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① 若$\sqrt{x - 2}$有意义，则$x$满足的条件为(
A.$x ＞ 2$
B.$x ≥ 2$
C.$x ＜ 2$
D.$x ≤ 2$
B
)。A.$x ＞ 2$
B.$x ≥ 2$
C.$x ＜ 2$
D.$x ≤ 2$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查二次根式有意义的条件，解题思路如下：首先回忆二次根式的性质，只有当被开方数是非负数（即大于等于0）时，二次根式才有意义；接下来根据这个性质列出关于x的不等式，解出不等式的解集后，对应选项就能得到正确答案。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x - 2}$有意义，需满足被开方数为非负数，可列不等式：
$x - 2 ≥ 0$
解不等式，两边同时加2得：$x ≥ 2$
因此x满足的条件是$x ≥ 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数非负的要求，掌握简单不等式的解法就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式有意义的条件，解题思路如下：首先回忆二次根式的性质，只有当被开方数是非负数（即大于等于0）时，二次根式才有意义；接下来根据这个性质列出关于x的不等式，解出不等式的解集后，对应选项就能得到正确答案。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x - 2}$有意义，需满足被开方数为非负数，可列不等式：
$x - 2 ≥ 0$
解不等式，两边同时加2得：$x ≥ 2$
因此x满足的条件是$x ≥ 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数非负的要求，掌握简单不等式的解法就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2 下列各组的两个二次根式中,是同类二次根式的是(
A.$\sqrt{\frac{1}{xy}}$和$\sqrt{\frac{1}{2xy}}$
B.$\sqrt{8ab^3}$和$2\sqrt{ab}$
C.$\sqrt{20}$和$-\sqrt{\frac{1}{5}}$
D.$\sqrt{a}$和$\sqrt{ab}$
C
)。A.$\sqrt{\frac{1}{xy}}$和$\sqrt{\frac{1}{2xy}}$
B.$\sqrt{8ab^3}$和$2\sqrt{ab}$
C.$\sqrt{20}$和$-\sqrt{\frac{1}{5}}$
D.$\sqrt{a}$和$\sqrt{ab}$
答案
2.C
解析
【分析】
判断同类二次根式的核心依据是：将两个二次根式都化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式。解题时需先逐一化简每个选项中的两个二次根式，再对比它们的被开方数是否一致即可得出答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的要求：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{\sqrt{xy}}{xy}$，最简后被开方数为$xy$；$\sqrt{\frac{1}{2xy}}=\frac{\sqrt{2xy}}{2xy}$，最简后被开方数为$2xy$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
B选项：$\sqrt{8ab^3}=\sqrt{4b^2·2ab}=2|b|\sqrt{2ab}$，最简后被开方数为$2ab$；$2\sqrt{ab}$的被开方数为$ab$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
C选项：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，最简后被开方数为$5$；$-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，最简后被开方数为$5$，二者被开方数相同，是同类二次根式。
D选项：$\sqrt{a}$的被开方数为$a$，$\sqrt{ab}$的被开方数为$ab$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判断的基础题型，解题的易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原被开方数，只要牢记先化简再判断的原则即可准确解答。
【难度系数】
0.8
判断同类二次根式的核心依据是：将两个二次根式都化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式。解题时需先逐一化简每个选项中的两个二次根式，再对比它们的被开方数是否一致即可得出答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的要求：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{\sqrt{xy}}{xy}$，最简后被开方数为$xy$；$\sqrt{\frac{1}{2xy}}=\frac{\sqrt{2xy}}{2xy}$，最简后被开方数为$2xy$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
B选项：$\sqrt{8ab^3}=\sqrt{4b^2·2ab}=2|b|\sqrt{2ab}$，最简后被开方数为$2ab$；$2\sqrt{ab}$的被开方数为$ab$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
C选项：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，最简后被开方数为$5$；$-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，最简后被开方数为$5$，二者被开方数相同，是同类二次根式。
D选项：$\sqrt{a}$的被开方数为$a$，$\sqrt{ab}$的被开方数为$ab$，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判断的基础题型，解题的易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原被开方数，只要牢记先化简再判断的原则即可准确解答。
【难度系数】
0.8
3 下列计算错误的是(
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
D
)。A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
答案
3.D
解析
【分析】
