1 下列方程中，是一元二次方程的是()。

A.$x^2 + y^2 = 1$
B.$3x^2 + 1 = 6x$
C.$3x + 2 = 0$
D.$x^2 + \frac{2}{x} = 1$

1.B

【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要牢记一元二次方程的3个核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时只需要把四个选项分别对照这3个条件逐一排查，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：
1. 属于整式方程，即方程所有项的分母都不含未知数；
2. 仅含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数为2，且二次项系数不等于0。
逐一分析选项：
选项A：方程同时含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，属于二元二次方程，排除；
选项B：整理后为$3x^2-6x+1=0$，仅含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求；
选项C：未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，排除；
选项D：方程分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式与分式方程的区分
【点评】
本题是一元二次方程的基础判定题，解题关键是熟练掌握一元二次方程的三个判定要点，注意要先判断方程是否为整式方程，避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.8

② $x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的解，则$2a + 4b = (\quad)$。

A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-6$

2.A

【分析】
解题时首先依据一元二次方程解的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此第一步可将x=1代入原方程，得到含a、b的等式；再观察所求代数式2a+4b的结构，可变形为2(a+2b)，通过整体代入的方法即可求出结果，无需单独计算a、b的取值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的解，
∴将$x=1$代入原方程，等式成立，即：
$1^2 + a × 1 + 2b = 0$
整理得：$a + 2b = -1$
对所求代数式变形可得：$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$代入上式得：$2 × (-1) = -2$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查方程解的应用，解题关键是熟练掌握“方程的解代入原方程等式成立”的性质，结合整体代入思想求值可减少计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.8

3 将一元二次方程$(1-3x)(x+3)=2x^2+1$化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（）。

A.5，-2
B.2，-3
C.-5，-1
D.6，2

3.A

【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项。解题思路分为三步：第一步利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步将方程右边的项全部移到左边，第三步合并同类项化为一般形式，最后对应找到二次项系数和常数项即可。
【解析】
首先展开方程左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(1-3x)(x+3)&=1× x +1×3 -3x× x -3x×3\\&=x+3-3x^2-9x\\&=-3x^2-8x+3\end{aligned}$
原方程为$(1-3x)(x+3)=2x^2+1$，将右边的项移到左边（移项要变号）：
$-3x^2-8x+3-2x^2-1=0$
合并同类项：
$-5x^2-8x+2=0$
为了使二次项系数为正，两边同时乘以$-1$，得到一元二次方程的一般形式：
$5x^2+8x-2=0$
因此二次项系数是$5$，常数项是$-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题过程中需要注意去括号的运算规则、移项时符号要改变，合并同类项时要准确计算同类项的系数，避免因运算失误失分。
【难度系数】
0.75

④ 将方程$2(x - 1)^2 = 3 - 5x$化成一般形式为。

4. $2x^2 + x - 1 = 0$

【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题步骤如下：第一步先利用完全平方公式展开左边的式子，第二步去括号，第三步将等号右侧的所有项移到左侧，第四步合并同类项，最终整理为左侧按$x$的降幂排列、右侧为0的形式即可。
【解析】
1. 展开左边的完全平方式：
$(x-1)^2=x^2-2x+1$，因此原方程左边变为$2(x^2-2x+1)$，去括号得$2x^2-4x+2$，此时方程为：
$2x^2 - 4x + 2 = 3 - 5x$
2. 移项（移项要变号），将右侧的项全部移到左侧：
$2x^2 - 4x + 2 - 3 + 5x = 0$
3. 合并同类项：
$2x^2 + (-4x + 5x) + (2 - 3) = 0$
化简得$2x^2 + x - 1 = 0$
【答案】
$2x^2 + x - 1 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、完全平方公式、整式加减运算
【点评】
本题属于基础类习题，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需注意完全平方展开的计算正确性，移项时要改变符号，合并同类项要细心，该类化简是解一元二次方程的必备基础。
【难度系数】
0.8

5 若一个一元二次方程的一个根为$x=2$，且它的二次项系数为$-1$，这个方程可以是。

5. $-x^2 + 2x = 0$(答案不唯一)

