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1 下列说法中,错误的是 (
A.二次函数 $y=3x^2$ 的图象有最低点
B.在二次函数 $y=-6x^2 -3$ 中,当 $x=0$ 时, $y$ 有最大值 $-3$
C.无论 $a$ 是正数还是负数,抛物线 $y=ax^2$ ($a≠0$)的顶点一定是坐标原点
D.在抛物线 $y=ax^2 +bx +c$ ($a≠0$)中,$a$ 越大,开口越小;$a$ 越小,开口越大
D
)A.二次函数 $y=3x^2$ 的图象有最低点
B.在二次函数 $y=-6x^2 -3$ 中,当 $x=0$ 时, $y$ 有最大值 $-3$
C.无论 $a$ 是正数还是负数,抛物线 $y=ax^2$ ($a≠0$)的顶点一定是坐标原点
D.在抛物线 $y=ax^2 +bx +c$ ($a≠0$)中,$a$ 越大,开口越小;$a$ 越小,开口越大
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数的图像与性质相关知识，解题思路是结合二次函数的开口方向、顶点坐标、最值、开口大小与系数a的关系这几个核心知识点，对每个选项逐一判断，找出表述错误的选项。首先回忆二次函数的基础性质：a的正负决定开口方向，顶点坐标可根据表达式推导，开口大小由|a|决定，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：二次函数$y=3x^2$中，$a=3＞0$，抛物线开口向上，因此图象有最低点，该说法正确。
B选项：二次函数$y=-6x^2-3$中，$a=-6＜0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,-3)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值$-3$，该说法正确。
C选项：抛物线$y=ax^2$（$a≠0$）的顶点坐标为$(0,0)$，无论$a$是正数还是负数，顶点都是坐标原点，该说法正确。
D选项：抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小，$|a|$越小开口越大，而非由$a$本身的大小决定（例如$a=-5＜a=1$，但$|-5|＞|1|$，$a=-5$对应的抛物线开口更小），因此该说法错误。
综上，错误的说法是D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数最值，抛物线开口与a的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对二次函数核心性质的掌握程度，解题的关键是明确抛物线开口大小是由a的绝对值决定的，避免混淆a的正负和大小对抛物线的影响。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的图像与性质相关知识，解题思路是结合二次函数的开口方向、顶点坐标、最值、开口大小与系数a的关系这几个核心知识点，对每个选项逐一判断，找出表述错误的选项。首先回忆二次函数的基础性质：a的正负决定开口方向，顶点坐标可根据表达式推导，开口大小由|a|决定，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：二次函数$y=3x^2$中，$a=3＞0$，抛物线开口向上，因此图象有最低点，该说法正确。
B选项：二次函数$y=-6x^2-3$中，$a=-6＜0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,-3)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值$-3$，该说法正确。
C选项：抛物线$y=ax^2$（$a≠0$）的顶点坐标为$(0,0)$，无论$a$是正数还是负数，顶点都是坐标原点，该说法正确。
D选项：抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小，$|a|$越小开口越大，而非由$a$本身的大小决定（例如$a=-5＜a=1$，但$|-5|＞|1|$，$a=-5$对应的抛物线开口更小），因此该说法错误。
综上，错误的说法是D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数最值，抛物线开口与a的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对二次函数核心性质的掌握程度，解题的关键是明确抛物线开口大小是由a的绝对值决定的，避免混淆a的正负和大小对抛物线的影响。
【难度系数】
0.8
2 [2024包头]将抛物线$y=x^2+2x$向下平移2个单位长度后，所得新抛物线对应函数的顶点式为（
A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
A
）A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先将原抛物线的一般式化为顶点式，再结合二次函数图象的平移规律求出平移后的顶点式。第一步先用配方法对原解析式变形，得到原抛物线的顶点式；第二步根据“向下平移纵坐标减”的平移规则，对顶点式的常数项做相应调整，即可得到新抛物线的顶点式。
【解析】
1. 将原抛物线$y=x^2+2x$用配方法化为顶点式：
$y=x^2+2x = x^2+2x+1 -1 = (x+1)^2 - 1$，可得原抛物线的顶点式为$y=(x+1)^2 -1$。
2. 根据二次函数图象平移规律“上加下减（针对常数项，向下平移则减平移的单位长度）”，将抛物线向下平移2个单位长度后，新抛物线的解析式为：
$y=(x+1)^2 -1 -2 = (x+1)^2 -3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的配方、二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，解题的关键是熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式的配方法，以及二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则，是对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先将原抛物线的一般式化为顶点式，再结合二次函数图象的平移规律求出平移后的顶点式。第一步先用配方法对原解析式变形，得到原抛物线的顶点式；第二步根据“向下平移纵坐标减”的平移规则，对顶点式的常数项做相应调整，即可得到新抛物线的顶点式。
