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12 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a - 2)x^{a^2 - 2} + bx - 3 = -(x + 1)$ 的一次项系数为0，求 $\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{3}}$ 的值。
答案
12. 因为方程化为一般形式为$(a - 2)x^{(a^2 - 2)} + (b + 1)x - 2 = 0$,所以$a^2 - 2 = 2$且$a - 2 ≠ 0$,
所以$a = -2$。又因为一次项系数为0,所以$b + 1 = 0$,所以$b = -1$。所以$\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{3}} = \frac{(-2)^2 - (-1)^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。
所以$a = -2$。又因为一次项系数为0,所以$b + 1 = 0$,所以$b = -1$。所以$\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{3}} = \frac{(-2)^2 - (-1)^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先明确核心依据：一元二次方程需要同时满足两个条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，结合题目给出的一次项系数为0的条件逐步推导即可。首先先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义列等式求a的取值，注意排除二次项系数为0的情况，接着根据一次项系数为0的条件求b的值，最后将a、b代入代数式化简计算即可。
【解析】
解：先对原方程移项、合并同类项，整理为一般形式：
$(a - 2)x^{a^2 - 2} + (b + 1)x - 2 = 0$
∵该方程是关于x的一元二次方程
∴最高次项次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 2 = 2 \\ a - 2 ≠ 0 \end{cases}$
解$a^2 - 2 = 2$得$a^2=4$，即$a=\pm2$，结合$a-2≠0$（即$a≠2$），可得$a=-2$。
又
∵方程的一次项系数为0
∴$b + 1 = 0$，解得$b=-1$。
将$a=-2$，$b=-1$代入$\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{3}}$计算：
$\frac{(-2)^2 - (-1)^2}{\sqrt{3}} = \frac{4 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程“二次项系数不为0”的隐含条件，错误得到a=2的结果，解题时要注意对定义的完整理解，同时二次根式化简也要保证运算规范。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确核心依据：一元二次方程需要同时满足两个条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，结合题目给出的一次项系数为0的条件逐步推导即可。首先先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义列等式求a的取值，注意排除二次项系数为0的情况，接着根据一次项系数为0的条件求b的值，最后将a、b代入代数式化简计算即可。
【解析】
解：先对原方程移项、合并同类项，整理为一般形式：
$(a - 2)x^{a^2 - 2} + (b + 1)x - 2 = 0$
∵该方程是关于x的一元二次方程
∴最高次项次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 2 = 2 \\ a - 2 ≠ 0 \end{cases}$
解$a^2 - 2 = 2$得$a^2=4$，即$a=\pm2$，结合$a-2≠0$（即$a≠2$），可得$a=-2$。
又
∵方程的一次项系数为0
∴$b + 1 = 0$，解得$b=-1$。
将$a=-2$，$b=-1$代入$\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{3}}$计算：
$\frac{(-2)^2 - (-1)^2}{\sqrt{3}} = \frac{4 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程“二次项系数不为0”的隐含条件，错误得到a=2的结果，解题时要注意对定义的完整理解，同时二次根式化简也要保证运算规范。
【难度系数】
0.6
13 关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$经过适当变形，可以写成$(x - m)(x - n) = p(m ≤ n)$的形式。现列表探究$x^2 -4x -3=0$的变形：
回答下列问题：
（1）表格中$t$的值为
（2）观察上述探究过程，表格中$m$与$n$满足的等量关系为
（3）记$x^2 + bx + c =0$的两个变形为$(x - m_1)(x - n_1)=p_1$和$(x - m_2)(x - n_2)=p_2(p_1 ≠ p_2)$，求$\frac{n_1 - n_2}{m_1 - m_2}$的值。
回答下列问题：
（1）表格中$t$的值为
3
；（2）观察上述探究过程，表格中$m$与$n$满足的等量关系为
$m + n = 4$
