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12 已知关于$x$的方程$kx^2 - k(x + 2) = x(2x + 3) + 1$。
(1) 当$k$取何值时，这个方程是一元二次方程；
(2) 当$k$取何值时，这个方程是一元一次方程；
(3) －1是不是这个方程的根？为什么？
(1) 当$k$取何值时，这个方程是一元二次方程；
(2) 当$k$取何值时，这个方程是一元一次方程；
(3) －1是不是这个方程的根？为什么？
答案
12.(1) $k≠2$ (2) $k=2$ (3) 是。因为当$x=-1$时,左边$=k - k=0$,右边$=-1+1=0$,所以$x=-1$使方程两边的值相等,所以$-1$是这个方程的根。
解析
【分析】
解题前先将原方程整理为关于x的整式方程的一般形式，再根据对应概念求解：①一元二次方程需满足二次项系数不为0；②一元一次方程需满足二次项系数为0且一次项系数不为0；③判断一个数是不是方程的根，只需将这个数代入方程左右两边，若两边值相等则是方程的根，否则不是。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：
去括号得：$kx^2 - kx - 2k = 2x^2 + 3x + 1$
移项、合并同类项得：$(k - 2)x^2 - (k + 3)x - (2k + 1) = 0$
(1) 若方程为一元二次方程，需二次项系数不为0：
$k - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
(2) 若方程为一元一次方程，需二次项系数为0且一次项系数不为0：
列条件$\begin{cases}k - 2 = 0 \\ -(k + 3) ≠ 0 \end{cases}$，解得$k=2$，此时一次项系数为$-5≠0$，符合要求。
(3) 将$x=-1$代入原方程左右两边验证：
左边$=k×(-1)^2 - k×(-1 + 2) = k - k = 0$
右边$=(-1)×(2×(-1) + 3) + 1 = -1 + 1 = 0$
左边=右边，故-1是方程的根。
【答案】
(1) $k≠2$
(2) $k=2$
(3) 是。因为当$x=-1$时,左边$=k - k=0$,右边$=-1+1=0$,所以$x=-1$使方程两边的值相等,所以$-1$是这个方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元一次方程定义
3. 方程的根的判定
【点评】
本题侧重基础概念考查，核心是掌握不同类型整式方程的系数特征，验证根的方法直接简单，解题时注意先将原方程整理为一般形式再分析系数条件即可。
【难度系数】
0.8
解题前先将原方程整理为关于x的整式方程的一般形式，再根据对应概念求解：①一元二次方程需满足二次项系数不为0；②一元一次方程需满足二次项系数为0且一次项系数不为0；③判断一个数是不是方程的根，只需将这个数代入方程左右两边，若两边值相等则是方程的根，否则不是。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：
去括号得：$kx^2 - kx - 2k = 2x^2 + 3x + 1$
移项、合并同类项得：$(k - 2)x^2 - (k + 3)x - (2k + 1) = 0$
(1) 若方程为一元二次方程，需二次项系数不为0：
$k - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
(2) 若方程为一元一次方程，需二次项系数为0且一次项系数不为0：
列条件$\begin{cases}k - 2 = 0 \\ -(k + 3) ≠ 0 \end{cases}$，解得$k=2$，此时一次项系数为$-5≠0$，符合要求。
(3) 将$x=-1$代入原方程左右两边验证：
左边$=k×(-1)^2 - k×(-1 + 2) = k - k = 0$
右边$=(-1)×(2×(-1) + 3) + 1 = -1 + 1 = 0$
左边=右边，故-1是方程的根。
【答案】
(1) $k≠2$
(2) $k=2$
(3) 是。因为当$x=-1$时,左边$=k - k=0$,右边$=-1+1=0$,所以$x=-1$使方程两边的值相等,所以$-1$是这个方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元一次方程定义
3. 方程的根的判定
【点评】
本题侧重基础概念考查，核心是掌握不同类型整式方程的系数特征，验证根的方法直接简单，解题时注意先将原方程整理为一般形式再分析系数条件即可。
【难度系数】
0.8
13 已知关于x的方程$(m-2)x^{|m|}+2x+4=2m-1$，当m为何值时，方程分别是一元二次方程和一元一次方程？
答案
13.当$m=-2$时,该方程是一元二次方程。当$m=0$或$±1$或2时,该方程是一元一次方程。
解析
【分析】
要判断方程属于一元二次方程还是一元一次方程，需紧扣两类方程的定义分析：
1. 一元二次方程需满足三个条件：仅含1个未知数$x$、$x$的最高次数为2、二次项系数不为0，据此列等式和不等式即可求解$m$的取值；
2. 一元一次方程需满足：仅含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1、一次项系数不为0，本题含$x$的项有两项，需分三种情况讨论：① $(m-2)x^{|m|}$的次数为1；② $(m-2)x^{|m|}$为常数项（次数为0）；③ $(m-2)x^{|m|}$的系数为0，该项完全消失，剩余项最高次数为1，分别求解后验证一次项系数不为0即可。
【解析】
一、求方程为一元二次方程时$m$的取值
若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases} |m|=2 \\ m-2 ≠ 0 \end{cases}$
解$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m ≠ 2$的要求，最终得$m=-2$。
二、求方程为一元一次方程时$m$的取值
分三类情况讨论：
1. 当$|m|=1$时，$x$的最高次数为1：
解得$m=1$或$m=-1$，此时合并后一次项系数为$m$，$m=\pm1$时均不为0，符合一元一次方程要求；
2. 当$|m|=0$时，$(m-2)x^{|m|}$为常数项：
