登录
12 已知 $a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$，求 $a^2+ab+b^2$ 的值。
答案
$15$
解析
【分析】
首先观察到a、b的分母均含有二次根式，第一步需要先对a、b进行分母有理化，化简为最简形式；其次直接计算a²、b²的运算量较大，可利用完全平方公式将所求代数式$a^2+ab+b^2$变形为$(a+b)^2-ab$，只需要求出$a+b$和$ab$的值代入即可，能大幅简化计算，降低出错概率。
【解析】
1. 化简a、b：
利用平方差公式进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
2. 计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
3. 代入变形后的代数式计算：
由完全平方公式可得$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$，将$a+b=4$、$ab=1$代入：
原式$=4^2-1=16-1=15$
【答案】
$15$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常见题型，解题核心是先对二次根式化简，再结合整式乘法公式对所求代数式变形，避免直接代入计算的繁琐，这类题型能同时考察二次根式运算和整式公式的应用能力，需熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.7
首先观察到a、b的分母均含有二次根式，第一步需要先对a、b进行分母有理化，化简为最简形式；其次直接计算a²、b²的运算量较大，可利用完全平方公式将所求代数式$a^2+ab+b^2$变形为$(a+b)^2-ab$，只需要求出$a+b$和$ab$的值代入即可，能大幅简化计算，降低出错概率。
【解析】
1. 化简a、b：
利用平方差公式进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
2. 计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
3. 代入变形后的代数式计算：
由完全平方公式可得$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$，将$a+b=4$、$ab=1$代入：
原式$=4^2-1=16-1=15$
【答案】
$15$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常见题型，解题核心是先对二次根式化简，再结合整式乘法公式对所求代数式变形，避免直接代入计算的繁琐，这类题型能同时考察二次根式运算和整式公式的应用能力，需熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.7
13 已知$a+b=-2$，$ab=\dfrac{1}{2}$，求$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值。
答案
因为$a+b=-2＜0$，$ab=\dfrac{1}{2}＞0$，所以$a＜0$，$b＜0$。$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{a}-\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-\dfrac{(a+b)\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先要结合已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，再结合a+b＜0可确定a、b均为负数，这是正确化简二次根式的前提。接下来利用二次根式的性质，将待求式中的每个二次根式化简，注意负数的绝对值是它的相反数，避免出现符号错误。最后将化简后的式子通分整理，转化为含有a+b和ab的形式，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a+b=-2＜0$，$ab=\dfrac{1}{2}＞0$，
$\therefore a＜0$，$b＜0$，
$\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
$=\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}$
$=-\dfrac{\sqrt{ab}}{a}-\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
$=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
将$a+b=-2$，$ab=\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}}$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}×(-4)$
$=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略a、b的符号，直接将$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$化简为$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$导致无意义或符号错误，解题的核心是先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要结合已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，再结合a+b＜0可确定a、b均为负数，这是正确化简二次根式的前提。接下来利用二次根式的性质，将待求式中的每个二次根式化简，注意负数的绝对值是它的相反数，避免出现符号错误。最后将化简后的式子通分整理，转化为含有a+b和ab的形式，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a+b=-2＜0$，$ab=\dfrac{1}{2}＞0$，
$\therefore a＜0$，$b＜0$，
$\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
$=\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}$
$=-\dfrac{\sqrt{ab}}{a}-\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
$=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
将$a+b=-2$，$ab=\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}}$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}×(-4)$
$=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略a、b的符号，直接将$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$化简为$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$导致无意义或符号错误，解题的核心是先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简计算。
【难度系数】
0.6
14 阅读材料,解答下列问题:
已知$\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x} = 1$,求$\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x}$的值。
小云同学是这样解答的:
$(\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x})(\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x})$
$= (\sqrt{10 - x})^2 - (\sqrt{4 - x})^2$
$= 10 - x - 4 + x = 6$。
因为$\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x} = 1$,所以$\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x} = 6$。
问题:已知$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$。
(1) 求$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}$的值;
(2) 求$\sqrt{25 - x}$的值。
已知$\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x} = 1$,求$\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x}$的值。
小云同学是这样解答的:
$(\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x})(\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x})$
$= (\sqrt{10 - x})^2 - (\sqrt{4 - x})^2$
$= 10 - x - 4 + x = 6$。
因为$\sqrt{10 - x} - \sqrt{4 - x} = 1$,所以$\sqrt{10 - x} + \sqrt{4 - x} = 6$。
问题:已知$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$。
(1) 求$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}$的值;
(2) 求$\sqrt{25 - x}$的值。
答案
(1) $(\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x})(\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}) = (\sqrt{25 - x})^2 - (\sqrt{22 - x})^2 = 25 - x - 22 + x = 3$。因为$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$,所以$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x} = 1$；
(2) 设$\sqrt{25 - x}=a$，$\sqrt{22 - x}=b$，由(1)得：$\begin{cases}a - b = 1,\\a + b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1。\end{cases}$所以$\sqrt{25 - x}=2$。
(2) 设$\sqrt{25 - x}=a$，$\sqrt{22 - x}=b$，由(1)得：$\begin{cases}a - b = 1,\\a + b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1。\end{cases}$所以$\sqrt{25 - x}=2$。
解析
【分析】
（1）观察已知条件$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$和待求式$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}$的结构，发现两式相乘符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，先利用平方差公式计算两式的乘积，化简后可得到乘积为常数，再代入已知的和的值，即可求出待求的差的值；
（2）已经得到$\sqrt{25 - x}$与$\sqrt{22 - x}$的和与差，将两个根式看作两个未知数，联立两个等式，通过加减消元法即可求出$\sqrt{25 - x}$的值。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得：
$(\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x})(\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}) = (\sqrt{25 - x})^2 - (\sqrt{22 - x})^2$
化简得：$25 - x - (22 - x) = 25 - x -22 + x = 3$
已知$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$，代入上式可得：
$3×(\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}) = 3$
两边同时除以3，得$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x} = 1$。
(2) 设$\sqrt{25 - x}=a$，$\sqrt{22 - x}=b$，结合已知条件和(1)的结果可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 3\\a - b = 1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2a = 4$，解得$a=2$，即$\sqrt{25 - x}=2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是观察式子特征，灵活运用平方差公式简化二次根式的运算，第二问通过联立和与差的关系求解，方法典型，能很好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察已知条件$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$和待求式$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}$的结构，发现两式相乘符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，先利用平方差公式计算两式的乘积，化简后可得到乘积为常数，再代入已知的和的值，即可求出待求的差的值；
（2）已经得到$\sqrt{25 - x}$与$\sqrt{22 - x}$的和与差，将两个根式看作两个未知数，联立两个等式，通过加减消元法即可求出$\sqrt{25 - x}$的值。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得：
$(\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x})(\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}) = (\sqrt{25 - x})^2 - (\sqrt{22 - x})^2$
化简得：$25 - x - (22 - x) = 25 - x -22 + x = 3$
已知$\sqrt{25 - x} + \sqrt{22 - x} = 3$，代入上式可得：
$3×(\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x}) = 3$
两边同时除以3，得$\sqrt{25 - x} - \sqrt{22 - x} = 1$。
(2) 设$\sqrt{25 - x}=a$，$\sqrt{22 - x}=b$，结合已知条件和(1)的结果可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 3\\a - b = 1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2a = 4$，解得$a=2$，即$\sqrt{25 - x}=2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是观察式子特征，灵活运用平方差公式简化二次根式的运算，第二问通过联立和与差的关系求解，方法典型，能很好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
