1 方程$2x(x-3)=5(x-3)$的根为（）。

A.$x=\dfrac{5}{2}$
B.$x=3$
C.$x_1=\dfrac{5}{2},x_2=3$
D.$x=\dfrac{2}{5}$

1. C

【分析】
这道题考查用因式分解法解一元二次方程，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根。正确解题思路为：先移项让方程右边为0，再提取公因式$(x-3)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，分别解两个一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
解：第一步，移项，将右边的项移到左边，得：
$2x(x-3) - 5(x-3) = 0$
第二步，提取公因式$(x-3)$，因式分解得：
$(x-3)(2x - 5) = 0$
第三步，根据乘法的性质，可得两个一元一次方程：
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 5 = 0$
第四步，分别解方程：
当$x-3=0$时，解得$x_1=3$；
当$2x-5=0$时，解得$x_2=\frac{5}{2}$。
因此方程的根为$x_1=\frac{5}{2},x_2=3$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式因式分解、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，易错点是直接约去含未知数的整式$(x-3)$导致漏解，熟练掌握提取公因式的方法，牢记解一元二次方程时不能随意约去含有未知数的整式，即可快速正确解题。
【难度系数】
0.8

② 方程$x(x-1)=2$的解是()。

A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x_1=1, x_2=-2$
D.$x_1=-1, x_2=2$

2. D

【分析】
要解该方程，首先明确因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边为0，因此第一步需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再对左边的二次三项式因式分解，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，再匹配选项即可。
【解析】
步骤1：将原方程整理为一般形式
原方程$x(x-1)=2$，去括号得：$x^2 - x = 2$，
移项使右边为0，得：$x^2 - x - 2 = 0$。
步骤2：对左边二次三项式因式分解
用十字相乘法分解得：$(x - 2)(x + 1) = 0$。
步骤3：转化为一元一次方程求解
根据乘积为0的性质，得：$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
分别解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题的关键是牢记因式分解法解方程的要求，必须先将方程化为右边为0的形式再分解因式，避免出现直接给原式左右两边拆分因式的错误。
【难度系数】
0.8

3 若方程$x^2 + px + q = 0$与方程$2(x + 3)(x - 5) = 0$的解相同，则$p$、$q$的值为（）。

A.$p=-3$，$q=5$
B.$p=-4$，$q=-30$
C.$p=-2$，$q=-15$
D.$p=-6$，$q=10$

3. C

【分析】
要解决这道题，首先明确两个方程解相同说明二者是同解方程。我们可以先将给出的第二个方程整理为二次项系数是1的一元二次方程一般形式，再和第一个方程$x^2 + px + q = 0$对比，一次项对应系数就是$p$，常数项对应系数就是$q$，这种方法计算简便，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
先对第二个方程进行整理：
1. 方程$2(x + 3)(x - 5) = 0$两边同时除以2，可得：$(x + 3)(x - 5) = 0$
2. 展开左边的多项式：$x^2 - 5x + 3x - 15 = 0$，合并同类项后得：$x^2 - 2x - 15 = 0$
由于方程$x^2 + px + q = 0$和上述方程解相同，且两个方程二次项系数均为1，因此对应项系数相等，可得$p=-2$，$q=-15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同解方程性质、一元二次方程一般形式、多项式乘法
【点评】
本题属于一元二次方程基础题型，解题核心是利用同解方程的性质，将已知方程转化为和目标方程结构一致的形式，通过对应系数相等快速得到结果，计算多项式展开式时要注意符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

④ $x^2 -5x$ 因式分解的结果为。

4. $x(x-5)$

【分析】
本题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路为：先观察多项式的各项特征，确定所有项的公共因式（即公因式），再将公因式提取出来，最后验证剩余的多项式是否还能继续分解，直到不能再分解为止。观察多项式$x^2-5x$，两项都含有因式$x$，因此公因式为$x$，提取$x$后剩余部分为$x-5$，$x-5$是一次二项式，无法继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：对多项式$x^2-5x$因式分解步骤如下：
1. 确定公因式：两项$x^2$和$-5x$的公共因式为$x$；
2. 提取公因式：将每一项分别除以公因式$x$，得到剩余部分：$x^2÷ x=x$，$-5x÷ x=-5$；
3. 组合结果：将公因式和剩余部分相乘，得到$x(x-5)$，剩余因式$x-5$无法继续分解，即为最终因式分解结果。
【答案】
$x(x-5)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时只需准确找出公因式并正确提取即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9

