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1 用公式法解方程$3x^2 + 4 = 12x$，下列代入公式正确的是（
A
）。答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确公式法解一元二次方程的步骤：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，第二步准确确定$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上系数的符号，第三步将$a$、$b$、$c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 整理方程为一般形式：
将原方程$3x^2 + 4 = 12x$移项，得$3x^2 - 12x + 4 = 0$。
2. 确定系数：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=4$。
3. 代入求根公式：
一元二次方程求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a≠0$），将$a$、$b$、$c$代入得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4×3×4}}{2×3}=\frac{12\pm\sqrt{144-48}}{6}$，该代入方式对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点为移项时符号出错、确定系数$b$时漏带负号，做题时需牢记先将方程化为一般形式再确定系数，避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确公式法解一元二次方程的步骤：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，第二步准确确定$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上系数的符号，第三步将$a$、$b$、$c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 整理方程为一般形式：
将原方程$3x^2 + 4 = 12x$移项，得$3x^2 - 12x + 4 = 0$。
2. 确定系数：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=4$。
3. 代入求根公式：
一元二次方程求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a≠0$），将$a$、$b$、$c$代入得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4×3×4}}{2×3}=\frac{12\pm\sqrt{144-48}}{6}$，该代入方式对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点为移项时符号出错、确定系数$b$时漏带负号，做题时需牢记先将方程化为一般形式再确定系数，避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
方程$x^2 + 3x = 14$的解是（B
）。A.$x = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$
B.$x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2}$
C.$x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}$
D.$x = \frac{-3 \pm \sqrt{23}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的解，选项均为求根公式的形式，因此选用公式法求解即可。解题思路如下：第一步先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，注意移项要变号，准确确定$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步将$a、b、\Delta$的值代入求根公式计算，最后和选项对比选出答案即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 3x - 14 = 0$
可得$a=1$，$b=3$，$c=-14$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-14) = 9 + 56 = 65＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 求根公式
3. 公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础题型，易错点为移项时常数项的符号判断、判别式计算时的符号运算，只要熟练掌握公式法的标准解题步骤，注意符号细节就能快速作答。
【难度系数】
0.7
本题要求一元二次方程的解，选项均为求根公式的形式，因此选用公式法求解即可。解题思路如下：第一步先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，注意移项要变号，准确确定$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步将$a、b、\Delta$的值代入求根公式计算，最后和选项对比选出答案即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 3x - 14 = 0$
可得$a=1$，$b=3$，$c=-14$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-14) = 9 + 56 = 65＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 求根公式
3. 公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础题型，易错点为移项时常数项的符号判断、判别式计算时的符号运算，只要熟练掌握公式法的标准解题步骤，注意符号细节就能快速作答。
【难度系数】
0.7
3 用公式法解一元二次方程$x^2 - \frac{1}{4} = 2x$，正确的是（
A.$x = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{2}$
B.$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$
C.$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
D.$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$
B
）。A.$x = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{2}$
B.$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$
C.$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
D.$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
要用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定系数$a$、$b$、$c$的取值，接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，对应选项选出正确答案即可。解题时要注意移项要变号，确定$b$、$c$的符号时不要出错。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
对$x^2 - \frac{1}{4} = 2x$移项，得：
$x^2 - 2x - \frac{1}{4} = 0$
第二步：确定系数$a$、$b$、$c$的值
这里$a=1$，$b=-2$，$c=-\frac{1}{4}$
第三步：计算判别式$\Delta$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-\frac{1}{4}) = 4 + 1 = 5 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
第四步：代入求根公式计算
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{5}}{2×1} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$
因此正确选项为B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程公式法，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，属于基础题型，解题的核心是先将方程化为一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的符号及数值，再代入公式计算，避免因移项错误、符号记错导致失分。
【难度系数】
0.8
