1 把方程$x^2 + 3 = 4x$配方，得（）。

A.$(x - 2)^2 = 7$
B.$(x + 2)^2 = 21$
C.$(x - 2)^2 = 1$
D.$(x + 2)^2 = 2$

1. C

【分析】
要解这道配方题，按照配方法的固定步骤思考即可：①先把方程整理为含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；②本题二次项系数已经是1，直接在方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方式，右边合并常数就能得到配方后的结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：第一步，移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到右侧，得：
$x^2 - 4x = -3$
第二步，配方，一次项系数为-4，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
第三步，将左边写成完全平方形式，右边计算常数：
$(x - 2)^2 = 1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考察配方法的操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

② 方程$x^2 + 4x = 10$的根为()。

A.$2\pm\sqrt{10}$
B.$-2\pm\sqrt{14}$
C.$-2+\sqrt{10}$
D.$2-\sqrt{10}$

2. B

【分析】
本题考查用配方法求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，第一步先找到一次项系数，计算它一半的平方，将该数值同时加到方程左右两边，再把左侧改写为完全平方的形式，右侧合并常数项后开平方，最后移项得到方程的根，对应选项判断即可。
【解析】
使用配方法解方程$x^2 + 4x = 10$，步骤如下：
1. 配方：一次项系数为4，它的一半为2，平方为$2^2=4$，给方程左右两边同时加4，可得：
$x^2 + 4x + 4 = 10 + 4$
2. 变形化简：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得：
$(x + 2)^2 = 14$
3. 开平方：对等式两边同时开平方，得：
$x + 2 = ±\sqrt{14}$
4. 求解未知数：移项得$x = -2 ±\sqrt{14}$，即方程的根为$-2±\sqrt{14}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础常规题，核心易错点是配方时遗漏给方程右侧也加上一次项系数一半的平方，掌握配方法的标准步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

3 若关于x的方程$4x^2 - (m - 2)x + 1 = 0$的左边是一个完全平方式，则$m = (\quad)$。

A.−2或6
B.2或−6
C.−2或−6
D.2或6

3. A

【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题中要让二次三项式$4x^2-(m-2)x+1$符合完全平方式的结构，先确定首尾两项对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$的两种情况分别列等式求解$m$，注意不要漏掉中间项的符号情况避免漏解。
【解析】
先将二次三项式的首尾项转化为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$
根据完全平方式的结构，中间项应为$\pm2×2x×1=\pm4x$
已知原式中间项为$-(m-2)x$，分两种情况计算：
1. 当$-(m-2)=4$时：
去括号得：$-m+2=4$
移项计算得：$m=-2$
2. 当$-(m-2)=-4$时：
去括号得：$-m+2=-4$
移项计算得：$m=6$
因此$m$的值为$-2$或$6$。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，属于基础题型，解题的关键是牢记完全平方式的中间项有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4 $x^{2} - 6mx + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^{2}$

4. $9m^2$，$3m$

【分析】
本题可根据完全平方差公式的结构特征求解。首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，观察给出的式子，二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，可得$a=x$；再根据一次项$-6mx$对应公式里的$-2ab$，即可求出$b$的值，也就是第二个括号内的数，最后对$b$求平方就能得到第一个空的常数项。
【解析】
利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$进行配方：
1. 对比式子$x^2 - 6mx + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$，二次项$a^2=x^2$，因此$a=x$。
2. 一次项对应公式中的$-2ab$，即$-2ab=-6mx$，将$a=x$代入得$-2x· b=-6mx$，两边同时除以$-2x$，解得$b=3m$，即第二个空填$3m$。
3. 常数项为公式中的$b^2$，代入$b=3m$得$b^2=(3m)^2=9m^2$，即第一个空填$9m^2$。
【答案】
$9m^2$，$3m$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，明确完全平方公式中各项和待求量的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85

5 $x^2 - 2(a + b)x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$

5. $(a + b)^2$，$a - b$

将二次三项式$x^2 - 2x - 2$进行配方，其结果是。

6. $(x - 1)^2 - 3$

【分析】
对二次三项式配方的核心是凑完全平方式，对于二次项系数为1的式子，思路如下：首先分离出含二次项和一次项的部分，再加上一次项系数一半的平方凑成完全平方，为了保证式子值不变，还要减去刚才加上的数，最后合并常数项即可得到配方结果。
【解析】
对$x^2 - 2x - 2$配方步骤如下：
1. 保留二次项和一次项，将常数项单独放置：$x^2 - 2x - 2 = (x^2 - 2x) - 2$
2. 一次项系数是$-2$，它的一半是$-1$，平方为$1$，在括号内加1再减1保证恒等：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x) - 2&=(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2\\&=(x^2 - 2x +1) -1 -2\end{aligned}$
3. 括号内的部分凑成完全平方，合并常数项：
$=(x-1)^2 -3$
【答案】
$(x-1)^2 - 3$
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，配方时注意添加常数项后要减去相同的数，保证原式的值不变，是配方法解一元二次方程的必备基础技能。
【难度系数】
0.8