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘除、加减运算法则，对四个选项逐一计算验证即可。首先回忆二次根式运算规则：1.乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），计算后化简为最简二次根式；2.除法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），计算后化简；3.加减：先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅系数相加减，根式部分保持不变。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14×7} = \sqrt{98} = \sqrt{49×2} = 7\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
B选项：$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60÷5} = \sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
C选项：由二次根式有意义可知$a≥0$，因此$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，计算正确，不符合题意；
D选项：$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算法则，解题时需注意合并同类二次根式时仅系数运算，根式部分不能丢弃，熟练掌握相关运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘除、加减运算法则，对四个选项逐一计算验证即可。首先回忆二次根式运算规则：1.乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），计算后化简为最简二次根式；2.除法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），计算后化简；3.加减：先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅系数相加减，根式部分保持不变。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14×7} = \sqrt{98} = \sqrt{49×2} = 7\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
B选项：$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60÷5} = \sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
C选项：由二次根式有意义可知$a≥0$，因此$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，计算正确，不符合题意；
D选项：$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算法则，解题时需注意合并同类二次根式时仅系数运算，根式部分不能丢弃，熟练掌握相关运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4 若$\sqrt{24n}$是整数，则正整数$n$的最小值是（
A.2
B.6
C.8
D.9
B
）。A.2
B.6
C.8
D.9
答案
4.B
解析
【分析】
要使$\sqrt{24n}$是整数，说明被开方数$24n$是完全平方数（即可以表示为某个整数平方的数）。解题时先将24分解质因数，再根据完全平方数的特征：所有质因数的指数均为偶数，判断需要补充的质因数，就能求出最小的正整数$n$。
【解析】
解：先对24分解质因数可得$24=2^2×2×3$，
因此$\sqrt{24n}=\sqrt{2^2×6n}=2\sqrt{6n}$。
已知$\sqrt{24n}$是整数，且2是整数，因此$\sqrt{6n}$必须为整数，即$6n$是完全平方数。
对6分解质因数得$6=2×3$，两个质因数的指数均为1（奇数），要使$6n$为完全平方数，每个质因数的指数都要变为偶数，最小需要补充1个2和1个3，因此$n$的最小值为$2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心是理解只有被开方数为完全平方数时，二次根式的值才是整数，通过分解质因数即可快速求解，是同类题型中的典型考法。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{24n}$是整数，说明被开方数$24n$是完全平方数（即可以表示为某个整数平方的数）。解题时先将24分解质因数，再根据完全平方数的特征：所有质因数的指数均为偶数，判断需要补充的质因数，就能求出最小的正整数$n$。
【解析】
解：先对24分解质因数可得$24=2^2×2×3$，
因此$\sqrt{24n}=\sqrt{2^2×6n}=2\sqrt{6n}$。
已知$\sqrt{24n}$是整数，且2是整数，因此$\sqrt{6n}$必须为整数，即$6n$是完全平方数。
对6分解质因数得$6=2×3$，两个质因数的指数均为1（奇数），要使$6n$为完全平方数，每个质因数的指数都要变为偶数，最小需要补充1个2和1个3，因此$n$的最小值为$2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心是理解只有被开方数为完全平方数时，二次根式的值才是整数，通过分解质因数即可快速求解，是同类题型中的典型考法。
【难度系数】
0.8
5 如果 $ a = 2 + \sqrt{3} $，$ b = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} $，那么（
A.$ a = b $
B.$ a ＞ b $
C.$ a ＜ b $
D.$ a = \dfrac{1}{b} $
A
）。A.$ a = b $
B.$ a ＞ b $
C.$ a ＜ b $
D.$ a = \dfrac{1}{b} $
答案
5.A
解析
【分析】
要判断a和b的关系，首先观察b的表达式分母含有二次根式，我们可以先对b进行分母有理化化简，再将化简结果和a的值对比，即可得出结论。
【解析】
对b进行分母有理化，给$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$的分子、分母同时乘$2+\sqrt{3}$，利用平方差公式消去分母中的根号：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\\&=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a=2+\sqrt{3}$，因此$a=b$。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握分母有理化的操作方法，利用平方差公式去掉分母中的根号，将二次根式化为最简形式后再对比大小即可。
【难度系数】
0.8
要判断a和b的关系，首先观察b的表达式分母含有二次根式，我们可以先对b进行分母有理化化简，再将化简结果和a的值对比，即可得出结论。