【分析】
解题思路如下：首先明确题目给出的两个条件：①是一元二次方程，二次项系数为-1；②有一个根为$x=2$。我们可以先根据二次项系数写出含未知一次项系数、常数项的一元二次方程一般形式，再利用“方程的根代入方程等式成立”的性质，得到系数之间的关系，最后取简单的系数值即可得到符合要求的方程，因为满足条件的系数组合不唯一，所以本题答案不唯一。
【解析】
第一步：设该一元二次方程为$-x^2 + bx + c = 0$（其中$b、c$为常数，符合一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中$a=-1≠0$的要求）。
第二步：根据一元二次方程根的定义，将根$x=2$代入方程，等式成立：
$-2^2 + 2b + c = 0$
化简得：$2b + c = 4$。
第三步：取简单的系数值即可，例如令$c=0$，代入得$2b=4$，解得$b=2$，此时方程为$-x^2 + 2x = 0$，符合所有条件，也可取其他满足$2b + c = 4$的$b、c$值得到不同的正确方程。
【答案】
$-x^2 + 2x = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的意义
【点评】
本题是开放类基础题，核心考查对一元二次方程相关基本概念的掌握，只要理解根的含义就能轻松构造出符合要求的方程，解题时可优先取简单的系数值简化计算。
【难度系数】
0.8

⑥ 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + a^2x - a = 0$有一个根是$x=1$，则$a =$。
⑦ 已知$(m - 1)x^{|m+1|} - 3x -5 =0$是关于$x$的一元二次方程，则$m =$。

6. $-1$
7. $-3$

【分析】
第⑥题：已知一元二次方程的一个根，根据方程根的性质，将根代入原方程等式可成立，由此能得到关于a的方程，求出a的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的a值，就能得到最终结果。
第⑦题：根据一元二次方程的定义，需同时满足两个条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列出关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值。
【解析】
⑥ 解：将$x=1$代入原方程，得：
$(a-1)×1^2 + a^2×1 - a = 0$
化简得：$a - 1 + a^2 - a = 0$，即$a^2 -1 = 0$
解得：$a=1$或$a=-1$
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
∴ $a=-1$
⑦ 解：
∵ 方程$(m - 1)x^{|m+1|} - 3x -5 =0$是一元二次方程
∴ 最高次项次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|m+1|=2 \\m-1≠0\end{cases}$
由$|m+1|=2$得：$m+1=2$或$m+1=-2$，解得$m=1$或$m=-3$
由$m-1≠0$得：$m≠1$
∴ $m=-3$
【答案】
⑥ $\boldsymbol{-1}$；⑦ $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程定义，方程根的性质，绝对值运算
【点评】
这两道题是一元二次方程相关的基础题型，重点考查对一元二次方程定义的理解，解题时需特别注意二次项系数不为0的隐含条件，避免漏判导致出错。
【难度系数】
0.7

⑧ 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根分别为$x_1=3$，$x_2=-2$，则方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$的两根分别为。

8. $x_1=4，x_2=-1$

【分析】
观察到待求解的方程和已知根的方程结构完全相同，我们可以用整体换元的思路解题：把待求方程里的$x-1$看作一个整体，这个整体的取值就等于已知方程的两根，再解关于$x$的一元一次方程即可，不需要展开待求方程进行繁琐计算。
【解析】
设$t=x-1$，则方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$可转化为$at^2+bt+c=0$。
由题意可知方程$at^2+bt+c=0(a≠0)$的两根为$t_1=3$，$t_2=-2$，因此可得：
当$t=3$时，$x-1=3$，解得$x_1=4$；
当$t=-2$时，$x-1=-2$，解得$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=4，x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，整体思想
【点评】
本题无需展开新方程计算，通过整体代换即可快速求出根，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整体思想在解方程中的运用，能有效简化运算步骤。
【难度系数】
0.7

