1 如果代数式$3x^2 - 6$的值为21，则$x$的值是()。

A.3
B.$\pm 3$
C.$-3$
D.$\pm\sqrt{3}$

1 B

【分析】
解题时首先根据代数式的值为21，建立关于x的一元二次方程，再用开平方法求解方程：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，合并同类项；第二步将x²的系数化为1，得到x²=a（a≥0）的形式；第三步对a开平方，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据题意可列方程：
$3x^2 - 6 = 21$
移项合并同类项，得：
$3x^2 = 27$
两边同时除以3，系数化为1，得：
$x^2 = 9$
开平方，得：
$x = \pm 3$
因此x的值为$\pm3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，考察根据代数式的值列方程以及开平方法的应用，解题时容易只取正的平方根漏了负根，需注意开平方运算的结果特征。
【难度系数】
0.8

2 方程$(x+2)^2=4$的解为()。

A.$x_1=4$，$x_2=-4$
B.$x_1=4$，$x_2=0$
C.$x_1=-4$，$x_2=0$
D.$x_1=0$，$x_2=2$

2 C

【分析】
本题考查用开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左侧是含未知数的完全平方式，右侧是正数，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的性质，一个正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方后可得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个解，最后对应选项选出正确答案即可。需要注意开平方时不要遗漏负根，解一次方程时移项要变号。
【解析】
解：对原方程$(x+2)^2=4$两边直接开平方，得：
$x+2=\pm\sqrt{4}$，即$x+2=\pm2$
分两种情况求解：
① 当$x+2=2$时，移项得$x=2-2$，解得$x=0$；
② 当$x+2=-2$时，移项得$x=-2-2$，解得$x=-4$。
因此原方程的解为$x_1=-4$，$x_2=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，只要掌握开平方的运算规则和一次方程的解法即可轻松得分，易错点是开平方时遗漏负根导致漏解。
【难度系数】
0.9

3 若$(x^2 + y^2 -5)^2 = 64$，则$x^2 + y^2$等于()。

A.13
B.13或-3
C.-3
D.-13或3

3 A

【分析】
首先观察等式$(x^2 + y^2 -5)^2 = 64$，符合“含未知数的式子的平方等于正的常数”的形式，可先用开平方法将方程降次，得到$x^2+y^2$的两个初步解；再结合平方的非负性这一隐含条件，$x^2$、$y^2$都是非负数，因此二者之和也必然是非负数，据此舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 -5)^2 = 64$两边同时开平方，可得：
$x^2 + y^2 - 5 = ±8$
分两种情况计算：
1. 当$x^2 + y^2 - 5 = 8$时，移项得$x^2 + y^2 = 8 + 5 = 13$；
2. 当$x^2 + y^2 - 5 = -8$时，移项得$x^2 + y^2 = -8 + 5 = -3$。
根据平方的非负性可知$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2 + y^2≥0$，$-3$不符合要求，应舍去。
综上，$x^2 + y^2 = 13$。
【答案】
A
【知识点】
开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于开平方法解方程的基础应用题型，易错点是容易忽略$x^2+y^2$的非负性，误选包含负数解的选项，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的解进行验证取舍。
【难度系数】
0.7

4 方程$x^2 - 4 = 0$的解是。
5 方程$4x^2 - 8 = 0$的解是。

4 $x=\pm2$
5 $x=\pm\sqrt{2}$

【分析】
这两道题均为缺一次项的一元二次方程，适合用开平方法求解。解题思路为：先将常数项移到等号右侧，再把x²的系数化为1，得到x²=a（a≥0）的形式，最后根据平方根的定义开平方得到两个互为相反数的根，注意不要漏写负根。
【解析】
4. 求解方程$x^2 - 4 = 0$：
步骤1：移项，得$x^2=4$；
步骤2：对等式两边开平方，得$x=\pm\sqrt{4}$，即$x=\pm2$。
5. 求解方程$4x^2 - 8 = 0$：
步骤1：移项，得$4x^2=8$；
步骤2：系数化为1，等式两边同时除以4，得$x^2=2$；
步骤3：对等式两边开平方，得$x=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
4 $x=\pm2$
5 $x=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
这两道题是开平方法解一元二次方程的基础题，核心是先将方程整理为$x^2=a(a≥0)$的形式再开平方，解题时要注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9

⑥ 方程$2x^2 + 8 = 0$的解是。

6 无实数根

【分析】
本题是不含一次项的一元二次方程，适合用开平方法求解。解题思路为：先通过移项、系数化为1将方程变形为$x^2=a$的形式，再结合实数范围内平方数的非负性判断方程是否有实数根：若$a≥0$则可开平方得解，若$a＜0$则不存在实数满足该等式，方程无实数根。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$2x^2 = -8$
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 = -4$
∵在实数范围内，任意实数的平方均为非负数，即$x^2≥0$，
∴不存在实数$x$满足$x^2=-4$，因此该方程没有实数根。
【答案】
无实数根
【知识点】
开平方法解一元二次方程；实数平方的非负性
【点评】
本题考查开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是明确实数范围内平方数的取值范围，当变形后$x^2$等于负数时，方程不存在实数根，避免忽略取值范围错误求解。
【难度系数】
0.7

