1 下列方程中，关于$x$的一元二次方程是()。

A.$3(x+1)^2 = 2(x+1)$
B.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - 2 = 0$
C.$ax^2 + bx + c = 0$
D.$x^2 + 2x = x^2 - 1$

1.A

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要牢记一元二次方程的4个判定要点：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为2；3.属于整式方程（分母不含未知数）；4.化简后二次项的系数不为0。解题时我们就对照这几个要点，逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。我们逐个分析选项：
选项A：将方程$3(x+1)^2 = 2(x+1)$展开化简，左边得$3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3$，将右边的项移到左边得$3x^2+6x+3-2x-2=0$，整理为$3x^2+4x+1=0$，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
选项B：方程$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - 2 = 0$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求。
选项C：$ax^2 + bx + c = 0$没有注明$a≠0$，当$a=0$时方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程。
选项D：将$x^2 + 2x = x^2 - 1$移项化简，得$x^2 - x^2 +2x +1=0$，即$2x+1=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
综上，只有选项A是关于x的一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式与分式方程区分
【点评】
本题是对一元二次方程基本概念的考察，解题时要注意先对方程进行化简，再结合定义的多个判定要点逐一验证，尤其不能忽略二次项系数不为0的隐含条件，同时要注意区分整式方程和分式方程，避免误判。
【难度系数】
0.8

2 已知$x=1$是方程$x^2 - 2x + c=0$的一个根，则实数$c$的值是（）。

A.-1
B.0
C.1
D.2

2.C

【分析】
解题时首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知x=1是给定一元二次方程的根，所以将x=1代入原方程后等式一定成立，代入后就能得到只含未知数c的一元一次方程，解这个方程即可求出c的值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 - 2x + c=0$的一个根
∴将x=1代入原方程，等式成立，即：
$1^2 - 2×1 + c = 0$
计算得：$1 - 2 + c = 0$
化简得：$-1 + c = 0$
解得：$c=1$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的概念的应用，计算量小，掌握根的定义代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3 关于$x$的方程$(a-1)x^2 + \sqrt{a+1}x + 2 = 0$是一元二次方程，则$a$的取值范围是（）。

A.$a≠1$
B.$a≥-1$且$a≠1$
C.$a＞-1$且$a≠1$
D.$a≠±1$

3.B

【分析】
要确定a的取值范围，需结合两个核心限制条件分析：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0，保证未知数的最高次数为2；其次，式子中的二次根式要有意义，被开方数必须是非负数。分别列出两个条件对应的不等式，取解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得：
$a-1≠0$，解得$a≠1$；
又因为二次根式$\sqrt{a+1}$有意义，被开方数需为非负数，可得：
$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
综合两个条件，a的取值范围为$a≥-1$且$a≠1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念综合题，易错点是容易忽略二次根式的被开方数非负的限制，只考虑二次项系数不为0从而误选A，解题时要先找出题目中所有的限制条件，再合并解集得到最终结果。
【难度系数】
0.7

4 方程$5x^2=6x-8$化为一元二次方程一般形式后，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

4.二次项系数为5，一次项系数为-6，常数项为8

【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：先将原方程通过移项整理成右边为0的一般形式，移项时注意改变移动项的符号，再对应一般形式识别各项的系数即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2 + bx + c = 0$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）。
对原方程$5x^2=6x-8$进行移项，将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号，可得：
$5x^2 - 6x + 8 = 0$
对照一般形式：
二次项为$5x^2$，二次项系数为5；
一次项为$-6x$，一次项系数为-6；
常数项为不含未知数的项，即8。
【答案】
5；-6；8
【知识点】
一元二次方程一般形式；移项规则；项的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程一般形式的掌握，易错点是移项时忽略符号变化，导致一次项系数、常数项符号判断错误，牢记移项变号规则即可准确作答。
【难度系数】
0.85

5 已知$x=3$是关于$x$的方程$\frac{4}{3}x^2 -2a +1=0$的一个解，则$a$的值是。

5.$\frac{13}{2}$

【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=3是原方程的解，因此将x=3代入原方程，原方程就转化为只含有未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
∵ $x=3$是方程$\frac{4}{3}x^2 -2a +1=0$的一个解
∴ 将$x=3$代入方程，等式成立，可得：
$\frac{4}{3} × 3^2 - 2a + 1 = 0$
先计算乘方和乘法：$\frac{4}{3} × 9 = 12$，代入得：
$12 - 2a + 1 = 0$
合并常数项：$13 - 2a = 0$
移项得：$2a = 13$
系数化为1，得：$a = \frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
方程的解的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查方程解的应用，通过代入已知解将求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，掌握代入法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