【解析】
1. 将原抛物线$y=x^2+2x$用配方法化为顶点式：
$y=x^2+2x = x^2+2x+1 -1 = (x+1)^2 - 1$，可得原抛物线的顶点式为$y=(x+1)^2 -1$。
2. 根据二次函数图象平移规律“上加下减（针对常数项，向下平移则减平移的单位长度）”，将抛物线向下平移2个单位长度后，新抛物线的解析式为：
$y=(x+1)^2 -1 -2 = (x+1)^2 -3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的配方、二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，解题的关键是熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式的配方法，以及二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则，是对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
3 [2025河北期末]对于抛物线$y=5-(x-2)^2$，下列判断不正确的是（
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标是$(-2,5)$
D.当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小
C
）A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标是$(-2,5)$
D.当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先将所给抛物线解析式整理为标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再根据各参数的意义依次判断开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，找出不正确的选项即可。
【解析】
先将抛物线解析式整理为标准顶点式：$y=-(x-2)^2+5$，其中$a=-1$，$h=2$，$k=5$。
1. 判断选项A：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，A选项表述正确，不符合题意；
2. 判断选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，所以本题抛物线对称轴为直线$x=2$，B选项表述正确，不符合题意；
3. 判断选项C：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，所以本题抛物线顶点坐标为$(2,5)$，不是$(-2,5)$，C选项表述错误，符合题意；
4. 判断选项D：因为抛物线开口向下，且对称轴为$x=2$，所以在对称轴右侧即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞3$属于$x＞2$的范围，所以当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，D选项表述正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题属于基础题，侧重考查二次函数顶点式的核心性质，只要熟练掌握顶点式中$a、h、k$三个参数分别对应的开口方向、对称轴、顶点坐标的规律，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先将所给抛物线解析式整理为标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，再根据各参数的意义依次判断开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，找出不正确的选项即可。
【解析】
先将抛物线解析式整理为标准顶点式：$y=-(x-2)^2+5$，其中$a=-1$，$h=2$，$k=5$。
1. 判断选项A：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，A选项表述正确，不符合题意；
2. 判断选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，所以本题抛物线对称轴为直线$x=2$，B选项表述正确，不符合题意；
3. 判断选项C：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，所以本题抛物线顶点坐标为$(2,5)$，不是$(-2,5)$，C选项表述错误，符合题意；
4. 判断选项D：因为抛物线开口向下，且对称轴为$x=2$，所以在对称轴右侧即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞3$属于$x＞2$的范围，所以当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，D选项表述正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题属于基础题，侧重考查二次函数顶点式的核心性质，只要熟练掌握顶点式中$a、h、k$三个参数分别对应的开口方向、对称轴、顶点坐标的规律，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
4 [2025 南平期末]以矩形ABCD的一个顶点为原点，过这个点的两边所在的直线为坐标轴，规定向右、向上为正方向，建立平面直角坐标系画出二次函数$y=mx^2 + 2mx + 1(m≠0)$的大致图象如图所示，则这个平面直角坐标系的原点是（
A.A
B.B
C.C
D.D
C
）A.A
B.B
C.C
D.D
答案
C
解析
【分析】
解题时先从二次函数的基本性质入手：①由图象开口向上判断m的符号；②利用对称轴公式求出对称轴，明确对称轴与y轴的位置关系；③代入x=0求出抛物线与y轴的交点，再解方程得到抛物线与直线y=1的两个交点坐标；最后结合图象中A、D之间抛物线在AD下方的特征，判断出x轴、y轴的位置，即可确定原点。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质：
