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三、解答题
13 已知二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10$.
（1）用配方法将它改写成 $y=a(x-h)^2+k$ 的形式；
（2）写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）画出其图象；
（4）写出其图象与二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象的关系.
13 已知二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10$.
（1）用配方法将它改写成 $y=a(x-h)^2+k$ 的形式；
（2）写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）画出其图象；
（4）写出其图象与二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象的关系.
答案
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10=-\dfrac{1}{2}(x^2-12x+36)+18-10=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+8$
(2) $\because -\dfrac{1}{2}＜0,\therefore$ 该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线$x=6$,顶点坐标为$(6,8)$
(3) 如图所示
(4) 将二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象向右平移6个单位长度,向上平移8个单位长度即可得到二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10$的图象
解析
【分析】
（1）用配方法改写二次函数时，首先提取二次项系数，将二次项、一次项放到括号内，再添加一次项系数一半的平方凑完全平方式，最后调整常数项即可得到顶点式；
（2）顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应数值判断即可；
（3）画二次函数图象时，先确定顶点，再选取对称轴两侧的对称点、与坐标轴的交点等，描点后用平滑曲线连接即可；
（4）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，对比两个函数的顶点坐标即可得到平移方式。
【解析】
（1）对函数配方如下：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-12x)-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-12x+36)+18-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+8\end{aligned}$
（2）$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,8)$。
（3）选取顶点$(6,8)$，以及$x=1,y=-4.5$、$x=2,y=0$、$x=4,y=6$、$x=8,y=6$等点，描点后用平滑曲线连接，图象如下：
（4）二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，目标函数顶点为$(6,8)$，因此将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10$的图象。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+8$
(2) 开口向下，对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,8)$
(3)
(4) 将二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象向右平移6个单位长度，向上平移8个单位长度即可得到该函数图象
【知识点】
二次函数配方法；二次函数的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，覆盖了配方法运算、图象性质、平移规律等核心基础知识点，熟练掌握本题的解题思路，能为后续二次函数的综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
（1）用配方法改写二次函数时，首先提取二次项系数，将二次项、一次项放到括号内，再添加一次项系数一半的平方凑完全平方式，最后调整常数项即可得到顶点式；
（2）顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应数值判断即可；
（3）画二次函数图象时，先确定顶点，再选取对称轴两侧的对称点、与坐标轴的交点等，描点后用平滑曲线连接即可；
（4）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，对比两个函数的顶点坐标即可得到平移方式。
【解析】
（1）对函数配方如下：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-12x)-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-12x+36)+18-10\\&=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+8\end{aligned}$
（2）$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,8)$。
（3）选取顶点$(6,8)$，以及$x=1,y=-4.5$、$x=2,y=0$、$x=4,y=6$、$x=8,y=6$等点，描点后用平滑曲线连接，图象如下：
（4）二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，目标函数顶点为$(6,8)$，因此将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-10$的图象。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2+8$
(2) 开口向下，对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,8)$
(3)
(4) 将二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象向右平移6个单位长度，向上平移8个单位长度即可得到该函数图象
【知识点】
二次函数配方法；二次函数的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础典型题，覆盖了配方法运算、图象性质、平移规律等核心基础知识点，熟练掌握本题的解题思路，能为后续二次函数的综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
14 如图，抛物线$y=-(x-2)^2+1$与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.
（1）试判断$△ AOC$与$△ COB$是否相似.
（2）若D是抛物线的顶点，$DH⊥ x$轴，垂足为H，试判断$Rt△ DHA$与$Rt△ COB$是否相似？请说明理由.
（1）试判断$△ AOC$与$△ COB$是否相似.
（2）若D是抛物线的顶点，$DH⊥ x$轴，垂足为H，试判断$Rt△ DHA$与$Rt△ COB$是否相似？请说明理由.
