$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4×3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}$
因为$\sqrt{4}+\sqrt{3}＞0$，所以开方得$\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
(2) 同理将$13-2\sqrt{42}$变形为完全平方形式：
$\sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{6×7} + (\sqrt{6})^2}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}$
因为$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$，所以开方得$\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $2+\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题的解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，能够快速找到对应凑完全平方的两个数，同时要注意二次根式开方结果一定是非负的，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