【解析】
对b进行分母有理化，给$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$的分子、分母同时乘$2+\sqrt{3}$，利用平方差公式消去分母中的根号：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\\&=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a=2+\sqrt{3}$，因此$a=b$。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握分母有理化的操作方法，利用平方差公式去掉分母中的根号，将二次根式化为最简形式后再对比大小即可。
【难度系数】
0.8
⑥ $\sqrt{5}$的整数部分为$m$，小数部分为$n$，则$m(m-\dfrac{1}{n})^5$的值为（
A.$50\sqrt{5}$
B.$-50\sqrt{5}$
C.128
D.$-128$
B
）。A.$50\sqrt{5}$
B.$-50\sqrt{5}$
C.128
D.$-128$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，第一步先确定$\sqrt{5}$的整数部分$m$和小数部分$n$：先找到和5相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{5}$的取值范围即可得到$m$，再用$\sqrt{5}$减去整数部分得到小数部分$n$；第二步对$\frac{1}{n}$进行分母有理化，化简后代入代数式计算即可，计算过程中要注意符号处理和幂的运算规则。
【解析】
第一步：求$m$和$n$的值
$\because 2^2=4＜5＜9=3^2$，$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分$m=2$，小数部分$n=\sqrt{5}-2$
第二步：化简$\frac{1}{n}$
对$\frac{1}{n}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+2$：
$\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$
第三步：代入代数式计算
先计算括号内的部分：$m-\frac{1}{n}=2-(\sqrt{5}+2)=-\sqrt{5}$
再计算幂次：$(-\sqrt{5})^5=(-1)^5×(\sqrt{5})^5=-25\sqrt{5}$
最后计算整个式子：$m(m-\frac{1}{n})^5=2×(-25\sqrt{5})=-50\sqrt{5}$
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；分母有理化；二次根式运算
【点评】
本题核心是掌握无理数整数、小数部分的确定方法，结合二次根式化简运算求解，解题时需注意分母有理化的操作规范，以及负数奇次幂的符号特征，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，第一步先确定$\sqrt{5}$的整数部分$m$和小数部分$n$：先找到和5相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{5}$的取值范围即可得到$m$，再用$\sqrt{5}$减去整数部分得到小数部分$n$；第二步对$\frac{1}{n}$进行分母有理化，化简后代入代数式计算即可，计算过程中要注意符号处理和幂的运算规则。
【解析】
第一步：求$m$和$n$的值
$\because 2^2=4＜5＜9=3^2$，$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分$m=2$，小数部分$n=\sqrt{5}-2$
第二步：化简$\frac{1}{n}$
对$\frac{1}{n}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+2$：
$\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$
第三步：代入代数式计算
先计算括号内的部分：$m-\frac{1}{n}=2-(\sqrt{5}+2)=-\sqrt{5}$
再计算幂次：$(-\sqrt{5})^5=(-1)^5×(\sqrt{5})^5=-25\sqrt{5}$
最后计算整个式子：$m(m-\frac{1}{n})^5=2×(-25\sqrt{5})=-50\sqrt{5}$
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；分母有理化；二次根式运算
【点评】
本题核心是掌握无理数整数、小数部分的确定方法，结合二次根式化简运算求解，解题时需注意分母有理化的操作规范，以及负数奇次幂的符号特征，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
7 当a
＜0
时，$\frac{\sqrt{a^2}}{a}=-1$。答案
7.＜0
解析
【分析】
解题时首先要保证原式有意义：一是分式的分母不能为0，因此先确定$a≠0$；二是利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式化简，再结合绝对值的性质判断a的符号，即可得出结果。
【解析】
1. 确定原式有意义的条件：分式$\frac{\sqrt{a^2}}{a}$的分母不能为0，因此$a≠0$。
2. 化简原式：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，代入原式可得$\frac{|a|}{a}=-1$。
3. 分析等式求解a的范围：对$\frac{|a|}{a}=-1$变形可得$|a|=-a$，结合$a≠0$的前提，根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数），可知$a＜0$。
【答案】
＜0
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题时需先明确代数式有意义的前提，再结合相关性质推导，常见错误是忽略分母不为0的要求，或是化简$\sqrt{a^2}$时直接省略绝对值符号导致符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要保证原式有意义：一是分式的分母不能为0，因此先确定$a≠0$；二是利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式化简，再结合绝对值的性质判断a的符号，即可得出结果。
【解析】
1. 确定原式有意义的条件：分式$\frac{\sqrt{a^2}}{a}$的分母不能为0，因此$a≠0$。
2. 化简原式：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，代入原式可得$\frac{|a|}{a}=-1$。
3. 分析等式求解a的范围：对$\frac{|a|}{a}=-1$变形可得$|a|=-a$，结合$a≠0$的前提，根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数），可知$a＜0$。