7 若$x^2 + 6x + m^2$是一个完全平方式，则m的值为。

7. $\pm 3$

【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，三项分别是两个数的平方项，加上或减去这两个数乘积的2倍。我们先将给定式子和完全平方式的结构做对应，先确定首项对应的$a$，再根据中间项求出$b$的值，最后根据末项是$b^2$的特点列方程求$m$，注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
解：完全平方式的一般形式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
将$x^2+6x+m^2$与完全平方式对比：
1. 首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$6x=2ab=2· x· b$，代入$a=x$计算得$b=3$；
3. 因此末项需满足$m^2=b^2=3^2=9$，对$m^2=9$开平方，解得$m=\pm3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方式，平方根运算，配方法
【点评】
本题是完全平方式的基础应用题，解题关键是熟练掌握完全平方式的三项结构，易错点是忽略平方的正负性，漏写$m$的负数值。
【难度系数】
0.7

⑧ 方程 $3x^2 + \sqrt{2}x - 6 = 0$ 左边配成一个完全平方式后，所得方程是。

8. $(x+\frac{\sqrt{2}}{6})^{2}=\frac{37}{18}$

【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题遵循配方法的固定步骤：首先将二次项系数化为1，使方程左边$x^2$的系数为1，符合完全平方式首项的形式；接着将常数项移到方程右侧，为配方留出空间；最后给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边凑成完全平方式，右侧合并常数项得到结果，计算时注意带根号的运算不要出错。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + \sqrt{2}x - 6 = 0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 + \frac{\sqrt{2}}{3}x - 2 = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 + \frac{\sqrt{2}}{3}x = 2$
3. 配方：一次项系数为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，它的一半为$\frac{\sqrt{2}}{6}$，平方为$(\frac{\sqrt{2}}{6})^2=\frac{1}{18}$，给方程左右两边同时加$\frac{1}{18}$，得
$x^2 + \frac{\sqrt{2}}{3}x + (\frac{\sqrt{2}}{6})^2 = 2 + \frac{1}{18}$
4. 整理可得完全平方式形式的方程：
$(x+\frac{\sqrt{2}}{6})^{2}=\frac{37}{18}$
【答案】
$(x+\frac{\sqrt{2}}{6})^{2}=\frac{37}{18}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，易错点是二次项系数未化为1就直接配方，以及计算一次项系数一半的平方时出现运算错误，掌握基础步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

9 已知$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$，则$x + y =$。

9. 1 [提示:配方得$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$,则$x = -2, y = 3$,所以$x + y = 1$。]

【分析】
观察已知等式，左边是含x、y的二次项、一次项与常数项的和，右边为0，这类问题可通过配方法求解：首先将常数项拆分为两个合适的数，分别和x的二次项、一次项，y的二次项、一次项凑成完全平方形式，再根据平方的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出x、y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
对等式$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$左边配方：
将常数项13拆分为4+9，原式变形为：
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 0$
根据完全平方公式整理得：
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$
因为平方数具有非负性，即$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，因此：
$x+2=0$，解得$x=-2$
$y-3=0$，解得$y=3$
所以$x+y=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法；平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题是配方法应用的典型题目，解题关键是正确拆分常数项凑出完全平方形式，再结合非负数的性质求解未知数，整体考查基础的公式运用与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

⑩ 无论x、y取任何实数，多项式$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 16$ 0。（选填“＞”“＜”“≥”或“≤”）

10. ＞

【分析】
要判断给定多项式与0的大小关系，观察式子结构，含有x、y的二次项和一次项，适合用配方法将其变形为完全平方式加常数的形式，再利用“任意实数的平方均为非负数”的性质判断整体的取值范围。解题时先将含x的项、含y的项分别归类，再分别对x、y的二次三项式配方，最后合并常数项即可推导取值。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 - 2x - 4y + 16&=(x^2-2x)+(y^2-4y)+16\\&=(x^2-2x+1-1)+(y^2-4y+4-4)+16\\&=(x-1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 +16\\&=(x-1)^2 + (y-2)^2 + 11\end{aligned}$
因为无论x、y取任何实数，都有$(x-1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，所以：
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + 11≥ 0+0+11=11＞0$
【答案】
＞
【知识点】
配方法、完全平方的非负性、代数式大小比较
【点评】
这道题是配方法的典型应用，通过配方将多项式转化为非负项与常数和的形式，即可快速判断代数式的取值范围，掌握配方技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8

