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12 若方程$(2x - 1)^2 = a$有两个不相等的实数根，$(2x - 1)^2 = b$有两个相等的实数根，$(2x - 1)^2 = c$无实数根，试比较$a$、$b$、$c$的大小。
答案
12 由已知得$a＞0$，$b=0$，$c＜0$，故$a＞b＞c$。
解析
【分析】
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$（$m$为实数）。再结合开平方法解一元二次方程的根的判定规则：当方程形如$x^2=k$时，若$k＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$k=0$，方程有两个相等的实数根；若$k＜0$，方程没有实数根。我们将题目中三个方程的右边$a、b、c$分别对应上述三种情况，先确定$a、b、c$的取值范围，再比较大小即可。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$2x-1$，都有$(2x-1)^2≥0$
① 方程$(2x-1)^2=a$有两个不相等的实数根，根据开平方法根的判定规则，可得$a＞0$；
② 方程$(2x-1)^2=b$有两个相等的实数根，可得$b=0$；
③ 方程$(2x-1)^2=c$无实数根，可得$c＜0$；
根据正数大于0，0大于负数的大小比较规则，可得$a＞b＞c$。
【答案】
$\boldsymbol{a＞b＞c}$
【知识点】
平方的非负性；开平方法解一元二次方程；实数大小比较
【点评】
本题考查平方的性质与一元二次方程开平方法的应用，需要熟练掌握方程$x^2=k$在$k＞0、k=0、k＜0$三种情况下对应的根的情况，是对基础知识点的直接考查，记准规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$（$m$为实数）。再结合开平方法解一元二次方程的根的判定规则：当方程形如$x^2=k$时，若$k＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$k=0$，方程有两个相等的实数根；若$k＜0$，方程没有实数根。我们将题目中三个方程的右边$a、b、c$分别对应上述三种情况，先确定$a、b、c$的取值范围，再比较大小即可。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$2x-1$，都有$(2x-1)^2≥0$
① 方程$(2x-1)^2=a$有两个不相等的实数根，根据开平方法根的判定规则，可得$a＞0$；
② 方程$(2x-1)^2=b$有两个相等的实数根，可得$b=0$；
③ 方程$(2x-1)^2=c$无实数根，可得$c＜0$；
根据正数大于0，0大于负数的大小比较规则，可得$a＞b＞c$。
【答案】
$\boldsymbol{a＞b＞c}$
【知识点】
平方的非负性；开平方法解一元二次方程；实数大小比较
【点评】
本题考查平方的性质与一元二次方程开平方法的应用，需要熟练掌握方程$x^2=k$在$k＞0、k=0、k＜0$三种情况下对应的根的情况，是对基础知识点的直接考查，记准规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
13 已知方程$x^2 -8x +m=0$可以化成$(x -n)^2=6$的形式，求方程$(x +m)^2=6$的解。
答案
13 因为$(x-n)^2=6$，所以$x^2-2nx+n^2-6=0$。因为方程$x^2-8x+m=0$可以化成$(x-n)^2=6$的形式，所以$\begin{cases}-2n=-8,\\n^2-6=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=10,\\n=4。\end{cases}$把$m=10$代入$(x+m)^2=6$，得$(x+10)^2=6$，$x+10=\pm\sqrt{6}$，解得$x=-10\pm\sqrt{6}$。
解析
【分析】
解题时首先利用“两个不同形式的方程为同一个方程”的条件，将$(x-n)^2=6$展开为一元二次方程的一般形式，再与已知的$x^2-8x+m=0$对比，根据一次项系数、常数项分别对应相等列方程组，求出n和m的值，最后将m代入待解的$(x+m)^2=6$，用开平方法求解即可。
【解析】
先将$(x-n)^2=6$展开并整理为一般式：
$x^2-2nx+n^2=6$，即$x^2-2nx+n^2-6=0$
∵ 方程$x^2-8x+m=0$可化成$(x-n)^2=6$的形式，两个方程对应项系数相等，因此列方程组：
$\begin{cases}-2n=-8\\n^2-6=m\end{cases}$
解第一个方程得$n=4$，将$n=4$代入第二个方程，得$m=4^2-6=10$。
把$m=10$代入$(x+m)^2=6$，得：
$(x+10)^2=6$
两边同时开平方得$x+10=\pm\sqrt{6}$，移项得$x=-10\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$x=-10\pm\sqrt{6}$（或$x_1=-10+\sqrt{6}$，$x_2=-10-\sqrt{6}$）
【知识点】
完全平方公式，待定系数法，开平方法解方程
【点评】
本题考察一元二次方程不同形式转化时的系数对应关系，以及开平方法解方程的规则，解题关键是熟练掌握完全平方展开的运算，明确同解方程对应系数相等的性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用“两个不同形式的方程为同一个方程”的条件，将$(x-n)^2=6$展开为一元二次方程的一般形式，再与已知的$x^2-8x+m=0$对比，根据一次项系数、常数项分别对应相等列方程组，求出n和m的值，最后将m代入待解的$(x+m)^2=6$，用开平方法求解即可。
【解析】
先将$(x-n)^2=6$展开并整理为一般式：
$x^2-2nx+n^2=6$，即$x^2-2nx+n^2-6=0$
∵ 方程$x^2-8x+m=0$可化成$(x-n)^2=6$的形式，两个方程对应项系数相等，因此列方程组：
$\begin{cases}-2n=-8\\n^2-6=m\end{cases}$
解第一个方程得$n=4$，将$n=4$代入第二个方程，得$m=4^2-6=10$。
把$m=10$代入$(x+m)^2=6$，得：
$(x+10)^2=6$
两边同时开平方得$x+10=\pm\sqrt{6}$，移项得$x=-10\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$x=-10\pm\sqrt{6}$（或$x_1=-10+\sqrt{6}$，$x_2=-10-\sqrt{6}$）
【知识点】
完全平方公式，待定系数法，开平方法解方程
【点评】
本题考察一元二次方程不同形式转化时的系数对应关系，以及开平方法解方程的规则，解题关键是熟练掌握完全平方展开的运算，明确同解方程对应系数相等的性质。
【难度系数】
0.8
