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12 若$(x^2 + y^2)^2 -5(x^2 + y^2) -6=0$,求$x^2 + y^2$的值。
答案
12. 设$x^2+y^2=z$,则原方程可转化为$z^2-5z-6=0$,即$(z-6)(z+1)=0$,解得$z_1=6, z_2=-1$。因为$x^2+y^2\ge0$,所以$x^2+y^2=6$。
解析
【分析】
观察到方程中$x^2+y^2$作为整体反复出现，可采用换元法简化方程：先将$x^2+y^2$设为新未知数$z$，把原方程转化为关于$z$的一元二次方程，用因式分解法求解后，再结合$x^2$、$y^2$的非负性判断$z$的取值范围，舍去不符合条件的解即可得到结果。
【解析】
设$x^2+y^2=z$，则原方程可转化为：
$z^2 - 5z - 6 = 0$
对等式左侧因式分解得：$(z - 6)(z + 1) = 0$
因此$z - 6 = 0$或$z + 1 = 0$，解得$z_1 = 6$，$z_2 = -1$
由于$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，$z=-1$不符合题意，予以舍去。
综上可得$x^2+y^2=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
换元法解方程、因式分解法解一元二次方程、非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，通过整体换元可将结构复杂的方程简化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意挖掘题目隐含的取值限制条件，对解进行合理性判断，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
观察到方程中$x^2+y^2$作为整体反复出现，可采用换元法简化方程：先将$x^2+y^2$设为新未知数$z$，把原方程转化为关于$z$的一元二次方程，用因式分解法求解后，再结合$x^2$、$y^2$的非负性判断$z$的取值范围，舍去不符合条件的解即可得到结果。
【解析】
设$x^2+y^2=z$，则原方程可转化为：
$z^2 - 5z - 6 = 0$
对等式左侧因式分解得：$(z - 6)(z + 1) = 0$
因此$z - 6 = 0$或$z + 1 = 0$，解得$z_1 = 6$，$z_2 = -1$
由于$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，$z=-1$不符合题意，予以舍去。
综上可得$x^2+y^2=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
换元法解方程、因式分解法解一元二次方程、非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，通过整体换元可将结构复杂的方程简化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意挖掘题目隐含的取值限制条件，对解进行合理性判断，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
13 如果$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + x + c^2 -8c -2=0$的一个根，求$c$的值及另一个根。
答案
13. 因为$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+x+c^2-8c-2=0$的一个根,所以$4-2+c^2-8c-2=0$,即$c(c-8)=0$,解得$c_1=0, c_2=8$。当$c=0$时,原方程为$x^2+x-2=0$,即$(x-1)(x+2)=0$,解得$x_1=1, x_2=-2$;当$c=8$时,原方程为$x^2+x-2=0$,即$(x-1)(x+2)=0$,解得$x_1=1, x_2=-2$。所以$c$的值为0或8,另一个根为$x=1$。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=-2代入原方程，得到关于c的一元二次方程，解出c的取值。再将求出的c的值分别代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程，即可求出方程的另一个根。
【解析】
∵$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + x + c^2 -8c -2=0$的一个根，
∴将$x=-2$代入方程得：$(-2)^2 + (-2) + c^2 -8c -2 = 0$，
化简得：$c^2 - 8c = 0$，因式分解得$c(c-8)=0$，
解得：$c_1=0$，$c_2=8$。
当$c=0$时，原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x+2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$；
当$c=8$时，原方程为$x^2 + x + 64 - 64 - 2 = 0$，即$x^2 + x - 2 = 0$，同理解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
$c$的值为0或8，另一个根为$x=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程根的定义的应用，代入已知根求参数后回代解方程即可，计算难度低，注意参数存在多个解时要分别代入计算验证。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=-2代入原方程，得到关于c的一元二次方程，解出c的取值。再将求出的c的值分别代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程，即可求出方程的另一个根。
【解析】
∵$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + x + c^2 -8c -2=0$的一个根，