解得$m=0$，代入原方程得$2x+2=-1$，一次项系数为2≠0，符合要求；
3. 当$m-2=0$时，$(m-2)x^{|m|}$项消失：
解得$m=2$，代入原方程得$2x+4=3$，一次项系数为2≠0，符合要求。
综上，$m=0$、$\pm1$、$2$时方程为一元一次方程。
【答案】
当$m=-2$时,该方程是一元二次方程。当$m=0$或$±1$或2时,该方程是一元一次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题核心是紧扣“最高次项次数符合要求、对应非零次项的系数不为0”的隐含条件，分类讨论时要覆盖所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要判断方程属于一元二次方程还是一元一次方程，需紧扣两类方程的定义分析：
1. 一元二次方程需满足三个条件：仅含1个未知数$x$、$x$的最高次数为2、二次项系数不为0，据此列等式和不等式即可求解$m$的取值；
2. 一元一次方程需满足：仅含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1、一次项系数不为0，本题含$x$的项有两项，需分三种情况讨论：① $(m-2)x^{|m|}$的次数为1；② $(m-2)x^{|m|}$为常数项（次数为0）；③ $(m-2)x^{|m|}$的系数为0，该项完全消失，剩余项最高次数为1，分别求解后验证一次项系数不为0即可。
【解析】
一、求方程为一元二次方程时$m$的取值
若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases} |m|=2 \\ m-2 ≠ 0 \end{cases}$
解$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m ≠ 2$的要求，最终得$m=-2$。
二、求方程为一元一次方程时$m$的取值
分三类情况讨论：
1. 当$|m|=1$时，$x$的最高次数为1：
解得$m=1$或$m=-1$，此时合并后一次项系数为$m$，$m=\pm1$时均不为0，符合一元一次方程要求；
2. 当$|m|=0$时，$(m-2)x^{|m|}$为常数项：
解得$m=0$，代入原方程得$2x+2=-1$，一次项系数为2≠0，符合要求；
3. 当$m-2=0$时，$(m-2)x^{|m|}$项消失：
解得$m=2$，代入原方程得$2x+4=3$，一次项系数为2≠0，符合要求。
综上，$m=0$、$\pm1$、$2$时方程为一元一次方程。
【答案】
当$m=-2$时,该方程是一元二次方程。当$m=0$或$±1$或2时,该方程是一元一次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题核心是紧扣“最高次项次数符合要求、对应非零次项的系数不为0”的隐含条件，分类讨论时要覆盖所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14 已知关于$x$的方程$x^2 - mx(2x - m - 1)=0$。
（1）当$m$为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）若该方程有一个根为$x=0$，求$m$的值。
（1）当$m$为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）若该方程有一个根为$x=0$，求$m$的值。
答案
14.(1) $m≠\frac{1}{2}$ (2) $m$可取任意实数
解析
【分析】
（1）要判断方程为一元二次方程，需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程“二次项系数不为0”的条件列不等式求解即可。
（2）根据方程根的定义，将x=0代入原方程，观察等式成立的条件，即可确定m的取值范围。
【解析】
（1）先将原方程整理为一般形式：
展开原式得：$x^2 - 2mx^2 + m(m+1)x = 0$
合并同类项得：$(1-2m)x^2 + m(m+1)x = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$1-2m ≠ 0$
解得：$m ≠ \frac{1}{2}$
（2）将$x=0$代入原方程：
左边$=0^2 - m×0×(2×0 - m -1)=0$，右边$=0$
可知无论m取何实数，代入$x=0$后等式均成立，因此m可取任意实数。
【答案】
(1) $m≠\frac{1}{2}$ (2) $m$可取任意实数
【知识点】
一元二次方程的定义、方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时需注意一元二次方程必须满足二次项系数不为0的隐含条件，掌握根的定义是解决第二问的关键，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
（1）要判断方程为一元二次方程，需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程“二次项系数不为0”的条件列不等式求解即可。
（2）根据方程根的定义，将x=0代入原方程，观察等式成立的条件，即可确定m的取值范围。
【解析】
（1）先将原方程整理为一般形式：
展开原式得：$x^2 - 2mx^2 + m(m+1)x = 0$
合并同类项得：$(1-2m)x^2 + m(m+1)x = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$1-2m ≠ 0$
解得：$m ≠ \frac{1}{2}$
（2）将$x=0$代入原方程：
左边$=0^2 - m×0×(2×0 - m -1)=0$，右边$=0$
可知无论m取何实数，代入$x=0$后等式均成立，因此m可取任意实数。
【答案】
(1) $m≠\frac{1}{2}$ (2) $m$可取任意实数
【知识点】
一元二次方程的定义、方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时需注意一元二次方程必须满足二次项系数不为0的隐含条件，掌握根的定义是解决第二问的关键，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