；（3）记$x^2 + bx + c =0$的两个变形为$(x - m_1)(x - n_1)=p_1$和$(x - m_2)(x - n_2)=p_2(p_1 ≠ p_2)$，求$\frac{n_1 - n_2}{m_1 - m_2}$的值。
答案
13. (1) 3 (2) $m + n = 4$ (3) $-1$
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程一般式与变形后的$(x-m)(x-n)=p$形式的系数对应关系出题，解题思路如下：1. 第(1)问将变形后的方程展开整理为一般式，和原方程$x^2-4x-3=0$对比一次项系数，列等式求解$t$；2. 第(2)问计算每行$m$与$n$的和，归纳总结得到二者的等量关系；3. 第(3)问将通用变形形式展开后和一元二次方程一般式对比，得到$m$与$n$的和为定值，再通过代数变形推导所求分式的值。
【解析】
（1）将$(x-1)(x-t)=6$展开得：$x^2-(1+t)x+t=6$，移项整理为一般式：$x^2-(1+t)x+t-6=0$。
该方程是$x^2-4x-3=0$的变形，因此对应一次项系数相等，即$-(1+t)=-4$，解得$t=3$。
（2）观察表格中$m$、$n$的取值：第一行$-1+5=4$，第二行$0+4=4$，第三行$1+3=4$，第四行$2+2=4$，因此$m$与$n$满足的等量关系为$m+n=4$。
（3）将$(x-m)(x-n)=p$展开整理得：$x^2-(m+n)x+mn-p=0$。
对比一元二次方程一般式$x^2+bx+c=0$，可得一次项系数对应关系：$-(m+n)=b$，即$m+n=-b$，该值和$p$的取值无关。
因此对于两个变形$(x-m_1)(x-n_1)=p_1$和$(x-m_2)(x-n_2)=p_2$，有$m_1+n_1=-b$，$m_2+n_2=-b$，故$m_1+n_1=m_2+n_2$。
移项得$n_1-n_2=m_2-m_1=-(m_1-m_2)$，因此$\frac{n_1-n_2}{m_1-m_2}=\frac{-(m_1-m_2)}{m_1-m_2}=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{m+n=4}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
多项式乘法，一元二次方程系数对应，代数式变形
【点评】
本题属于规律探究类题型，结合一元二次方程的变形考查学生的观察归纳能力和代数运算能力，需要熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，理解方程变形中系数的对应关系。
【难度系数】
0.65
本题围绕一元二次方程一般式与变形后的$(x-m)(x-n)=p$形式的系数对应关系出题，解题思路如下：1. 第(1)问将变形后的方程展开整理为一般式，和原方程$x^2-4x-3=0$对比一次项系数，列等式求解$t$；2. 第(2)问计算每行$m$与$n$的和，归纳总结得到二者的等量关系；3. 第(3)问将通用变形形式展开后和一元二次方程一般式对比，得到$m$与$n$的和为定值，再通过代数变形推导所求分式的值。
【解析】
（1）将$(x-1)(x-t)=6$展开得：$x^2-(1+t)x+t=6$，移项整理为一般式：$x^2-(1+t)x+t-6=0$。
该方程是$x^2-4x-3=0$的变形，因此对应一次项系数相等，即$-(1+t)=-4$，解得$t=3$。
（2）观察表格中$m$、$n$的取值：第一行$-1+5=4$，第二行$0+4=4$，第三行$1+3=4$，第四行$2+2=4$，因此$m$与$n$满足的等量关系为$m+n=4$。
（3）将$(x-m)(x-n)=p$展开整理得：$x^2-(m+n)x+mn-p=0$。
对比一元二次方程一般式$x^2+bx+c=0$，可得一次项系数对应关系：$-(m+n)=b$，即$m+n=-b$，该值和$p$的取值无关。
因此对于两个变形$(x-m_1)(x-n_1)=p_1$和$(x-m_2)(x-n_2)=p_2$，有$m_1+n_1=-b$，$m_2+n_2=-b$，故$m_1+n_1=m_2+n_2$。
移项得$n_1-n_2=m_2-m_1=-(m_1-m_2)$，因此$\frac{n_1-n_2}{m_1-m_2}=\frac{-(m_1-m_2)}{m_1-m_2}=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{m+n=4}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
多项式乘法，一元二次方程系数对应，代数式变形
【点评】
本题属于规律探究类题型，结合一元二次方程的变形考查学生的观察归纳能力和代数运算能力，需要熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，理解方程变形中系数的对应关系。
【难度系数】
0.65
14 定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么我们称这个方程为“理想方程”。
(1) 判断一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是否为“理想方程”,并说明理由;
(2) 已知$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”,若2是此“理想方程”的一个根,求$m$、$n$的值。
(1) 判断一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是否为“理想方程”,并说明理由;
(2) 已知$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”,若2是此“理想方程”的一个根,求$m$、$n$的值。
答案
14. (1) 一元二次方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$是“理想方程”。理由如下:因为$a = 2$,$b = 9$,$c = 7$,$2 - 9 + 7 = 0$,所以一元二次方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$为“理想方程”;