由二次函数图象开口向上，可得$m＞0$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=2m$，得对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2m}=-1$，即对称轴在y轴左侧，距离y轴1个单位长度。
当$x=0$时，代入函数得$y=1$，因此抛物线与y轴交于点$(0,1)$。
2. 求抛物线与直线$y=1$的交点：
令$y=1$，则$mx^2+2mx+1=1$，整理得$mx(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即抛物线与直线$y=1$交于$(-2,1)$和$(0,1)$两点。
3. 结合图象判断原点：
抛物线开口向上，因此在$-2＜x＜0$范围内，函数值$y＜1$，即抛物线在直线$y=1$下方，与图中A、D之间的抛物线位于线段AD下方的特征一致，说明AD所在直线为$y=1$，过D、C的竖线为$x=0$（y轴），过B、C的横线为$y=0$（x轴），x轴与y轴的交点为C，故原点是点C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的交点问题；平面直角坐标系的定义
【点评】
本题将二次函数性质和平面直角坐标系的概念结合考查，需要学生熟练掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的求解方法，能结合函数图象的特征判断坐标轴位置，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数的基本性质入手：①由图象开口向上判断m的符号；②利用对称轴公式求出对称轴，明确对称轴与y轴的位置关系；③代入x=0求出抛物线与y轴的交点，再解方程得到抛物线与直线y=1的两个交点坐标；最后结合图象中A、D之间抛物线在AD下方的特征，判断出x轴、y轴的位置，即可确定原点。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质：
由二次函数图象开口向上，可得$m＞0$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=2m$，得对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2m}=-1$，即对称轴在y轴左侧，距离y轴1个单位长度。
当$x=0$时，代入函数得$y=1$，因此抛物线与y轴交于点$(0,1)$。
2. 求抛物线与直线$y=1$的交点：
令$y=1$，则$mx^2+2mx+1=1$，整理得$mx(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即抛物线与直线$y=1$交于$(-2,1)$和$(0,1)$两点。
3. 结合图象判断原点：
抛物线开口向上，因此在$-2＜x＜0$范围内，函数值$y＜1$，即抛物线在直线$y=1$下方，与图中A、D之间的抛物线位于线段AD下方的特征一致，说明AD所在直线为$y=1$，过D、C的竖线为$x=0$（y轴），过B、C的横线为$y=0$（x轴），x轴与y轴的交点为C，故原点是点C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的交点问题；平面直角坐标系的定义
【点评】
本题将二次函数性质和平面直角坐标系的概念结合考查，需要学生熟练掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的求解方法，能结合函数图象的特征判断坐标轴位置，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的开口向下，对称轴为直线 $ x = -1 $，且经过点 $ (-3,0) $，则下列结论正确的是（
A.$ b＞0 $
B.$ c＜0 $
C.$ a+b+c＞0 $
D.$ 3a + c = 0 $
D
）A.$ b＞0 $
B.$ c＜0 $
C.$ a+b+c＞0 $
D.$ 3a + c = 0 $
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再利用对称轴公式推导b和a的数量关系，接着将已知的抛物线上的点代入解析式，结合b与a的关系推导c和a的关系，最后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
1. 判断a的符号：
抛物线开口向下，因此$a ＜ 0$。
2. 推导b与a的关系，判断A选项：
抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$。
因为$a＜0$，所以$b=2a＜0$，故A选项错误。
3. 代入已知点推导c与a的关系，判断D选项：
已知抛物线过点$(-3,0)$，将$x=-3,y=0$代入解析式$y=ax^2+bx+c$得：
$9a - 3b + c = 0$，将$b=2a$代入上式：
$9a - 3×2a + c = 3a + c = 0$，故D选项正确。
4. 判断B、C选项：
由$3a + c = 0$得$c=-3a$，因为$a＜0$，所以$c=-3a＞0$，故B选项错误；
抛物线关于对称轴$x=-1$对称，点$(-3,0)$关于$x=-1$的对称点为$(1,0)$，即当$x=1$时$y=0$，代入得$a + b + c = 0$，故C选项错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数对称轴公式；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数系数判断的常考基础题，解题核心是结合开口方向、对称轴、过定点等已知条件，推导各项系数的数量关系，也可利用抛物线的对称性快速找到x轴上的另一个交点，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再利用对称轴公式推导b和a的数量关系，接着将已知的抛物线上的点代入解析式，结合b与a的关系推导c和a的关系，最后逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
1. 判断a的符号：
抛物线开口向下，因此$a ＜ 0$。