要用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定系数$a$、$b$、$c$的取值，接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，对应选项选出正确答案即可。解题时要注意移项要变号，确定$b$、$c$的符号时不要出错。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式
对$x^2 - \frac{1}{4} = 2x$移项，得：
$x^2 - 2x - \frac{1}{4} = 0$
第二步：确定系数$a$、$b$、$c$的值
这里$a=1$，$b=-2$，$c=-\frac{1}{4}$
第三步：计算判别式$\Delta$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-\frac{1}{4}) = 4 + 1 = 5 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
第四步：代入求根公式计算
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{5}}{2×1} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$
因此正确选项为B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程公式法，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，属于基础题型，解题的核心是先将方程化为一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的符号及数值，再代入公式计算，避免因移项错误、符号记错导致失分。
【难度系数】
0.8
④ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0\ (b^2 - 4ac ≥ 0)$的解是
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
。答案
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
解析
【分析】
本题要求推导有实根的一元二次方程的求根公式，我们可以通过配方法逐步变形求解：首先利用等式的性质将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方式等于常数的形式，结合题中给出的判别式$b^2-4ac\ge0$的条件开平方，最后整理即可得到方程的解。
【解析】
已知$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，因此$a\ne0$，解题步骤如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开平方：由题知$b^2-4ac\ge0$，且$4a^2＞0$，因此右侧非负，开平方得
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
5. 移项整理：将$\frac{b}{2a}$移到等号右侧，得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 配方法解方程
3. 平方根的性质
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题，核心考查求根公式的推导和识记，配方法是推导求根公式的关键，熟练掌握该公式能大幅提高一元二次方程的解题效率。
【难度系数】
0.9
本题要求推导有实根的一元二次方程的求根公式，我们可以通过配方法逐步变形求解：首先利用等式的性质将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方式等于常数的形式，结合题中给出的判别式$b^2-4ac\ge0$的条件开平方，最后整理即可得到方程的解。
【解析】
已知$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，因此$a\ne0$，解题步骤如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开平方：由题知$b^2-4ac\ge0$，且$4a^2＞0$，因此右侧非负，开平方得
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
5. 移项整理：将$\frac{b}{2a}$移到等号右侧，得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 配方法解方程
3. 平方根的性质
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题，核心考查求根公式的推导和识记，配方法是推导求根公式的关键，熟练掌握该公式能大幅提高一元二次方程的解题效率。
【难度系数】
0.9
5 方程$x^2 + x - 2 = 0$中，$b^2 - 4ac$的值为
9
。答案
9
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），第一步先从给定的方程中准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，尤其要注意常数项的符号，再将三个系数代入判别式$b^2-4ac$的公式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2+x-2=0$的各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-2$。
将$a$、$b$、$c$代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=1^2 - 4×1×(-2)\\&=1 + 8\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查一元二次方程各项系数的识别和判别式公式的运用，解题时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），第一步先从给定的方程中准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，尤其要注意常数项的符号，再将三个系数代入判别式$b^2-4ac$的公式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2+x-2=0$的各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-2$。
将$a$、$b$、$c$代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=1^2 - 4×1×(-2)\\&=1 + 8\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查一元二次方程各项系数的识别和判别式公式的运用，解题时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
⑥ 方程$3x^2 + 2\sqrt{3}x = 2$中，$b^2 - 4ac$的值为
36
。答案
36
解析
【分析】
要计算一元二次方程中$b^2-4ac$的值，首先需要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准形式，再准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意移项后常数项的符号，最后代入判别式公式计算即可。
【解析】
1. 将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$3x^2 + 2\sqrt{3}x = 2$移项，得：
$\boldsymbol{3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2 = 0}$
2. 对应确定系数：
对比一般式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=3$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-2$
3. 代入判别式公式计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(2\sqrt{3})^2 - 4×3×(-2)\\&=12 + 24\\&=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的一般形式，根的判别式计算
【点评】
本题是基础类计算题，重点考查一元二次方程判别式的计算规则，易错点为未先将方程化为一般形式就直接确定常数项，或移项时忽略常数项的符号，计算二次根式的平方时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.75
要计算一元二次方程中$b^2-4ac$的值，首先需要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准形式，再准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意移项后常数项的符号，最后代入判别式公式计算即可。
【解析】
1. 将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$3x^2 + 2\sqrt{3}x = 2$移项，得：
$\boldsymbol{3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2 = 0}$
2. 对应确定系数：