【答案】
＜0
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题时需先明确代数式有意义的前提，再结合相关性质推导，常见错误是忽略分母不为0的要求，或是化简$\sqrt{a^2}$时直接省略绝对值符号导致符号判断错误。
【难度系数】
0.7
⑧ 等式$\sqrt{a^2 - 9} = \sqrt{a + 3} · \sqrt{a - 3}$成立的条件是
$a ≥ 3$
。答案
8.$a ≥ 3$
解析
【分析】
本题可根据二次根式乘法法则的成立条件求解。要使$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立，必须保证等式两边的所有二次根式都有意义，即每个二次根式的被开方数均为非负数。因此我们只需列出等式右侧两个二次根式的被开方数满足的不等式，解不等式组即可得到最终条件，且此时左侧二次根式的被开方数自然满足非负要求。
【解析】
要使等式$\sqrt{a^2 - 9} = \sqrt{a + 3} · \sqrt{a - 3}$成立，需保证等式右侧的两个二次根式有意义，即被开方数非负，据此列不等式组：
$\begin{cases}a+3≥0 \\a-3≥0\end{cases}$
解不等式$a+3≥0$，得$a≥-3$；
解不等式$a-3≥0$，得$a≥3$；
取两个解集的公共部分，得$a≥3$。
此时左侧$\sqrt{a^2-9}$的被开方数$a^2-9=(a+3)(a-3)≥0$，也满足有意义的条件，因此等式成立的条件为$a≥3$。
【答案】
$a≥3$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则 3.解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次根式的基础考点，解题关键是牢记二次根式乘法法则的适用前提，避免仅考虑左侧被开方数非负而得到错误解集，做题时要保证等式中所有出现的二次根式都有意义。
【难度系数】
0.8
本题可根据二次根式乘法法则的成立条件求解。要使$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立，必须保证等式两边的所有二次根式都有意义，即每个二次根式的被开方数均为非负数。因此我们只需列出等式右侧两个二次根式的被开方数满足的不等式，解不等式组即可得到最终条件，且此时左侧二次根式的被开方数自然满足非负要求。
【解析】
要使等式$\sqrt{a^2 - 9} = \sqrt{a + 3} · \sqrt{a - 3}$成立，需保证等式右侧的两个二次根式有意义，即被开方数非负，据此列不等式组：
$\begin{cases}a+3≥0 \\a-3≥0\end{cases}$
解不等式$a+3≥0$，得$a≥-3$；
解不等式$a-3≥0$，得$a≥3$；
取两个解集的公共部分，得$a≥3$。
此时左侧$\sqrt{a^2-9}$的被开方数$a^2-9=(a+3)(a-3)≥0$，也满足有意义的条件，因此等式成立的条件为$a≥3$。
【答案】
$a≥3$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则 3.解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次根式的基础考点，解题关键是牢记二次根式乘法法则的适用前提，避免仅考虑左侧被开方数非负而得到错误解集，做题时要保证等式中所有出现的二次根式都有意义。
【难度系数】
0.8
9 若$2 ＜ x ＜ 3$，则$\sqrt{(x - 2)^2} + |x - 3| = $
1
。答案
9.1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆两个核心化简规则：①二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可先将根号形式转化为绝对值形式；②绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来先统一形式为两个绝对值相加，再结合给定的$2＜x＜3$的取值范围，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可求出结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$，因此原式可改写为：
$|x-2|+|x-3|$
已知$2＜x＜3$：
1. 因为$x＞2$，所以$x-2＞0$，根据绝对值的性质，$|x-2|=x-2$；
2. 因为$x＜3$，所以$x-3＜0$，根据绝对值的性质，$|x-3|=-(x-3)=3-x$。
将化简后的结果代入原式计算：
$(x-2)+(3-x)=x-2+3-x=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查二次根式与绝对值的化简运算，解题核心是先将二次根式转化为绝对值，再结合取值范围判断绝对值内式子的正负，正确去绝对值后计算即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆两个核心化简规则：①二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可先将根号形式转化为绝对值形式；②绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来先统一形式为两个绝对值相加，再结合给定的$2＜x＜3$的取值范围，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可求出结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$，因此原式可改写为：
$|x-2|+|x-3|$
已知$2＜x＜3$：
1. 因为$x＞2$，所以$x-2＞0$，根据绝对值的性质，$|x-2|=x-2$；
2. 因为$x＜3$，所以$x-3＜0$，根据绝对值的性质，$|x-3|=-(x-3)=3-x$。
将化简后的结果代入原式计算：
$(x-2)+(3-x)=x-2+3-x=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查二次根式与绝对值的化简运算，解题核心是先将二次根式转化为绝对值，再结合取值范围判断绝对值内式子的正负，正确去绝对值后计算即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
⑩ 若 $ m ＜ 0 $，化简：$ 2n\sqrt{\dfrac{m}{n}} = $
$-2\sqrt{mn}$
。答案
10.$-2\sqrt{mn}$
解析
【分析】
要化简这个含二次根式的式子，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，结合已知$m＜0$，先判断出$n$的符号，这是保证化简过程符号正确的关键；接下来利用二次根式的性质，把根号内的分母化为平方形式后开方，开方时要注意$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合$n$的正负去绝对值，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：要使$\sqrt{\dfrac{m}{n}}$有意义，则$\dfrac{m}{n}≥0$，且分母$n≠0$。
