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12 已知：$x^2 + 6x + y^2 -8y +25=0$，求$\frac{x - 2y}{x^2 + y^2}$的值。
答案
12. 由$x^2 + 6x + y^2 -8y +25=0$,得$(x+3)^2+(y-4)^2=0$,则$x=-3, y=4$。所以$\frac{x-2y}{x^2+y^2}=\frac{-3-8}{9+16}=-\frac{11}{25}$。
解析
【分析】
观察已知等式，含有x、y的二次项和一次项，可将常数项25拆分为9和16，分别和x的二次项、一次项，y的二次项、一次项配成完全平方。根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的具体值，最后将x、y代入所求分式计算即可得到结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
将25拆分为9+16，可得：
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 0$
即$\boldsymbol{(x+3)^2 + (y-4)^2 = 0}$
∵平方数具有非负性，即$(x+3)^2 ≥ 0$，$(y-4)^2 ≥ 0$
∴只有当$(x+3)^2 = 0$且$(y-4)^2 = 0$时，等式成立
解得：$x = -3$，$y = 4$
将$x=-3$，$y=4$代入$\frac{x - 2y}{x^2 + y^2}$得：
$\frac{x - 2y}{x^2 + y^2}=\frac{-3 - 2×4}{(-3)^2 + 4^2} = \frac{-3 - 8}{9 + 16} = -\frac{11}{25}$
【答案】
$-\frac{11}{25}$
【知识点】
配方法、偶次方的非负性、代数式求值
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是通过拆分常数项将原式转化为两个平方和为0的形式，结合非负数的性质求出未知数后代入计算即可，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
观察已知等式，含有x、y的二次项和一次项，可将常数项25拆分为9和16，分别和x的二次项、一次项，y的二次项、一次项配成完全平方。根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的具体值，最后将x、y代入所求分式计算即可得到结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
将25拆分为9+16，可得：
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 0$
即$\boldsymbol{(x+3)^2 + (y-4)^2 = 0}$
∵平方数具有非负性，即$(x+3)^2 ≥ 0$，$(y-4)^2 ≥ 0$
∴只有当$(x+3)^2 = 0$且$(y-4)^2 = 0$时，等式成立
解得：$x = -3$，$y = 4$
将$x=-3$，$y=4$代入$\frac{x - 2y}{x^2 + y^2}$得：
$\frac{x - 2y}{x^2 + y^2}=\frac{-3 - 2×4}{(-3)^2 + 4^2} = \frac{-3 - 8}{9 + 16} = -\frac{11}{25}$
【答案】
$-\frac{11}{25}$
【知识点】
配方法、偶次方的非负性、代数式求值
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是通过拆分常数项将原式转化为两个平方和为0的形式，结合非负数的性质求出未知数后代入计算即可，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