5 二次三项式$x^2 + 20x + 96$分解因式的结果为；方程$x^2 + 20x + 96 = 0$的两个根是。

5. $(x+12)(x+8)$；$x_1=-12, x_2=-8$

【分析】
对于形如$x^2+bx+c$的二次三项式因式分解，可采用十字相乘法：需要找到两个数，使它们的和等于一次项系数$b$，乘积等于常数项$c$。本题中一次项系数为20，常数项为96，先找到满足“和为20、积为96”的两个数，即可完成因式分解；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，令分解后的两个因式分别等于0，就能求出方程的两个根。
【解析】
1. 分解二次三项式$x^2 + 20x + 96$：
经查找，12和8满足“两数之和为20，两数之积为96”的要求，因此可得：
$x^2 + 20x + 96=(x+12)(x+8)$
2. 解方程$x^2 + 20x + 96 = 0$：
将方程左边因式分解得$(x+12)(x+8)=0$，根据因式乘积为0的性质可得：
$x+12=0$ 或 $x+8=0$
分别求解得$x_1=-12$，$x_2=-8$
【答案】
$(x+12)(x+8)$；$x_1=-12,x_2=-8$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考察十字相乘法拆分二次三项式的技巧，以及因式分解法求解一元二次方程的基本原理，熟练掌握常数项的拆分规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

⑥ 方程$x^2 + 6x - 7 = 0$的根是。

6. $x_1=-7, x_2=1$

【分析】
本题可采用因式分解法求解，解题思路如下：首先观察方程左边的二次三项式，适合用十字相乘法进行因式分解，将其拆分为两个一次式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后分别解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对一元二次方程左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解：
$x^2 + 6x -7 = (x+7)(x-1)$
则原方程可转化为：
$(x+7)(x-1)=0$
根据乘积为0的性质可得：
$x+7=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+7=0$时，$x_1=-7$；
当$x-1=0$时，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-7, x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握十字相乘法因式分解的规则，能快速对二次三项式进行拆分，熟练后可以快速得出方程的根，是后续求解复杂一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.9

7 方程$(2x - 1)^2 = 2x - 1$的根是。

7. $x_1=\dfrac{1}{2}, x_2=1$

【分析】
本题可采用因式分解法求解，观察方程两边均含有因式$(2x-1)$，注意不能直接在方程两边同时除以$(2x-1)$，否则会漏掉$2x-1=0$这个根。正确的解题思路是先移项，将方程右边的项移到左边，再提取公因式$(2x-1)$，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：移项，得 $(2x-1)^2 - (2x-1) = 0$
提取公因式$(2x-1)$，得 $(2x-1)(2x-1 - 1) = 0$
化简，得 $(2x-1)(2x-2) = 0$
所以 $2x-1=0$ 或 $2x-2=0$
解$2x-1=0$，得 $x_1=\dfrac{1}{2}$
解$2x-2=0$，得 $x_2=1$
【答案】
$x_1=\dfrac{1}{2}, x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，重点考查因式分解法的应用，解题时要注意避免直接除以含未知数的整式导致漏根，熟练掌握提取公因式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8 关于$x$的一元二次方程$(m+3)x^2 + x - m^2 -5m -6 =0$有一个根为0，则$m=$。
9 方程$x^2=2|x|$的解是。

8. $-2$
9. $x_1=0, x_2=2, x_3=-2$ [提示:因为$x^2=|x|^2$恒成立,故$|x|^2-2|x|=0$,$|x|(|x|-2)=0$,从而$|x|=0$或$|x|=2$,得$x_1=0, x_2=2, x_3=-2$。]

【分析】
第8题：已知一元二次方程有一个根为0，首先根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求出m的可能值；同时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，需要对求出的m值进行筛选，得到最终结果。
第9题：方程中含有绝对值，直接分类讨论也可求解，但利用$x^2=|x|^2$的恒等关系，可将原方程转化为关于$|x|$的一元二次方程，用因式分解法求解后再去绝对值，就能得到所有x的解，计算更简便。
【解析】
8. 解：
∵$x=0$是一元二次方程$(m+3)x^2 + x - m^2 -5m -6 =0$的根
∴将$x=0$代入方程得：$-m^2 -5m -6 = 0$
整理得：$m^2 +5m +6 = 0$
因式分解得：$(m+2)(m+3)=0$
解得：$m_1=-2$，$m_2=-3$
又
∵原方程是一元二次方程，二次项系数不为0
∴$m+3≠0$，即$m≠-3$
舍去$m=-3$，故$m=-2$
9. 解：
∵对任意实数x，都有$x^2=|x|^2$
∴原方程可转化为：$|x|^2 - 2|x| = 0$
提取公因式得：$|x|(|x|-2)=0$
∴$|x|=0$ 或 $|x|-2=0$
当$|x|=0$时，$x=0$
当$|x|=2$时，$x=2$或$x=-2$
综上，方程的解为$x_1=0, x_2=2, x_3=-2$
【答案】
8. $-2$
9. $x_1=0, x_2=2, x_3=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的定义，因式分解法解方程
【点评】
第8题解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致多解错误，求解含参数的一元二次方程问题时要注意对参数的取值范围进行验证；第9题处理带绝对值的方程时，利用平方和绝对值的关系转化方程，可简化计算，解出结果后可代入原方程验证，确保解的正确性。
【难度系数】
0.7

⑩ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$可变形为$(x - m)(x - 1) = 0$，则$b + c$的值是。