已知$m＜0$，因此$n＜0$。
对原式化简：
$\begin{aligned}2n\sqrt{\dfrac{m}{n}}&=2n\sqrt{\dfrac{m· n}{n· n}}\\&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n^2}}\\&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}\end{aligned}$
因为$n＜0$，所以$|n|=-n$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{-n}\\&=-2\sqrt{mn}\end{aligned}$
【答案】
$-2\sqrt{mn}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题，易错点是忽略先判断字母$n$的符号，直接去根号导致符号出错，解题时需先根据二次根式的被开方数非负确定未知字母的取值范围，再结合绝对值的性质进行化简，确保结果符号正确。
【难度系数】
0.6
要化简这个含二次根式的式子，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，结合已知$m＜0$，先判断出$n$的符号，这是保证化简过程符号正确的关键；接下来利用二次根式的性质，把根号内的分母化为平方形式后开方，开方时要注意$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合$n$的正负去绝对值，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：要使$\sqrt{\dfrac{m}{n}}$有意义，则$\dfrac{m}{n}≥0$，且分母$n≠0$。
已知$m＜0$，因此$n＜0$。
对原式化简：
$\begin{aligned}2n\sqrt{\dfrac{m}{n}}&=2n\sqrt{\dfrac{m· n}{n· n}}\\&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{\sqrt{n^2}}\\&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}\end{aligned}$
因为$n＜0$，所以$|n|=-n$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&=2n·\dfrac{\sqrt{mn}}{-n}\\&=-2\sqrt{mn}\end{aligned}$
【答案】
$-2\sqrt{mn}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题，易错点是忽略先判断字母$n$的符号，直接去根号导致符号出错，解题时需先根据二次根式的被开方数非负确定未知字母的取值范围，再结合绝对值的性质进行化简，确保结果符号正确。
【难度系数】
0.6
11 计算：$\sqrt{18a} - \sqrt{\frac{1}{8}a} + 4\sqrt{0.5a} =$
$\dfrac{19\sqrt{2a}}{4}$
。答案
11.$\dfrac{19\sqrt{2a}}{4}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将原式中的每一个二次根式都化为最简二次根式，也就是把被开方数中能开得尽方的因数开出来，同时去掉被开方数中的分母；第二步识别出化简后被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
先分别化简每个二次根式：
1. 化简$\sqrt{18a}$：$\sqrt{18a}=\sqrt{9×2a}=3\sqrt{2a}$
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{8}a}$：$\sqrt{\frac{a}{8}}=\sqrt{\frac{2a}{16}}=\frac{\sqrt{2a}}{4}$
3. 化简$4\sqrt{0.5a}$：$4\sqrt{0.5a}=4\sqrt{\frac{a}{2}}=4\sqrt{\frac{2a}{4}}=4×\frac{\sqrt{2a}}{2}=2\sqrt{2a}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{2a}-\frac{1}{4}\sqrt{2a}+2\sqrt{2a}=(3-\frac{1}{4}+2)\sqrt{2a}=\frac{19}{4}\sqrt{2a}=\frac{19\sqrt{2a}}{4}$
【答案】
$\dfrac{19\sqrt{2a}}{4}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的常规基础题，核心是掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意系数的运算规则，避免化简或系数计算出错。
【难度系数】
0.75
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将原式中的每一个二次根式都化为最简二次根式，也就是把被开方数中能开得尽方的因数开出来，同时去掉被开方数中的分母；第二步识别出化简后被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可得到结果。
【解析】
先分别化简每个二次根式：
1. 化简$\sqrt{18a}$：$\sqrt{18a}=\sqrt{9×2a}=3\sqrt{2a}$
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{8}a}$：$\sqrt{\frac{a}{8}}=\sqrt{\frac{2a}{16}}=\frac{\sqrt{2a}}{4}$
3. 化简$4\sqrt{0.5a}$：$4\sqrt{0.5a}=4\sqrt{\frac{a}{2}}=4\sqrt{\frac{2a}{4}}=4×\frac{\sqrt{2a}}{2}=2\sqrt{2a}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{2a}-\frac{1}{4}\sqrt{2a}+2\sqrt{2a}=(3-\frac{1}{4}+2)\sqrt{2a}=\frac{19}{4}\sqrt{2a}=\frac{19\sqrt{2a}}{4}$
【答案】
$\dfrac{19\sqrt{2a}}{4}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的常规基础题，核心是掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意系数的运算规则，避免化简或系数计算出错。
【难度系数】
0.75