2. 推导b与a的关系，判断A选项：
抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$。
因为$a＜0$，所以$b=2a＜0$，故A选项错误。
3. 代入已知点推导c与a的关系，判断D选项：
已知抛物线过点$(-3,0)$，将$x=-3,y=0$代入解析式$y=ax^2+bx+c$得：
$9a - 3b + c = 0$，将$b=2a$代入上式：
$9a - 3×2a + c = 3a + c = 0$，故D选项正确。
4. 判断B、C选项：
由$3a + c = 0$得$c=-3a$，因为$a＜0$，所以$c=-3a＞0$，故B选项错误；
抛物线关于对称轴$x=-1$对称，点$(-3,0)$关于$x=-1$的对称点为$(1,0)$，即当$x=1$时$y=0$，代入得$a + b + c = 0$，故C选项错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数对称轴公式；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数系数判断的常考基础题，解题核心是结合开口方向、对称轴、过定点等已知条件，推导各项系数的数量关系，也可利用抛物线的对称性快速找到x轴上的另一个交点，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
6 如图,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ (a,b,c为常数,且$a≠0$)的顶点坐标为 $P(1,m)$,且经过点 $A(2,1)$.有下列结论:① $a＜0$;② $abc＞0$;③ $4a+2b+c=1$;④ 当 $x＞1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小;⑤ 对于任意实数 $t$,总有 $at^2+bt≤a+b$.其中,正确的有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
解题时先从抛物线的图象特征入手：第一步根据开口方向判断a的符号，再结合对称轴公式推导b的符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c的符号，之后结合点A的坐标、二次函数的增减性、最值性质，逐个验证5个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
逐个判断结论：
1. 判断①：抛物线开口向下，因此$a＜0$，①正确。
2. 判断②：抛物线对称轴为$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$。已知$a＜0$，因此$b=-2a＞0$；又抛物线与y轴交点在正半轴，因此$c＞0$。则$abc=a× b× c$，负×正×正=负，即$abc＜0$，②错误。
3. 判断③：抛物线经过点$A(2,1)$，将$x=2$代入解析式得$y=4a+2b+c=1$，③正确。
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，④正确。
5. 判断⑤：抛物线顶点为$P(1,m)$，即$x=1$时函数取最大值，最大值为$a+b+c$，因此对任意实数$t$，都有$at^2+bt+c≤ a+b+c$，两边同时减去$c$得$at^2+bt≤ a+b$，⑤正确。
综上，正确的结论是①③④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用题，需要结合开口方向、对称轴、函数图象上点的坐标特征等知识点逐一验证结论，属于二次函数的经典考法，熟练掌握二次函数基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从抛物线的图象特征入手：第一步根据开口方向判断a的符号，再结合对称轴公式推导b的符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c的符号，之后结合点A的坐标、二次函数的增减性、最值性质，逐个验证5个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
逐个判断结论：
1. 判断①：抛物线开口向下，因此$a＜0$，①正确。
2. 判断②：抛物线对称轴为$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$。已知$a＜0$，因此$b=-2a＞0$；又抛物线与y轴交点在正半轴，因此$c＞0$。则$abc=a× b× c$，负×正×正=负，即$abc＜0$，②错误。
3. 判断③：抛物线经过点$A(2,1)$，将$x=2$代入解析式得$y=4a+2b+c=1$，③正确。
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，④正确。
5. 判断⑤：抛物线顶点为$P(1,m)$，即$x=1$时函数取最大值，最大值为$a+b+c$，因此对任意实数$t$，都有$at^2+bt+c≤ a+b+c$，两边同时减去$c$得$at^2+bt≤ a+b$，⑤正确。
综上，正确的结论是①③④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用题，需要结合开口方向、对称轴、函数图象上点的坐标特征等知识点逐一验证结论，属于二次函数的经典考法，熟练掌握二次函数基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7 已知函数$y=(a+3)x^{|a|-1}-3x+2$的图象是抛物线，则$a$的值为
3
答案
3
解析
【分析】
函数图象是抛物线说明该函数是二次函数，解题需紧扣二次函数的两个核心条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，避免漏掉隐含条件导致错解。我们先根据最高次数为2列方程求出a的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值即可得到结果。
【解析】
∵ 函数$y=(a+3)x^{|a|-1}-3x+2$的图象是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2：
$|a|-1=2$，
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$；