7 若一元二次方程$(x - 1)^2 = 100$的两根分别为$a$、$b$，且$a ＞ b$，则$a - b =$。

7 20

【分析】
本题给出的一元二次方程左侧为完全平方式，右侧为正的常数，适合用开平方法求解。解题思路为：第一步用开平方法求出方程的两个根，第二步根据$a＞b$的条件确定$a$、$b$的取值，第三步代入计算$a-b$的值即可。
【解析】
解：对方程$(x - 1)^2 = 100$两边同时开平方，得：
$x - 1 = \pm10$
分两种情况求解：
当$x - 1 = 10$时，解得$x = 11$；
当$x - 1 = -10$时，解得$x = -9$。
因为方程的两根为$a$、$b$，且$a ＞ b$，所以$a = 11$，$b = -9$。
则$a - b = 11 - (-9) = 20$。
【答案】
20
【知识点】
开平方法解一元二次方程；平方根的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查开平方法解特殊结构一元二次方程的应用，解题时需注意开平方后要同时考虑正、负两个平方根，避免漏解，计算差值时要注意有理数减法的符号规则。
【难度系数】
0.85

⑧ 若关于$x$的方程$(x - a)^2 + b = 0$有实数根，则$b$的取值范围是。

8 $b ≤ 0$

【分析】
要确定方程有实数根时b的取值范围，首先利用移项将方程变形为完全平方式等于常数的形式：根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，因此只有当等号右侧的常数是非负数时，方程才有实数根，据此列不等式求解即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，可得：
$(x - a)^2 = -b$
∵ 对于任意实数x，完全平方式的取值满足$(x - a)^2 ≥ 0$（平方的非负性）
要使方程有实数根，等号两边的取值必须相等，因此需要：
$-b ≥ 0$
两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得：
$b ≤ 0$
【答案】
$b ≤ 0$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 开平方法解一元二次方程
3. 不等式的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握完全平方数的非负性，结合一元二次方程有实根的条件列不等式求解，考查学生对基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

9 若关于x的方程$ax^2 - b = 0(a≠0)$有解，则a、b应满足的条件是。

9 a、b同号或$b=0$

【分析】
首先对给定方程进行移项变形，结合a≠0的条件，将方程转化为$x^2$等于含a、b的代数式的形式。根据平方数的非负性，要使方程有解，$x^2$的值必须大于等于0，据此推导a、b需要满足的符号关系，注意不要遗漏b=0的特殊情况。
【解析】
解：已知方程$ax^2 - b = 0$（$a≠0$），
移项得：$ax^2 = b$，
∵$a≠0$，方程两边同时除以a，得：$x^2 = \frac{b}{a}$，
∵任意实数的平方为非负数，要使方程有解，需满足$\frac{b}{a} ≥ 0$，
当$\frac{b}{a} ≥ 0$时，有两种情况：
1. a、b同号（同正或同负），此时$\frac{b}{a} ＞ 0$；
2. $b=0$，此时$\frac{b}{a} = 0$。
综上可得a、b应满足的条件。
【答案】
a、b同号或$b=0$
【知识点】
开平方法解一元二次方程、平方的非负性、有理数除法符号法则
【点评】
本题考查一元二次方程开平方法的适用条件，结合平方的非负性判断参数的取值范围，解题时容易遗漏b=0的特殊情况，需注意对边界值的考虑。
【难度系数】
0.8

⑩ 若关于x的方程$(3x - c)^2 - 60 = 0$的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值是。

10 8

【分析】
本题可先用开平方法求出一元二次方程的两个根，因为两根均为正数，且其中一个根明显小于另一个根，只需让较小的根大于0，即可得到关于c的不等式，再结合c为整数的条件，估算无理数的大小后就能求出c的最小值。
【解析】
解：先对原方程移项，得
$(3x - c)^2 = 60$
开平方，得
$3x - c = ±\sqrt{60}$
移项整理得两个根：
$x_1 = \frac{c + \sqrt{60}}{3}$，$x_2 = \frac{c - \sqrt{60}}{3}$
因为$\sqrt{60} ＞ 0$，所以$x_1 ＞ x_2$，要让两根均为正数，只需保证较小的根$x_2 ＞ 0$即可，列不等式：
$\frac{c - \sqrt{60}}{3} ＞ 0$
解得$c ＞ \sqrt{60}$
估算得$\sqrt{60} \approx 7.746$，又因为c是整数，所以c的最小整数值为8。
【答案】
8
【知识点】
开平方法解一元二次方程、无理数估算、不等式的应用
【点评】
本题解题关键是先通过开平方法表示出方程的两根，判断出只需较小根为正即可满足两根均为正的条件，再结合无理数估算和整数要求求出参数最小值，考查基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7