对比一般式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=3$，$b=2\sqrt{3}$，$c=-2$
3. 代入判别式公式计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(2\sqrt{3})^2 - 4×3×(-2)\\&=12 + 24\\&=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的一般形式，根的判别式计算
【点评】
本题是基础类计算题，重点考查一元二次方程判别式的计算规则，易错点为未先将方程化为一般形式就直接确定常数项，或移项时忽略常数项的符号，计算二次根式的平方时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.75
7 若代数式$4x^2 - 2x -5$与$2x^2 +1$的值互为相反数，则$x$的值为
$-\frac{2}{3}$或1
。答案
$-\frac{2}{3}$或1
解析
【分析】
解题第一步先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，列出关于x的等式；第二步将等式整理为一元二次方程的标准形式；第三步选择合适的方法（因式分解法或公式法）求解一元二次方程，即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$4x^2 - 2x -5$与$2x^2 +1$的值互为相反数
∴ 两式之和为0，可列方程：
$4x^2 - 2x -5 + 2x^2 +1 = 0$
合并同类项，得：
$6x^2 - 2x -4 = 0$
两边同时除以2化简，得：
$3x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
∴ $3x + 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得：$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 1$
（若用公式法验证：对于方程$3x^2 - x - 2 = 0$，$a=3,b=-1,c=-2$，判别式$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 -4×3×(-2)=25$，则$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1±5}{6}$，也可得到相同结果）
【答案】
$-\frac{2}{3}$或1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，将相反数的概念和一元二次方程的求解结合考查，只要能准确根据题意列出方程，熟练掌握一元二次方程的常见解法，即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题第一步先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，列出关于x的等式；第二步将等式整理为一元二次方程的标准形式；第三步选择合适的方法（因式分解法或公式法）求解一元二次方程，即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$4x^2 - 2x -5$与$2x^2 +1$的值互为相反数
∴ 两式之和为0，可列方程：
$4x^2 - 2x -5 + 2x^2 +1 = 0$
合并同类项，得：
$6x^2 - 2x -4 = 0$
两边同时除以2化简，得：
$3x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
∴ $3x + 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得：$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 1$
（若用公式法验证：对于方程$3x^2 - x - 2 = 0$，$a=3,b=-1,c=-2$，判别式$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 -4×3×(-2)=25$，则$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1±5}{6}$，也可得到相同结果）
【答案】
$-\frac{2}{3}$或1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，将相反数的概念和一元二次方程的求解结合考查，只要能准确根据题意列出方程，熟练掌握一元二次方程的常见解法，即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
⑧ 定义：$a*b=\dfrac{a+2b}{2}$，则方程$[(2x)*(x^2)] - [(x^2)*(2x)] = 1$的解为
$x_1=1+\sqrt{3}, x_2=1-\sqrt{3}$
。答案
$x_1=1+\sqrt{3}, x_2=1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路分为三步：首先准确理解新定义$a*b=\dfrac{a+2b}{2}$的运算规则，分清每个运算中对应的$a$和$b$；其次分别计算$[(2x)*(x^2)]$和$[(x^2)*(2x)]$的表达式，代入原方程后整理为标准的一元二次方程；最后用公式法求解一元二次方程即可得到结果。
【解析】
根据新定义$a*b=\dfrac{a+2b}{2}$：
1. 计算$(2x)*(x^2)$：此处$a=2x$，$b=x^2$，代入得
$(2x)*(x^2)=\dfrac{2x + 2· x^2}{2}=x^2 + x$
2. 计算$(x^2)*(2x)$：此处$a=x^2$，$b=2x$，代入得
$(x^2)*(2x)=\dfrac{x^2 + 2· 2x}{2}=\dfrac{x^2 + 4x}{2}$
3. 代入原方程得：
$x^2 + x - \dfrac{x^2 + 4x}{2}=1$
两边同乘2消去分母：
$2(x^2 + x) - (x^2 + 4x) = 2$
展开并整理：
$2x^2 + 2x - x^2 -4x -2=0$
$x^2 -2x -2=0$
4. 用公式法解该一元二次方程，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2$：
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-2)^2 -4×1×(-2)=4 +8=12＞0$
所以$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
【答案】
$x_1=1+\sqrt{3}, x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程公式解法
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合考查，核心是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算，整理为标准一元二次方程后按常规方法求解即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路分为三步：首先准确理解新定义$a*b=\dfrac{a+2b}{2}$的运算规则，分清每个运算中对应的$a$和$b$；其次分别计算$[(2x)*(x^2)]$和$[(x^2)*(2x)]$的表达式，代入原方程后整理为标准的一元二次方程；最后用公式法求解一元二次方程即可得到结果。
【解析】
根据新定义$a*b=\dfrac{a+2b}{2}$：
1. 计算$(2x)*(x^2)$：此处$a=2x$，$b=x^2$，代入得
$(2x)*(x^2)=\dfrac{2x + 2· x^2}{2}=x^2 + x$
2. 计算$(x^2)*(2x)$：此处$a=x^2$，$b=2x$，代入得
$(x^2)*(2x)=\dfrac{x^2 + 2· 2x}{2}=\dfrac{x^2 + 4x}{2}$
3. 代入原方程得：
$x^2 + x - \dfrac{x^2 + 4x}{2}=1$
两边同乘2消去分母：
$2(x^2 + x) - (x^2 + 4x) = 2$
展开并整理：
$2x^2 + 2x - x^2 -4x -2=0$
$x^2 -2x -2=0$
4. 用公式法解该一元二次方程，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2$：
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-2)^2 -4×1×(-2)=4 +8=12＞0$
所以$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
【答案】
$x_1=1+\sqrt{3}, x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程公式解法
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合考查，核心是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算，整理为标准一元二次方程后按常规方法求解即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
9 解方程:(用公式法)
(1) $x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2) $x^2 = 2(x - 1)$；