计算：$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.6
14 一个三角形的三边长分别为$\sqrt{8}$ cm、$\sqrt{12}$ cm、$\sqrt{18}$ cm，则它的周长是
$5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
cm。答案
14.$5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求三角形的周长，首先根据周长的定义，周长等于三角形三边长度之和，因此先列出三边相加的算式。接下来算式中的各项均为二次根式，按照二次根式加减的运算规则：第一步先将每个二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），非同类二次根式直接保留即可得到最终结果。
【解析】
解：三角形的周长为三边长之和，因此：
$\begin{aligned}周长&=\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{18}\\&=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}+3\sqrt{2})+2\sqrt{3}\\&=5\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
【知识点】
三角形周长计算、二次根式化简、二次根式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的加减运算，解题关键是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，掌握二次根式的化简和合并规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求三角形的周长，首先根据周长的定义，周长等于三角形三边长度之和，因此先列出三边相加的算式。接下来算式中的各项均为二次根式，按照二次根式加减的运算规则：第一步先将每个二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），非同类二次根式直接保留即可得到最终结果。
【解析】
解：三角形的周长为三边长之和，因此：
$\begin{aligned}周长&=\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{18}\\&=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}+3\sqrt{2})+2\sqrt{3}\\&=5\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
【知识点】
三角形周长计算、二次根式化简、二次根式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的加减运算，解题关键是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，掌握二次根式的化简和合并规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
15 当$a＜1$且$a≠0$时，$\dfrac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a} = $
$-\dfrac{1}{a}$
。答案
15.$-\dfrac{1}{a}$
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，根号内的多项式符合完全平方公式的形式，先利用完全平方公式对根号内的式子变形，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$去掉根号，结合题目给出的$a＜1$的条件判断绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号，再对分母因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
首先对根号内和分母分别变形：
1. 根号内：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，根据二次根式的性质，$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$；
2. 分母因式分解：$a^2-a=a(a-1)$。
因此原式可改写为：$\dfrac{|a-1|}{a(a-1)}$。
已知$a＜1$，所以$a-1＜0$，根据绝对值的性质，$|a-1|=-(a-1)$，代入上式得：
$\dfrac{-(a-1)}{a(a-1)}$
因为$a≠0$且$a≠1$，所以$a-1≠0$，可以约去分子分母的公因式$(a-1)$，最终得：$-\dfrac{1}{a}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
二次根式的性质，因式分解，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是忽略$a＜1$的取值范围，错误将$|a-1|$化简为$a-1$导致符号出错，解题时要注意结合字母的取值范围正确化简绝对值。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子结构，根号内的多项式符合完全平方公式的形式，先利用完全平方公式对根号内的式子变形，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$去掉根号，结合题目给出的$a＜1$的条件判断绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号，再对分母因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
首先对根号内和分母分别变形：
1. 根号内：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，根据二次根式的性质，$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$；
2. 分母因式分解：$a^2-a=a(a-1)$。
因此原式可改写为：$\dfrac{|a-1|}{a(a-1)}$。
已知$a＜1$，所以$a-1＜0$，根据绝对值的性质，$|a-1|=-(a-1)$，代入上式得：
$\dfrac{-(a-1)}{a(a-1)}$
因为$a≠0$且$a≠1$，所以$a-1≠0$，可以约去分子分母的公因式$(a-1)$，最终得：$-\dfrac{1}{a}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
二次根式的性质，因式分解，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是忽略$a＜1$的取值范围，错误将$|a-1|$化简为$a-1$导致符号出错，解题时要注意结合字母的取值范围正确化简绝对值。
【难度系数】
0.7