11 用开平方法解下列关于$x$的一元二次方程：
(1) $x^2 - 49 = 0$；
(2) $2x^2 - 18 = 0$；
(3) $3x^2 - 5 = 0$；
(4) $(x - \sqrt{5})^2 = 4$；
(5) $(2x + 1)^2 - 32 = 0$；
(6) $\sqrt{3}(x + 6)^2 - 27\sqrt{3} = 0$；
(7) $(2x + 1)^2 = (3x - 2)^2$；
(8) $(2x - 1)^2 = (x + 1)^2$；
(9) $(x - a)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
(10) $(x - m)^2 = n$。

11 (1) $x=\pm7$ (2) $x=\pm3$ (3) $x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ (4) $x=\sqrt{5}\pm2$ (5) $x=-\dfrac{1}{2}\pm2\sqrt{2}$ (6) $x=-6\pm3\sqrt{3}$ (7) 由原方程可得$2x+1=\pm(3x-2)$，解得$x_1=3$，$x_2=\dfrac{1}{5}$。 (8) 由原方程可得$2x-1=\pm(x+1)$，解得$x_1=2$，$x_2=0$。 (9) 由题意可知$x-a=\pm(a+b)$，所以$x_1=2a+b$，$x_2=-b$。 (10) 当$n＞0$时，$x=m\pm\sqrt{n}$；当$n=0$时，$x_1=x_2=m$，当$n＜0$时，无实数根。

【分析】
开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$\boldsymbol{(\mathrm{含}x\mathrm{的一次式})^2 = \mathrm{常数}}$的形式，再利用平方根的性质求解：若$A^2=B$，当$B≥0$时，$A=\pm\sqrt{B}$，可转化为两个一元一次方程求解；当$B＜0$时，方程无实数根。解题步骤一般为：①移项，将常数项移到等号右侧；②若完全平方式的系数不为1，先将系数化为1；③两边开平方，注意取正负两个值，不要漏解；④解一次方程得到原方程的根，含参数的方程要注意根据右侧常数的正负分类讨论。
【解析】
(1) 移项得$x^2=49$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$；
(2) 移项得$2x^2=18$，系数化为1得$x^2=9$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$；
(3) 移项得$3x^2=5$，系数化为1得$x^2=\frac{5}{3}$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$；
(4) 两边直接开平方得$x-\sqrt{5}=\pm\sqrt{4}=\pm2$，移项得$x=\sqrt{5}\pm2$；
(5) 移项得$(2x+1)^2=32$，两边开平方得$2x+1=\pm\sqrt{32}=\pm4\sqrt{2}$，移项后系数化为1得$x=\frac{-1\pm4\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\pm2\sqrt{2}$；
(6) 移项得$\sqrt{3}(x+6)^2=27\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$(x+6)^2=27$，开平方得$x+6=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$，移项得$x=-6\pm3\sqrt{3}$；
(7) 两边直接开平方得$2x+1=\pm(3x-2)$，分两种情况求解：
① $2x+1=3x-2$，解得$x=3$；
② $2x+1=-(3x-2)$，整理得$5x=1$，解得$x=\frac{1}{5}$；
(8) 两边直接开平方得$2x-1=\pm(x+1)$，分两种情况求解：
① $2x-1=x+1$，解得$x=2$；
② $2x-1=-(x+1)$，整理得$3x=0$，解得$x=0$；
(9) 先将右侧配方得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，原方程化为$(x-a)^2=(a+b)^2$，开平方得$x-a=\pm(a+b)$，分两种情况求解：
① $x-a=a+b$，解得$x=2a+b$；
② $x-a=-(a+b)$，整理得$x=-b$；
(10) 根据右侧常数$n$的正负分类讨论：
① 当$n＞0$时，开平方得$x-m=\pm\sqrt{n}$，解得$x=m\pm\sqrt{n}$；
② 当$n=0$时，原方程为$(x-m)^2=0$，解得$x_1=x_2=m$；
③ 当$n＜0$时，由于平方数具有非负性，方程无实数根。
【答案】
(1) $x=\pm7$ (2) $x=\pm3$ (3) $x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ (4) $x=\sqrt{5}\pm2$ (5) $x=-\dfrac{1}{2}\pm2\sqrt{2}$ (6) $x=-6\pm3\sqrt{3}$ (7) $x_1=3$，$x_2=\dfrac{1}{5}$ (8) $x_1=2$，$x_2=0$ (9) $x_1=2a+b$，$x_2=-b$ (10) 当$n＞0$时，$x=m\pm\sqrt{n}$；当$n=0$时，$x_1=x_2=m$；当$n＜0$时，无实数根。
【知识点】
1. 开平方法解方程 2. 平方根的性质 3. 分类讨论思想
【点评】
这组题是开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握“先化为平方等于常数的形式，再开方转化为一次方程求解”的步骤，开方时注意不要遗漏负根，遇到含参数的方程要注意根据右侧常数的取值情况分类讨论，是后续学习一元二次方程其他解法的基础。
【难度系数】
0.7