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10 用公式法解下列关于x的方程：
(1) $x^2 - x = a^2$；
(2) $20m^2x^2 + 11mnx - 3n^2 = 0(m≠0)$。
(1) $x^2 - x = a^2$；
(2) $20m^2x^2 + 11mnx - 3n^2 = 0(m≠0)$。
答案
(1) 原方程可化为$x^2-x-a^2=0$, $b^2 - 4ac=1+4a^2$, 解得$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$。
(2) $b^2-4ac=121m^2n^2+240m^2n^2=361m^2n^2$, $x=\frac{-11mn\pm\sqrt{361m^2n^2}}{40m^2}$, 解得$x_1=\frac{n}{5m}$, $x_2=-\frac{3n}{4m}$。
(2) $b^2-4ac=121m^2n^2+240m^2n^2=361m^2n^2$, $x=\frac{-11mn\pm\sqrt{361m^2n^2}}{40m^2}$, 解得$x_1=\frac{n}{5m}$, $x_2=-\frac{3n}{4m}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到最终的根。
第(1)题先移项得到一般形式，判别式恒为正，直接代公式即可；第(2)题已知$m≠0$，直接确定含参数的系数，判别式是完全平方式，开方后化简即可得到有理根。
【解析】
(1) 整理方程为一般形式：
移项得 $x^2 - x - a^2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-a^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-a^2) = 1 + 4a^2$，
$\because 1+4a^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{1+4a^2}}{2×1} = \frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$。
(2) $\because m≠0$，该方程是关于$x$的一元二次方程，其中二次项系数$a=20m^2$，一次项系数$b=11mn$，常数项$c=-3n^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (11mn)^2 - 4×20m^2×(-3n^2) = 121m^2n^2 + 240m^2n^2 = 361m^2n^2≥0$，方程有两个实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-11mn\pm\sqrt{361m^2n^2}}{2×20m^2} = \frac{-11mn\pm19mn}{40m^2}$，
分别计算两根：
取正号时，$x_1=\frac{-11mn+19mn}{40m^2}=\frac{8mn}{40m^2}=\frac{n}{5m}$；
取负号时，$x_2=\frac{-11mn-19mn}{40m^2}=\frac{-30mn}{40m^2}=-\frac{3n}{4m}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$
(2) $x_1=\frac{n}{5m}$，$x_2=-\frac{3n}{4m}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，含参一元二次方程求解
【点评】
本题考查公式法解方程的规范步骤应用，解题的关键是准确识别一般形式下的各项系数，避免符号错误，含参数的方程化简时注意正确约分即可。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到最终的根。
第(1)题先移项得到一般形式，判别式恒为正，直接代公式即可；第(2)题已知$m≠0$，直接确定含参数的系数，判别式是完全平方式，开方后化简即可得到有理根。
【解析】
(1) 整理方程为一般形式：
移项得 $x^2 - x - a^2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-a^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-a^2) = 1 + 4a^2$，
$\because 1+4a^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{1+4a^2}}{2×1} = \frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$。
(2) $\because m≠0$，该方程是关于$x$的一元二次方程，其中二次项系数$a=20m^2$，一次项系数$b=11mn$，常数项$c=-3n^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (11mn)^2 - 4×20m^2×(-3n^2) = 121m^2n^2 + 240m^2n^2 = 361m^2n^2≥0$，方程有两个实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-11mn\pm\sqrt{361m^2n^2}}{2×20m^2} = \frac{-11mn\pm19mn}{40m^2}$，
分别计算两根：
取正号时，$x_1=\frac{-11mn+19mn}{40m^2}=\frac{8mn}{40m^2}=\frac{n}{5m}$；
取负号时，$x_2=\frac{-11mn-19mn}{40m^2}=\frac{-30mn}{40m^2}=-\frac{3n}{4m}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$
(2) $x_1=\frac{n}{5m}$，$x_2=-\frac{3n}{4m}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，含参一元二次方程求解
【点评】
本题考查公式法解方程的规范步骤应用，解题的关键是准确识别一般形式下的各项系数，避免符号错误，含参数的方程化简时注意正确约分即可。
【难度系数】
0.7
11 已知$a$、$b$、$c$为实数，且$\sqrt{a^2 - 3a + 2} + |b + 1| + (c + 3)^2 = 0$，求方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
答案