(3) $x^2 - 4\sqrt{3}x + 10 = 0$；
(4) $-5x^2 - 3x + 2 = 0$；
(5) $5x^2 - 2x - 7 = 0$；
(6) $\frac{1}{2}x - 1 = 2x^2$；
(7) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$；
(8) $(2x - 7)^2 - (2x + 5)^2 = 12x^2$；
(9) $2x^2 + 2\sqrt{7}x + 1 = 0$；
(10) $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$。
(1) $x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2) $x^2 = 2(x - 1)$；
(3) $x^2 - 4\sqrt{3}x + 10 = 0$；
(4) $-5x^2 - 3x + 2 = 0$；
(5) $5x^2 - 2x - 7 = 0$；
(6) $\frac{1}{2}x - 1 = 2x^2$；
(7) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$；
(8) $(2x - 7)^2 - (2x + 5)^2 = 12x^2$；
(9) $2x^2 + 2\sqrt{7}x + 1 = 0$；
(10) $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$。
答案
(1) $b^2 - 4ac=9+16=25$, $x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}$, 解得$x_1=4$, $x_2=-1$。
(2) 原方程可化为$x^2-2x+2=0$, $b^2 - 4ac=4-8=-4＜0$, 所以无实数根。
(3) $b^2 - 4ac=48-40=8$, $x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{8}}{2}$, 解得$x=2\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$。
(4) 原方程可化为$5x^2+3x-2=0$, $b^2 - 4ac=9+40=49$, $x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{10}$, 解得$x_1=\frac{2}{5}$, $x_2=-1$。
(5) $b^2 - 4ac=(-2)^2-4×5×(-7)=144$, $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{10}$, 解得$x_1=\frac{7}{5}$, $x_2=-1$。
(6) 原方程可化为$4x^2-x+2=0$, $b^2 - 4ac=(-1)^2-4×4×2=-31＜0$, 所以无实数根。
(7) $b^2 - 4ac=12-12=0$, 所以$x_1=x_2=-\sqrt{3}$。
(8) 原方程可化为$x^2+4x-2=0$, $b^2 - 4ac=16+8=24$, $x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}$, 解得$x=-2\pm\sqrt{6}$。
(9) $b^2 - 4ac=28-8=20$, $x=\frac{-2\sqrt{7}\pm\sqrt{20}}{4}$, 解得$x=\frac{-\sqrt{7}\pm\sqrt{5}}{2}$。
(10) 原方程可化为$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$, $b^2 - 4ac=8+4=12$, $x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}$, 解得$x=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
(2) 原方程可化为$x^2-2x+2=0$, $b^2 - 4ac=4-8=-4＜0$, 所以无实数根。
(3) $b^2 - 4ac=48-40=8$, $x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{8}}{2}$, 解得$x=2\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$。
(4) 原方程可化为$5x^2+3x-2=0$, $b^2 - 4ac=9+40=49$, $x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{10}$, 解得$x_1=\frac{2}{5}$, $x_2=-1$。
(5) $b^2 - 4ac=(-2)^2-4×5×(-7)=144$, $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{10}$, 解得$x_1=\frac{7}{5}$, $x_2=-1$。
(6) 原方程可化为$4x^2-x+2=0$, $b^2 - 4ac=(-1)^2-4×4×2=-31＜0$, 所以无实数根。
(7) $b^2 - 4ac=12-12=0$, 所以$x_1=x_2=-\sqrt{3}$。
(8) 原方程可化为$x^2+4x-2=0$, $b^2 - 4ac=16+8=24$, $x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}$, 解得$x=-2\pm\sqrt{6}$。
(9) $b^2 - 4ac=28-8=20$, $x=\frac{-2\sqrt{7}\pm\sqrt{20}}{4}$, 解得$x=\frac{-\sqrt{7}\pm\sqrt{5}}{2}$。
(10) 原方程可化为$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$, $b^2 - 4ac=8+4=12$, $x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}$, 解得$x=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号要和各项保持一致；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的取值判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根；③当$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算，最终化简得到方程的根，每道题都按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x - 4 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-3)^2-4×1×(-4)=25＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
(2) 整理为一般形式得$x^2 - 2x + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-2)^2-4×1×2=-4＜0$，
所以该方程无实数根。
(3) 方程$x^2 - 4\sqrt{3}x + 10 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4\sqrt{3}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-4\sqrt{3})^2-4×1×10=8＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=2\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(4) 整理为一般形式得$5x^2+3x-2=0$，其中$a=5$，$b=3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = 3^2-4×5×(-2)=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{10}=\frac{-3\pm7}{10}$，
解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=-1$。
(5) 方程$5x^2 - 2x - 7 = 0$为一般形式，其中$a=5$，$b=-2$，$c=-7$，
判别式$\Delta = (-2)^2-4×5×(-7)=144＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{10}=\frac{2\pm12}{10}$，
解得$x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-1$。
(6) 整理为一般形式得$4x^2 - x + 2 = 0$，其中$a=4$，$b=-1$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-1)^2-4×4×2=-31＜0$，
所以该方程无实数根。
(7) 方程$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=3$，