9 若关于x的一元二次方程$ax^2=16$有整数根，则整数a的值可以是。

9. 1或4或16

【分析】
解决本题首先要牢记一元二次方程的定义：二次项系数不为0，因此首先确定$a≠0$。再将方程变形为$x^2=\frac{16}{a}$，方程有整数根意味着$x$是整数，那么$x^2$一定是正的完全平方数（平方数非负，且$\frac{16}{a}$不可能为0），由此可得$\frac{16}{a}＞0$，即$a$为正整数，且$\frac{16}{a}$是完全平方数，据此枚举符合条件的整数$a$即可。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2=16$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数$a≠0$。
将方程变形得：$x^2=\frac{16}{a}$。
∵ 方程有整数根，即$x$为整数，
∴ $x^2$是正的完全平方数，因此$\frac{16}{a}＞0$，即$a$为正整数，且$\frac{16}{a}$为完全平方数。
① 当$\frac{16}{a}=16$时，解得$a=1$，此时$x=\pm4$，为整数，符合要求；
② 当$\frac{16}{a}=4$时，解得$a=4$，此时$x=\pm2$，为整数，符合要求；
③ 当$\frac{16}{a}=1$时，解得$a=16$，此时$x=\pm1$，为整数，符合要求。
因此整数$a$的值可以是1、4、16。
【答案】
1或4或16
【知识点】
一元二次方程定义，平方根的性质，完全平方数
【点评】
本题侧重考察基础概念的应用，解题时需先抓住一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，再结合整数根的要求推导$\frac{16}{a}$的特征，即可快速筛选出符合条件的$a$值，易错点是容易忽略$a$的取值范围导致多解或错解。
【难度系数】
0.7

⑩ 若实数$a$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，则$a^3 + \frac{24}{a^2 + 1}$的值为。

10. 21
[提示:因为$x = a$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根,所以$a^2 - 3a + 1 = 0$
所以$a^2 = 3a - 1$,$a + \frac{1}{a} = 3$,所以$a^3 + \frac{24}{a^2 + 1} = a(3a - 1) + \frac{24}{3a - 1 + 1} = 3a^2 - a + \frac{8}{a} = 3(3a - 1) - a + \frac{8}{a} = 8a + \frac{8}{a} - 3 = 8(a + \frac{1}{a}) - 3 = 8×3 - 3 = 21$。]

【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到a满足的等式，所求代数式包含a³、a²等高次项，直接求解a的值计算会很繁琐，因此考虑利用方程变形对高次项进行降次，同时替换分式的分母，逐步将代数式化简为可整体代入求值的形式，即可算出结果。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 3a + 1 = 0$，
变形可得：$a^2 = 3a - 1$，$a^2 + 1 = 3a$，
由$a^2 - 3a + 1 = 0$可知$a≠0$，等式两边同时除以a得：$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}a^3 + \frac{24}{a^2 + 1}&= a · a^2 + \frac{24}{3a}\\&= a(3a - 1) + \frac{8}{a}\\&= 3a^2 - a + \frac{8}{a}\\&= 3(3a - 1) - a + \frac{8}{a}\\&= 8a + \frac{8}{a} - 3\\&= 8(a + \frac{1}{a}) - 3\end{aligned}$
将$a + \frac{1}{a}=3$代入上式得：$8×3 - 3 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式降次化简，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的核心是利用一元二次方程根的性质对高次项降次，无需解出a的具体值，通过整体代入简化计算，是这类求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6

11 关于$x$的方程$(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1=0$。
(1) 当$m$取何值时，这个方程是一元二次方程？
(2) 当$m$取何值时，这个方程是一元一次方程？

11. (1) $m = 1$ (2) $m = 0$ 或 $m = -1$

【分析】
要解决这道题，需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义分析求解：
(1) 一元二次方程需满足3个条件：仅含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可。
(2) 一元一次方程需满足：仅含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，本题需分两种情况讨论：①原方程的二次项系数为0，剩余项为一次项；②原方程最高次项的次数为1，合并后一次项系数不为0，分别求解后汇总结果即可。
【解析】
(1) 若方程是一元二次方程，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \quad \mathrm{（未知数最高次数为2）} \\ m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解$m^2 + 1 = 2$得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$；
结合$m + 1 ≠ 0$即$m ≠ -1$，得$m=1$。
(2) 若方程是一元一次方程，分两种情况讨论：
情况1：二次项系数为0，剩余项为一次项，即：
$\begin{cases}m + 1 = 0 \\ m - 3 ≠ 0\end{cases}$
解$m + 1 = 0$得$m=-1$，代入得$m - 3 = -4 ≠ 0$，符合要求。
情况2：最高次项次数为1，合并后一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 1 \\ (m + 1) + (m - 3) ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 + 1 =1$得$m^2=0$，即$m=0$，代入一次项系数得$1 + (-3) = -2 ≠ 0$，符合要求。
综上，$m=0$或$m=-1$。
【答案】
(1) $m = 1$；(2) $m = 0$ 或 $m = -1$
【知识点】
一元二次方程的定义、一元一次方程的定义、分类讨论思想
【点评】
本题考查整式方程的类型判定，解题核心是牢记各类方程的定义，特别注意要保证最高次项系数不为0，判定一元一次方程时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7