⑥ 如果方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$中，$a - b + c = 0$，那么方程必有一个根是。

6.$x=-1$

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。观察已知条件$a - b + c = 0$，和原方程左边$ax^2+bx+c$的结构做对比，我们需要找到$x$的取值，使得代入后$ax^2=a$、$bx=-b$，即可匹配已知等式的结构，由此可想到代入$x=-1$验证是否满足方程。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将$x=-1$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$的左边：
左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$
已知$a - b + c = 0$，因此左边$=0=$右边，说明$x=-1$满足该方程。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，解题核心是将已知等式和方程左边的代数式结构做匹配，即可快速找到对应根，熟练掌握根的定义能提高这类题的解题速度。
【难度系数】
0.9

7 关于$x$的方程$(k - 3)x^2 + 2x - 1 = 0$中，当k时，该方程是一元二次方程。

7.$≠3$

【分析】
要判断方程为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义：一元二次方程是只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，核心判定条件是二次项系数不能为0。本题给出的方程已经满足整式方程、仅含未知数x的要求，因此只需保证二次项系数不为0即可。我们先找到方程的二次项系数为$(k-3)$，令其不等于0，解不等式就能得到k的取值。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
在方程$(k - 3)x^2 + 2x - 1 = 0$中，二次项系数为$k-3$，
因此列不等式：$k-3 ≠ 0$，
解得：$k ≠ 3$。
【答案】
$≠3$
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握一元二次方程的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9

⑧ 一元二次方程$x(x + 3) = 2x - 5$化成一般形式是。

8.$x^2 + x + 5 = 0$

【分析】
要得到一元二次方程的一般形式，首先需明确其标准结构为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。解题时先去掉方程中的括号，再将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，最后合并同类项即可整理成标准形式。
【解析】
1. 去括号：将方程左侧$x(x+3)$展开，原方程变为：
$x^2+3x=2x-5$
2. 移项：把等号右侧的项全部移到左侧，移项需变号，得：
$x^2+3x-2x+5=0$
3. 合并同类项：对一次项合并化简，最终得：
$x^2+x+5=0$
【答案】
$x^2 + x + 5 = 0$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查一般形式的化简规则，解题核心是熟练掌握去括号、移项变号的运算要求，确保最终结果等号右侧为0。
【难度系数】
0.9

若$x=3$和$x=4$都是关于$x$的方程$ax^2+bx+12=0$的解，则$a-b=$

9.8

11 下列各方程后面括号内的数，哪些是这个方程的解？
(1) $3x^2 - 2x - 1 = 0(\sqrt{2}, 1, -\dfrac{1}{3})$；
(2) $2x^2 - 3x + 1 = 0(\dfrac{1}{2}, 1, 2)$。

11.(1) $1, -\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{2}, 1$

【分析】
要判断一个数是否为方程的解，使用代入验证法即可：将待验证的数分别代入方程的左右两边，若两边计算结果相等，则该数是方程的解，反之则不是。本题只需把括号内的数依次代入对应方程的左边求值，再和右边的0比较，即可筛选出符合要求的解。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$，方程右边为0，分别代入三个数验证：
① 代入$x=\sqrt{2}$：左边$=3×(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2} -1=3×2 - 2\sqrt{2} -1=5-2\sqrt{2}≠0$，左边≠右边，故$\sqrt{2}$不是方程的解；
② 代入$x=1$：左边$=3×1^2 - 2×1 -1=3-2-1=0$，左边=右边，故$1$是方程的解；
③ 代入$x=-\dfrac{1}{3}$：左边$=3×(-\dfrac{1}{3})^2 - 2×(-\dfrac{1}{3}) -1=3×\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$，左边=右边，故$-\dfrac{1}{3}$是方程的解。
(2) 对于方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$，方程右边为0，分别代入三个数验证：
① 代入$x=\dfrac{1}{2}$：左边$=2×(\dfrac{1}{2})^2 - 3×\dfrac{1}{2} +1=2×\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+1=0$，左边=右边，故$\dfrac{1}{2}$是方程的解；
② 代入$x=1$：左边$=2×1^2 - 3×1 +1=2-3+1=0$，左边=右边，故$1$是方程的解；
③ 代入$x=2$：左边$=2×2^2 - 3×2 +1=8-6+1=3≠0$，左边≠右边，故$2$不是方程的解。
【答案】
(1) $1, -\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{2}, 1$
【知识点】
方程的解的判定、代数式求值、一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查方程解的验证方法，代入验证法是检验方程根的常用方法，熟练掌握该方法可为后续学习一元二次方程的求解打下良好基础。
【难度系数】
0.9