2. 二次项系数不为0：
$a+3≠0$，解得$a≠-3$。
综上可得，$a$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题主要考查二次函数的定义，解题时易忽略二次项系数不为0的隐含条件，从而错误得到$a=\pm3$的结果，求解这类问题时要格外注意对二次项系数的限制条件。
【难度系数】
0.7
函数图象是抛物线说明该函数是二次函数，解题需紧扣二次函数的两个核心条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，避免漏掉隐含条件导致错解。我们先根据最高次数为2列方程求出a的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值即可得到结果。
【解析】
∵ 函数$y=(a+3)x^{|a|-1}-3x+2$的图象是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2：
$|a|-1=2$，
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$；
2. 二次项系数不为0：
$a+3≠0$，解得$a≠-3$。
综上可得，$a$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题主要考查二次函数的定义，解题时易忽略二次项系数不为0的隐含条件，从而错误得到$a=\pm3$的结果，求解这类问题时要格外注意对二次项系数的限制条件。
【难度系数】
0.7
8 [2025广东]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以为
$y=-x^2+x+2$
（写出一个即可）。答案
答案不唯一,如$y=-x^2+x+2$
解析
【分析】
解题时先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的方程；再结合“函数不经过原点”的条件，可知当$x=0$时$y=c≠0$，因此可以对所得方程化简，得到$b$和$c$的数量关系；最后给$c$取任意一个不为0的数值，求出对应的$b$，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$
$\therefore$ 将$x=c$，$y=0$代入解析式得：
$0=-c^2 + b· c + c$
又$\because$ 函数图象不经过原点，
$\therefore$ 当$x=0$时，$y=c≠0$，
将等式$0=-c^2 + bc + c$两边同时除以$c$（$c≠0$），可得：
$0=-c + b + 1$，即$b = c - 1$
取$c=2$（$c≠0$即可），则$b=2-1=1$，代入解析式得$y=-x^2 + x + 2$。
【答案】
$y=-x^2+x+2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是根据已知条件推导得到$b$与$c$的数量关系，取值时注意避开$c=0$即可，整体解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的方程；再结合“函数不经过原点”的条件，可知当$x=0$时$y=c≠0$，因此可以对所得方程化简，得到$b$和$c$的数量关系；最后给$c$取任意一个不为0的数值，求出对应的$b$，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$
$\therefore$ 将$x=c$，$y=0$代入解析式得：
$0=-c^2 + b· c + c$
又$\because$ 函数图象不经过原点，
$\therefore$ 当$x=0$时，$y=c≠0$，
将等式$0=-c^2 + bc + c$两边同时除以$c$（$c≠0$），可得：
$0=-c + b + 1$，即$b = c - 1$
取$c=2$（$c≠0$即可），则$b=2-1=1$，代入解析式得$y=-x^2 + x + 2$。
【答案】
$y=-x^2+x+2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是根据已知条件推导得到$b$与$c$的数量关系，取值时注意避开$c=0$即可，整体解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
9 [2024牡丹江]将抛物线$y=ax^2+bx+3$向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线经过点$(-2,4)$，则$6a-3b-7=$
2
。答案
2
解析
【分析】
首先回忆二次函数图象的平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，先求出向下平移5个单位后的新抛物线解析式；再根据新抛物线过已知点，将点的坐标代入解析式得到关于a、b的关系式；最后观察所求代数式的结构，将得到的a、b关系式整体变形后代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=ax^2+bx+3$，向下平移5个单位长度，根据平移规律，常数项减5，可得新抛物线解析式为：
$y=ax^2+bx+3-5=ax^2+bx-2$
2. 代入点的坐标求a、b的关系式：
已知新抛物线经过点$(-2,4)$，将$x=-2$，$y=4$代入新解析式得：
$4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2$
化简得：$4=4a-2b-2$
移项整理得：$4a-2b=6$，两边同时除以2得：$2a - b=3$
3. 计算所求代数式的值：
观察$6a-3b-7$，可变形为$3(2a - b)-7$，将$2a - b=3$代入得：