(2) 因为$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”,所以$4 + m + n = 0$,将$x = 2$代入$4x^2 - mx + n = 0$中,得$16 - 2m + n = 0$,联立$\begin{cases}4 + m + n = 0,\\16 - 2m + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 4,\\n = -8。\end{cases}$所以$m = 4$,$n = -8$。
(2) 因为$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”,所以$4 + m + n = 0$,将$x = 2$代入$4x^2 - mx + n = 0$中,得$16 - 2m + n = 0$,联立$\begin{cases}4 + m + n = 0,\\16 - 2m + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 4,\\n = -8。\end{cases}$所以$m = 4$,$n = -8$。
解析
【分析】
(1) 判断是否为“理想方程”的核心是紧扣定义：只要验证一元二次方程的$a-b+c$是否等于0即可。首先找出待判断方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入计算$a-b+c$的结果，根据结果是否为0完成判断。
(2) 首先利用“理想方程”的定义，代入对应系数得到第一个关于$m$、$n$的等式；再根据方程根的性质，将根$x=2$代入原方程得到第二个关于$m$、$n$的等式，联立两个等式组成二元一次方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 一元二次方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$是“理想方程”，理由如下：
在方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$中，$a=2$，$b=9$，$c=7$，
计算得$a-b+c=2-9+7=0$，符合“理想方程”的定义，因此该方程是“理想方程”。
(2)
∵$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”
∴根据定义得：$4 - (-m) + n = 0$，即$4 + m + n = 0$ ①
∵2是此方程的一个根，将$x=2$代入$4x^2 - mx + n = 0$得：
$4×2^2 - 2m + n = 0$，即$16 - 2m + n = 0$ ②
联立①②得方程组$\begin{cases}4 + m + n = 0\\16 - 2m + n = 0\end{cases}$
②-①得：$12 - 3m = 0$，解得$m=4$
将$m=4$代入①得：$4+4+n=0$，解得$n=-8$
【答案】
(1) 是“理想方程”，理由见解析；
(2) $m=4$，$n=-8$
【知识点】
一元二次方程新定义，一元二次方程的根，二元一次方程组求解
【点评】
本题是新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的运算规则，结合方程根的性质建立等量关系，考察对新信息的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 判断是否为“理想方程”的核心是紧扣定义：只要验证一元二次方程的$a-b+c$是否等于0即可。首先找出待判断方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入计算$a-b+c$的结果，根据结果是否为0完成判断。
(2) 首先利用“理想方程”的定义，代入对应系数得到第一个关于$m$、$n$的等式；再根据方程根的性质，将根$x=2$代入原方程得到第二个关于$m$、$n$的等式，联立两个等式组成二元一次方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 一元二次方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$是“理想方程”，理由如下：
在方程$2x^2 + 9x + 7 = 0$中，$a=2$，$b=9$，$c=7$，
计算得$a-b+c=2-9+7=0$，符合“理想方程”的定义，因此该方程是“理想方程”。
(2)
∵$4x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“理想方程”
∴根据定义得：$4 - (-m) + n = 0$，即$4 + m + n = 0$ ①
∵2是此方程的一个根，将$x=2$代入$4x^2 - mx + n = 0$得：
$4×2^2 - 2m + n = 0$，即$16 - 2m + n = 0$ ②
联立①②得方程组$\begin{cases}4 + m + n = 0\\16 - 2m + n = 0\end{cases}$
②-①得：$12 - 3m = 0$，解得$m=4$
将$m=4$代入①得：$4+4+n=0$，解得$n=-8$
【答案】
(1) 是“理想方程”，理由见解析；
(2) $m=4$，$n=-8$
【知识点】
一元二次方程新定义，一元二次方程的根，二元一次方程组求解
【点评】
本题是新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的运算规则，结合方程根的性质建立等量关系，考察对新信息的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