∴将$x=-2$代入方程得：$(-2)^2 + (-2) + c^2 -8c -2 = 0$，
化简得：$c^2 - 8c = 0$，因式分解得$c(c-8)=0$，
解得：$c_1=0$，$c_2=8$。
当$c=0$时，原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x+2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$；
当$c=8$时，原方程为$x^2 + x + 64 - 64 - 2 = 0$，即$x^2 + x - 2 = 0$，同理解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
$c$的值为0或8，另一个根为$x=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程根的定义的应用，代入已知根求参数后回代解方程即可，计算难度低，注意参数存在多个解时要分别代入计算验证。
【难度系数】
0.8
14 已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0$的根都是正整数，求整数$a$的值。
答案
14. 原方程可化为$(x-a)[(a-1)x-(a+1)]=0$,解得$x_1=a, x_2=\dfrac{a+1}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}$。因为$x_1=a$为正整数,$x_2=1+\dfrac{2}{a-1}$也为正整数,所以$a=2$或3。
解析
【分析】
本题属于一元二次方程整数根问题，解题思路如下：首先结合本节考察的因式分解法，对原方程左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，即可求出方程的两个含参数a的根；再根据“根都是正整数”的条件，对两个根分别分析：第一个根直接为a，可得a是正整数，第二个根是含a的分式，将其变形为“整数+真分式”的形式，即可得出分母是分子的正约数，结合a为整数的条件即可求出符合要求的a值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合的取值。
【解析】
步骤1：对原方程因式分解
原方程$(a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0$用十字相乘法分解可得：
$(x-a)[(a-1)x-(a+1)]=0$
步骤2：求解方程的两个根
由上式可得两个一元一次方程：
$x-a=0$ 或 $(a-1)x-(a+1)=0$
解得：$x_1=a$，$x_2=\dfrac{a+1}{a-1}$
对$x_2$变形得：$x_2=\dfrac{(a-1)+2}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}$
步骤3：结合正整数根的条件求a
因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
又因为两根均为正整数：
① $x_1=a$是正整数，即$a$为大于等于2的正整数；
② $x_2=1+\dfrac{2}{a-1}$是正整数，所以$\dfrac{2}{a-1}$为正整数，即$a-1$是2的正约数。
2的正约数为1、2：
当$a-1=1$时，$a=2$，此时$x_1=2$，$x_2=3$，均为正整数，符合要求；
当$a-1=2$时，$a=3$，此时$x_1=3$，$x_2=2$，均为正整数，符合要求。
【答案】
$a=2$或$a=3$
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程整数根，分式整除条件
【点评】
本题重点考察因式分解法的应用和整数根问题的分析方法，解题关键是正确分解因式得到两根，再结合正整数的性质分析约数，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题属于一元二次方程整数根问题，解题思路如下：首先结合本节考察的因式分解法，对原方程左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，即可求出方程的两个含参数a的根；再根据“根都是正整数”的条件，对两个根分别分析：第一个根直接为a，可得a是正整数，第二个根是含a的分式，将其变形为“整数+真分式”的形式，即可得出分母是分子的正约数，结合a为整数的条件即可求出符合要求的a值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合的取值。
【解析】
步骤1：对原方程因式分解
原方程$(a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0$用十字相乘法分解可得：
$(x-a)[(a-1)x-(a+1)]=0$
步骤2：求解方程的两个根
由上式可得两个一元一次方程：
$x-a=0$ 或 $(a-1)x-(a+1)=0$
解得：$x_1=a$，$x_2=\dfrac{a+1}{a-1}$
对$x_2$变形得：$x_2=\dfrac{(a-1)+2}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}$
步骤3：结合正整数根的条件求a
因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
又因为两根均为正整数：
① $x_1=a$是正整数，即$a$为大于等于2的正整数；
② $x_2=1+\dfrac{2}{a-1}$是正整数，所以$\dfrac{2}{a-1}$为正整数，即$a-1$是2的正约数。
2的正约数为1、2：
当$a-1=1$时，$a=2$，此时$x_1=2$，$x_2=3$，均为正整数，符合要求；
当$a-1=2$时，$a=3$，此时$x_1=3$，$x_2=2$，均为正整数，符合要求。
【答案】
$a=2$或$a=3$
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程整数根，分式整除条件
【点评】
本题重点考察因式分解法的应用和整数根问题的分析方法，解题关键是正确分解因式得到两根，再结合正整数的性质分析约数，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