$3×3 -7=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数图象上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题考查二次函数平移与代数式求值的结合，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律得出新解析式，再利用整体代入思想简化计算，避免单独求解a、b的值，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数图象的平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，先求出向下平移5个单位后的新抛物线解析式；再根据新抛物线过已知点，将点的坐标代入解析式得到关于a、b的关系式；最后观察所求代数式的结构，将得到的a、b关系式整体变形后代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=ax^2+bx+3$，向下平移5个单位长度，根据平移规律，常数项减5，可得新抛物线解析式为：
$y=ax^2+bx+3-5=ax^2+bx-2$
2. 代入点的坐标求a、b的关系式：
已知新抛物线经过点$(-2,4)$，将$x=-2$，$y=4$代入新解析式得：
$4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2$
化简得：$4=4a-2b-2$
移项整理得：$4a-2b=6$，两边同时除以2得：$2a - b=3$
3. 计算所求代数式的值：
观察$6a-3b-7$，可变形为$3(2a - b)-7$，将$2a - b=3$代入得：
$3×3 -7=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数图象上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题考查二次函数平移与代数式求值的结合，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律得出新解析式，再利用整体代入思想简化计算，避免单独求解a、b的值，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10 已知抛物线$y=ax^2 -2ax + b(a＜0)$上三个点的坐标分别为$A(3,y_1), B(\sqrt{2},y_2), C(-\dfrac{3}{2},y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_3＜y_1＜y_2$
（用“＜”连接）。答案
$y_3＜y_1＜y_2$
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先回忆二次函数的性质：对于开口方向确定的抛物线，其上的点到对称轴的距离越近，函数值越靠近最值。首先第一步先求出该抛物线的对称轴，第二步根据a＜0判断抛物线开口向下，此时离对称轴越近的点对应的y值越大，第三步分别计算三个点到对称轴的距离，最后根据距离大小就能推出y值的大小关系。
【解析】
解：对于抛物线$y=ax^2 -2ax + b$，
其对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
$\because a＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越近，对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$A(3,y_1)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$；
点$B(\sqrt{2},y_2)$到$x=1$的距离：$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\approx0.414$；
点$C(-\frac{3}{2},y_3)$到$x=1$的距离：$|-\frac{3}{2}-1|=2.5$。
$\because 2.5＞2＞\sqrt{2}-1$，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的常考基础题，解题核心是利用二次函数的对称性和增减性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，无需代入解析式计算即可快速得到结果，掌握该方法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先回忆二次函数的性质：对于开口方向确定的抛物线，其上的点到对称轴的距离越近，函数值越靠近最值。首先第一步先求出该抛物线的对称轴，第二步根据a＜0判断抛物线开口向下，此时离对称轴越近的点对应的y值越大，第三步分别计算三个点到对称轴的距离，最后根据距离大小就能推出y值的大小关系。
【解析】
解：对于抛物线$y=ax^2 -2ax + b$，
其对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
$\because a＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越近，对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$A(3,y_1)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$；
点$B(\sqrt{2},y_2)$到$x=1$的距离：$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\approx0.414$；
点$C(-\frac{3}{2},y_3)$到$x=1$的距离：$|-\frac{3}{2}-1|=2.5$。
$\because 2.5＞2＞\sqrt{2}-1$，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的常考基础题，解题核心是利用二次函数的对称性和增减性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，无需代入解析式计算即可快速得到结果，掌握该方法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
11 当$x ≥ m$时，函数$y=-(x-4)^2+2$和$y=-(x-3)^2+1$的函数值都随$x$值的增大而减小，则$m$的最小值为
4