判别式$\Delta = (2\sqrt{3})^2-4×1×3=0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\sqrt{3}\pm0}{2}=-\sqrt{3}$，
即$x_1=x_2=-\sqrt{3}$。
(8) 展开左边整理得$-48x+24=12x^2$，化为一般形式$x^2+4x-2=0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-2$，
判别式$\Delta = 4^2-4×1×(-2)=24＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}$，
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(9) 方程$2x^2 + 2\sqrt{7}x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=2\sqrt{7}$，$c=1$，
判别式$\Delta = (2\sqrt{7})^2-4×2×1=20＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\sqrt{7}\pm\sqrt{20}}{4}=\frac{-2\sqrt{7}\pm2\sqrt{5}}{4}$，
解得$x_1=\frac{-\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$。
(10) 展开左边整理得$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=12＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}$，
解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-1$
(2) 无实数根
(3) $x_1=2\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=2\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=-1$
(5) $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-1$
(6) 无实数根
(7) $x_1=x_2=-\sqrt{3}$
(8) $x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$
(9) $x_1=\frac{-\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$
(10) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本组题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心是牢记公式法的解题步骤，尤其要注意将方程化为一般形式时各项的符号，计算判别式和代入求根公式时避免符号错误，根式结果要化为最简形式，当判别式小于0时可直接判断无实数根。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号要和各项保持一致；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的取值判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根；③当$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算，最终化简得到方程的根，每道题都按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x - 4 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-3)^2-4×1×(-4)=25＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
(2) 整理为一般形式得$x^2 - 2x + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-2)^2-4×1×2=-4＜0$，
所以该方程无实数根。
(3) 方程$x^2 - 4\sqrt{3}x + 10 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4\sqrt{3}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-4\sqrt{3})^2-4×1×10=8＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=2\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(4) 整理为一般形式得$5x^2+3x-2=0$，其中$a=5$，$b=3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = 3^2-4×5×(-2)=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{10}=\frac{-3\pm7}{10}$，
解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=-1$。
(5) 方程$5x^2 - 2x - 7 = 0$为一般形式，其中$a=5$，$b=-2$，$c=-7$，
判别式$\Delta = (-2)^2-4×5×(-7)=144＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{10}=\frac{2\pm12}{10}$，
解得$x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-1$。
(6) 整理为一般形式得$4x^2 - x + 2 = 0$，其中$a=4$，$b=-1$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-1)^2-4×4×2=-31＜0$，
所以该方程无实数根。
(7) 方程$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2\sqrt{3}$，$c=3$，
判别式$\Delta = (2\sqrt{3})^2-4×1×3=0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\sqrt{3}\pm0}{2}=-\sqrt{3}$，
即$x_1=x_2=-\sqrt{3}$。
(8) 展开左边整理得$-48x+24=12x^2$，化为一般形式$x^2+4x-2=0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-2$，
判别式$\Delta = 4^2-4×1×(-2)=24＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}$，
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(9) 方程$2x^2 + 2\sqrt{7}x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=2\sqrt{7}$，$c=1$，
判别式$\Delta = (2\sqrt{7})^2-4×2×1=20＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\sqrt{7}\pm\sqrt{20}}{4}=\frac{-2\sqrt{7}\pm2\sqrt{5}}{4}$，
解得$x_1=\frac{-\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$。
(10) 展开左边整理得$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=12＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}$，
解得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-1$
(2) 无实数根
(3) $x_1=2\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=2\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=-1$
(5) $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-1$
(6) 无实数根
(7) $x_1=x_2=-\sqrt{3}$
(8) $x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$
(9) $x_1=\frac{-\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$
(10) $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本组题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心是牢记公式法的解题步骤，尤其要注意将方程化为一般形式时各项的符号，计算判别式和代入求根公式时避免符号错误，根式结果要化为最简形式，当判别式小于0时可直接判断无实数根。
【难度系数】
0.8