11 解方程:(用配方法)
(1) $x^2 - 2x -5=0$;
(2) $x^2 -4x=9996$;
(3) $x^2 -0.6x -0.16=0$;
(4) $2x^2 +3x -7=0$;
(5) $x^2 + \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}=0$;
(6) $\frac{2}{3}y^2 + \frac{1}{3}y -2=0$;
(7) $0.25x^2 +x -1=0$;
(8) $3x^2 -2=4x$;
(9) $x^2 -5ax +6a^2=0$;
(10) $y^2 +2(\sqrt{3}+1)y +2\sqrt{3}=0$。

11. (1) $x = 1\pm\sqrt{6}$
(2) $x_1 = 102, x_2 = -98$
(3) $x_1 = \frac{4}{5}, x_2 = -\frac{1}{5}$
(4) $(x+\frac{3}{4})^2=\frac{65}{16}$,解得$x = -\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$
(5) $(x+\frac{1}{12})^2=\frac{49}{144}$,解得$x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{2}{3}$
(6) $(y+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$,解得$y_1=\frac{3}{2}, y_2=-2$
(7) $(x+2)^2=8$,解得$x=-2\pm2\sqrt{2}$
(8) $(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$,解得$x=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
(9) $(x-\frac{5a}{2})^2=\frac{a^2}{4}$,解得$x_1=3a, x_2=2a$
(10) $(y+\sqrt{3}+1)^2=4$,解得$y_1=1-\sqrt{3}, y_2=-3-\sqrt{3}$

【分析】
配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；②将常数项移到等号右侧；③方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数；④若右侧常数非负，直接开平方求根即可。本题10道题覆盖不同系数类型的一元二次方程，均按上述步骤操作即可求解。
【解析】
(1) 移项得$x^2-2x=5$，配方得$x^2-2x+1=5+1$，即$(x-1)^2=6$，开平方得$x-1=\pm\sqrt{6}$，解得$x=1\pm\sqrt{6}$。
(2) 配方得$x^2-4x+4=9996+4$，即$(x-2)^2=10000$，开平方得$x-2=\pm100$，解得$x_1=102,x_2=-98$。
(3) 移项得$x^2-0.6x=0.16$，配方得$x^2-0.6x+0.09=0.16+0.09$，即$(x-0.3)^2=0.25$，开平方得$x-0.3=\pm0.5$，解得$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{1}{5}$。
(4) 两边除以2得$x^2+\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}=0$，移项得$x^2+\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}$，配方得$(x+\frac{3}{4})^2=\frac{65}{16}$，开平方得$x+\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$，解得$x=-\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$。
(5) 移项得$x^2+\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}$，配方得$(x+\frac{1}{12})^2=\frac{49}{144}$，开平方得$x+\frac{1}{12}=\pm\frac{7}{12}$，解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{2}{3}$。
(6) 两边乘$\frac{3}{2}$得$y^2+\frac{1}{2}y-3=0$，移项得$y^2+\frac{1}{2}y=3$，配方得$(y+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$，开平方得$y+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}$，解得$y_1=\frac{3}{2},y_2=-2$。
(7) 两边乘4得$x^2+4x-4=0$，移项得$x^2+4x=4$，配方得$(x+2)^2=8$，开平方得$x+2=\pm2\sqrt{2}$，解得$x=-2\pm2\sqrt{2}$。
(8) 整理为$3x^2-4x-2=0$，两边除以3得$x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，配方得$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，开平方得$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得$x=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$。
(9) 移项得$x^2-5ax=-6a^2$，配方得$(x-\frac{5a}{2})^2=\frac{a^2}{4}$，开平方得$x-\frac{5a}{2}=\pm\frac{a}{2}$，解得$x_1=3a,x_2=2a$。
(10) 移项得$y^2+2(\sqrt{3}+1)y=-2\sqrt{3}$，配方得$(y+\sqrt{3}+1)^2=4$，开平方得$y+\sqrt{3}+1=\pm2$，解得$y_1=1-\sqrt{3},y_2=-3-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x = 1\pm\sqrt{6}$
(2) $x_1 = 102, x_2 = -98$
(3) $x_1 = \frac{4}{5}, x_2 = -\frac{1}{5}$
(4) $x = -\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$
(5) $x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{2}{3}$
(6) $y_1=\frac{3}{2}, y_2=-2$
(7) $x=-2\pm2\sqrt{2}$
(8) $x=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
(9) $x_1=3a, x_2=2a$
(10) $y_1=1-\sqrt{3}, y_2=-3-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题组覆盖了二次项系数为1、不为1，含小数、分数、字母系数、无理数系数的多种一元二次方程题型，全面考查配方法的实操能力，熟练掌握"化1、移项、配方、开方"的核心流程即可顺利解题，是巩固一元二次方程解法的基础训练。
【难度系数】
0.7