。答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要掌握开口向下的二次函数的增减性规律：对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随x的增大而减小。我们可以先分别求出两个二次函数的对称轴，得到各自函数值随x增大而减小的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，即可得到满足两个函数都递减的x的范围，进而求出m的最小值。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$，当$x≥ h$时，$y$随$x$的增大而减小。
1. 对于函数$y=-(x-4)^2+2$：
二次项系数$a=-1＜0$，对称轴为直线$x=4$，因此当$x≥4$时，该函数的函数值随$x$的增大而减小。
2. 对于函数$y=-(x-3)^2+1$：
二次项系数$a=-1＜0$，对称轴为直线$x=3$，因此当$x≥3$时，该函数的函数值随$x$的增大而减小。
要使得$x≥ m$时，两个函数的函数值都随$x$的增大而减小，则$m$需要同时满足$m≥4$和$m≥3$，取两个范围的公共部分得$m≥4$，因此$m$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质；解集的公共部分
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，解题核心是先根据二次函数的性质分别求出两个函数的递减区间，再取公共区间确定m的取值范围，易错点是误取两个对称轴的较小值作为m的最小值。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要掌握开口向下的二次函数的增减性规律：对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随x的增大而减小。我们可以先分别求出两个二次函数的对称轴，得到各自函数值随x增大而减小的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，即可得到满足两个函数都递减的x的范围，进而求出m的最小值。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$，当$x≥ h$时，$y$随$x$的增大而减小。
1. 对于函数$y=-(x-4)^2+2$：
二次项系数$a=-1＜0$，对称轴为直线$x=4$，因此当$x≥4$时，该函数的函数值随$x$的增大而减小。
2. 对于函数$y=-(x-3)^2+1$：
二次项系数$a=-1＜0$，对称轴为直线$x=3$，因此当$x≥3$时，该函数的函数值随$x$的增大而减小。
要使得$x≥ m$时，两个函数的函数值都随$x$的增大而减小，则$m$需要同时满足$m≥4$和$m≥3$，取两个范围的公共部分得$m≥4$，因此$m$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质；解集的公共部分
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，解题核心是先根据二次函数的性质分别求出两个函数的递减区间，再取公共区间确定m的取值范围，易错点是误取两个对称轴的较小值作为m的最小值。
【难度系数】
0.7
12 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=a(x+1)^2+b$ 与 $y=a(x-2)^2+b+1$ 交于点 A.过点 A 作 y 轴的垂线,分别交两条抛物线于点 B,C(点 B 在点 A 的左侧,点 C 在点 A 的右侧),则线段 BC 的长为
6
.答案
6
解析
【分析】
解题时可利用二次函数的轴对称性简化计算：首先确定两条抛物线的对称轴，由于BC是垂直于y轴的直线，因此BC平行于x轴，直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，据此分别表示出线段AB、AC的长度，将两段长度相加即可得到BC的长，计算过程中点A的横坐标会被消去，无需额外求解点A的坐标。
【解析】
解：抛物线$y=a(x+1)^2+b$的对称轴为直线$x=-1$，抛物线$y=a(x-2)^2+b+1$的对称轴为直线$x=2$。
∵过点A作y轴的垂线交两条抛物线于B、C，
∴直线BC平行于x轴。
根据二次函数的轴对称性：
点B和点A关于直线$x=-1$对称，因此$AB=2×[x_A - (-1)]=2(x_A + 1)$；
点A和点C关于直线$x=2$对称，因此$AC=2×(2 - x_A)$。
∴$BC=AB+AC=2(x_A+1)+2(2-x_A)=2x_A+2+4-2x_A=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.二次函数的轴对称性
2.二次函数的顶点式
3.平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题巧妙利用二次函数的对称性求解，无需计算点A的具体坐标，也不需要求解参数a、b的值，通过线段和的关系即可消去未知量，解题时要注意观察图形特征，活用性质简化运算。
【难度系数】
0.6
解题时可利用二次函数的轴对称性简化计算：首先确定两条抛物线的对称轴，由于BC是垂直于y轴的直线，因此BC平行于x轴，直线与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，据此分别表示出线段AB、AC的长度，将两段长度相加即可得到BC的长，计算过程中点A的横坐标会被消去，无需额外求解点A的坐标。
【解析】
解：抛物线$y=a(x+1)^2+b$的对称轴为直线$x=-1$，抛物线$y=a(x-2)^2+b+1$的对称轴为直线$x=2$。
∵过点A作y轴的垂线交两条抛物线于B、C，
∴直线BC平行于x轴。
根据二次函数的轴对称性：
点B和点A关于直线$x=-1$对称，因此$AB=2×[x_A - (-1)]=2(x_A + 1)$；
点A和点C关于直线$x=2$对称，因此$AC=2×(2 - x_A)$。
∴$BC=AB+AC=2(x_A+1)+2(2-x_A)=2x_A+2+4-2x_A=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.二次函数的轴对称性
2.二次函数的顶点式
3.平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题巧妙利用二次函数的对称性求解，无需计算点A的具体坐标，也不需要求解参数a、b的值，通过线段和的关系即可消去未知量，解题时要注意观察图形特征，活用性质简化运算。
【难度系数】
0.6