10. $-1$

【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：两个表示同一个一元二次方程的多项式，对应项的系数相等，我们可以先将因式分解形式的方程展开为一般式，再和已知的一般式对应得到b、c的表达式，相加后即可消去参数m得到结果；思路2：因式分解形式的方程的根很容易求出，其中x=1是固定的根，根据方程的根的定义，将x=1代入原一元二次方程，即可直接求出b+c的值，这种方法更简便。
【解析】
方法1：将$(x - m)(x - 1) = 0$展开，得$x^2 - (m+1)x + m = 0$。
因为该方程与$x^2 + bx + c = 0$是同一个一元二次方程，所以对应项系数相等，即：
$b = -(m+1)$，$c = m$
则$b + c = -(m+1) + m = -m -1 + m = -1$。
方法2：由$(x - m)(x - 1) = 0$可得方程的根为$x_1 = m$，$x_2 = 1$，因此$x=1$是方程$x^2 + bx + c = 0$的根。
将$x=1$代入方程$x^2 + bx + c = 0$，得：
$1^2 + b×1 + c = 0$
整理得$1 + b + c = 0$，因此$b + c = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义、多项式恒等性质、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的相关基础概念，解题时可灵活选择方法，利用方程根的性质代入求值可以省去展开多项式的步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.7

11 解方程:(用因式分解法)
(1) $5x^2 = 4x$；
(2) $4x^2 - 25 = 0$；
(3) $x - 2 = x(x - 2)$；
(4) $(x + 1)^2 - 25 = 0$；
(5) $y(y + 5) = 24$；
(6) $(x + 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0$；
(7) $(3 - y)^2 + y^2 = 9$；
(8) $2x^2 + \sqrt{3}x + 2x = 3 + \sqrt{3}$。

11. (1) $x_1=0, x_2=\dfrac{4}{5}$
(2) $x_1=\dfrac{5}{2}, x_2=-\dfrac{5}{2}$
(3) $x_1=1, x_2=2$
(4) $x_1=-6, x_2=4$
(5) $y_1=-8, y_2=3$
(6) $x_1=-1, x_2=5$
(7) $y_1=0, y_2=3$
(8) $(2x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+1)=0, x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, x_2=-\sqrt{3}-1$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个整式乘积为0”的形式，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，将二次方程降为两个一次方程求解。通用步骤为：①移项，使方程右边为0；②将方程左边因式分解为两个一次整式的乘积；③令每个一次整式分别为0，解两个一次方程得到原方程的根。注意解题时不可随意约去含未知数的整式，避免丢失根。
【解析】
(1) 移项得：$5x^2 - 4x = 0$
提取公因式$x$得：$x(5x - 4) = 0$
令$x=0$或$5x-4=0$，解得对应根。
(2) 利用平方差公式因式分解：$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = 0$
即$(2x + 5)(2x - 5) = 0$
令$2x+5=0$或$2x-5=0$，解得对应根。
(3) 移项得：$(x - 2) - x(x - 2) = 0$
提取公因式$(x - 2)$得：$(x - 2)(1 - x) = 0$
令$x-2=0$或$1-x=0$，解得对应根。
(4) 利用平方差公式因式分解：$(x + 1)^2 - 5^2 = 0$
即$(x + 1 + 5)(x + 1 - 5) = 0$，化简得$(x + 6)(x - 4) = 0$
令$x+6=0$或$x-4=0$，解得对应根。
(5) 去括号移项得：$y^2 + 5y - 24 = 0$
用十字相乘法因式分解得：$(y + 8)(y - 3) = 0$
令$y+8=0$或$y-3=0$，解得对应根。
(6) 利用平方差公式因式分解：$[(x + 4) + (2x - 1)][(x + 4) - (2x - 1)] = 0$
分别化简两个括号得：$(3x + 3)(-x + 5) = 0$，即$3(x + 1)(-x + 5) = 0$
令$x+1=0$或$-x+5=0$，解得对应根。
(7) 去括号得：$9 - 6y + y^2 + y^2 = 9$
移项合并同类项得：$2y^2 - 6y = 0$
提取公因式$2y$得：$2y(y - 3) = 0$
令$2y=0$或$y-3=0$，解得对应根。
(8) 移项整理得：$2x^2 + (\sqrt{3} + 2)x - (3 + \sqrt{3}) = 0$
用十字相乘法因式分解得：$(2x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3} + 1) = 0$
令$2x - \sqrt{3}=0$或$x + \sqrt{3} + 1=0$，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=0, x_2=\dfrac{4}{5}$
(2) $x_1=\dfrac{5}{2}, x_2=-\dfrac{5}{2}$
(3) $x_1=1, x_2=2$
(4) $x_1=-6, x_2=4$
(5) $y_1=-8, y_2=3$
(6) $x_1=-1, x_2=5$
(7) $y_1=0, y_2=3$
(8) $x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, x_2=-\sqrt{3}-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、十字相乘法因式分解
【点评】
本组题覆盖了因式分解法解一元二次方程的常见题型，需要灵活运用提取公因式、公式法、十字相乘法等因式分解方法，解题时需注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的情况，熟练掌握因式分解的各类方法是快速准确解题的核心。
【难度系数】
0.7