因为$\sqrt{a^2 - 3a + 2} + |b + 1| + (c + 3)^2 = 0$, 又因为$\sqrt{a^2 - 3a + 2} \ge 0$, $|b+1|\ge0$, $(c+3)^2\ge0$, 所以$a^2-3a+2=0$, $b+1=0$, $c+3=0$, 解得$a=1$或$a=2$, $b=-1$, $c=-3$。当$a=1$, $b=-1$, $c=-3$时, 原方程为$x^2-x-3=0$, $b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13$, 所以$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$, 所以$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, $x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$; 当$a=2$, $b=-1$, $c=-3$时, 原方程为$2x^2-x-3=0$, $(2x-3)(x+1)=0$, 所以$x_1=\frac{3}{2}$, $x_2=-1$。
解析
【分析】
首先观察已知等式，左边的三个项分别为二次根式、绝对值、平方形式，这三类代数式都是非负数，取值均大于等于0。根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可分别列出关于a、b、c的方程，求解得到三个参数的取值。由于a是一元二次方程的二次项系数，求解得到的a有两个符合要求的取值，因此需要分两种情况将参数代入方程，再选择合适的方法求解一元二次方程的根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a^2 - 3a + 2} \ge 0$，$|b + 1| \ge 0$，$(c + 3)^2 \ge 0$，且三者的和为0，
∴每个非负项都等于0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 3a + 2 = 0 \\b + 1 = 0 \\c + 3 = 0\end{cases}$
解第一个方程：因式分解得$(a-1)(a-2)=0$，解得$a=1$或$a=2$；
解后两个方程得$b=-1$，$c=-3$。
分两种情况求解方程：
① 当$a=1$，$b=-1$，$c=-3$时，原方程为$x^2 - x - 3 = 0$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$，
由求根公式得$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$，即$x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$；
② 当$a=2$，$b=-1$，$c=-3$时，原方程为$2x^2 - x - 3 = 0$，
因式分解得$(2x - 3)(x + 1) = 0$，
则$2x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -1$。
【答案】
当$a=1$时，方程的根为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$；当$a=2$时，方程的根为$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-1$。
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的解法；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握二次根式、绝对值、偶次幂的非负性，求出参数后要注意分类讨论，避免遗漏a的取值，求解一元二次方程时可根据方程特征选择因式分解法或公式法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式，左边的三个项分别为二次根式、绝对值、平方形式，这三类代数式都是非负数，取值均大于等于0。根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可分别列出关于a、b、c的方程，求解得到三个参数的取值。由于a是一元二次方程的二次项系数，求解得到的a有两个符合要求的取值，因此需要分两种情况将参数代入方程，再选择合适的方法求解一元二次方程的根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a^2 - 3a + 2} \ge 0$，$|b + 1| \ge 0$，$(c + 3)^2 \ge 0$，且三者的和为0，
∴每个非负项都等于0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 3a + 2 = 0 \\b + 1 = 0 \\c + 3 = 0\end{cases}$
解第一个方程：因式分解得$(a-1)(a-2)=0$，解得$a=1$或$a=2$；
解后两个方程得$b=-1$，$c=-3$。
分两种情况求解方程：
① 当$a=1$，$b=-1$，$c=-3$时，原方程为$x^2 - x - 3 = 0$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$，
由求根公式得$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$，即$x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$；
② 当$a=2$，$b=-1$，$c=-3$时，原方程为$2x^2 - x - 3 = 0$，
因式分解得$(2x - 3)(x + 1) = 0$，
则$2x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -1$。
【答案】
当$a=1$时，方程的根为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$；当$a=2$时，方程的根为$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-1$。
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的解法；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握二次根式、绝对值、偶次幂的非负性，求出参数后要注意分类讨论，避免遗漏a的取值，求解一元二次方程时可根据方程特征选择因式分解法或公式法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