答案
(1) 在$y=-(x-2)^2+1$中,令$x=0$,则$y=-3$;令$y=0$,即$-(x-2)^2+1=0$,解得$x=1$或$x=3$. $\therefore A(1,0),B(3,0),C(0,-3). \therefore OA=1,OC=3,OB=3. \because \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{1}{3},\dfrac{OC}{OB}=1$,$\therefore \dfrac{OA}{OC}≠\dfrac{OC}{OB}. \therefore △AOC$与$△COB$不相似
(2) $Rt△DHA ∽ Rt△COB$ 理由:$\because D$是抛物线的顶点,$\therefore D(2,1). \because DH⊥x$轴,$\therefore DH=1,AH=1,∠AHD=90°. \because B(3,0),C(0,-3)$,$\therefore OC=OB=3,∠COB=90°. \therefore \dfrac{DH}{CO}=\dfrac{AH}{BO}=\dfrac{1}{3},∠AHD=∠BOC=90°. \therefore Rt△DHA ∽ Rt△COB.$
(2) $Rt△DHA ∽ Rt△COB$ 理由:$\because D$是抛物线的顶点,$\therefore D(2,1). \because DH⊥x$轴,$\therefore DH=1,AH=1,∠AHD=90°. \because B(3,0),C(0,-3)$,$\therefore OC=OB=3,∠COB=90°. \therefore \dfrac{DH}{CO}=\dfrac{AH}{BO}=\dfrac{1}{3},∠AHD=∠BOC=90°. \therefore Rt△DHA ∽ Rt△COB.$
解析
【分析】
要判断三角形是否相似，首先需求出各相关点的坐标，得到对应边的长度，结合题中三角形均为直角三角形的特点，只需验证直角边的比值是否相等即可。对于（1），先求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标，得到OA、OC、OB的长度，计算两组直角边的比值，判断是否相等；对于（2），先求出抛物线顶点D的坐标，得到Rt△DHA的两条直角边长度，再和Rt△COB的直角边比较比值，结合直角相等即可判断是否相似。
【解析】
（1）在抛物线$y=-(x-2)^2+1$中：
令$y=0$，即$-(x-2)^2+1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(1,0)$，$B(3,0)$，
令$x=0$，得$y=-(0-2)^2+1=-3$，
∴$C(0,-3)$，
∴$OA=1$，$OC=3$，$OB=3$，
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$，$\frac{OC}{OB}=\frac{3}{3}=1$，$\frac{1}{3}≠1$，
∴$\frac{OA}{OC}≠\frac{OC}{OB}$，又$∠AOC=∠COB=90°$，
∴$△ AOC$与$△ COB$不相似。
（2）$Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$，理由如下：
∵抛物线的解析式为顶点式$y=-(x-2)^2+1$，
∴顶点D的坐标为$(2,1)$，
∵$DH⊥x$轴，垂足为H，
∴$H(2,0)$，
∴$DH=1$，$AH=2-1=1$，$∠AHD=90°$，
由（1）知$OC=OB=3$，$∠COB=90°$，
∴$\frac{DH}{CO}=\frac{1}{3}$，$\frac{AH}{BO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DH}{CO}=\frac{AH}{BO}$，又$∠AHD=∠BOC=90°$，
∴$Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$。
【答案】
(1) $△ AOC$与$△ COB$不相似；
(2) $Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$，理由见解析。
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；相似三角形的判定；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数与相似三角形的基础综合题，解题的关键是先根据二次函数的性质准确求出各对应点的坐标，得到相关线段的长度，再结合相似三角形的判定定理进行验证，考查了基础的坐标运算和相似判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断三角形是否相似，首先需求出各相关点的坐标，得到对应边的长度，结合题中三角形均为直角三角形的特点，只需验证直角边的比值是否相等即可。对于（1），先求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标，得到OA、OC、OB的长度，计算两组直角边的比值，判断是否相等；对于（2），先求出抛物线顶点D的坐标，得到Rt△DHA的两条直角边长度，再和Rt△COB的直角边比较比值，结合直角相等即可判断是否相似。
【解析】
（1）在抛物线$y=-(x-2)^2+1$中：
令$y=0$，即$-(x-2)^2+1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(1,0)$，$B(3,0)$，
令$x=0$，得$y=-(0-2)^2+1=-3$，
∴$C(0,-3)$，
∴$OA=1$，$OC=3$，$OB=3$，
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$，$\frac{OC}{OB}=\frac{3}{3}=1$，$\frac{1}{3}≠1$，
∴$\frac{OA}{OC}≠\frac{OC}{OB}$，又$∠AOC=∠COB=90°$，
∴$△ AOC$与$△ COB$不相似。
（2）$Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$，理由如下：
∵抛物线的解析式为顶点式$y=-(x-2)^2+1$，
∴顶点D的坐标为$(2,1)$，
∵$DH⊥x$轴，垂足为H，
∴$H(2,0)$，
∴$DH=1$，$AH=2-1=1$，$∠AHD=90°$，
由（1）知$OC=OB=3$，$∠COB=90°$，
∴$\frac{DH}{CO}=\frac{1}{3}$，$\frac{AH}{BO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DH}{CO}=\frac{AH}{BO}$，又$∠AHD=∠BOC=90°$，
∴$Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$。
【答案】
(1) $△ AOC$与$△ COB$不相似；
(2) $Rt△ DHA ∽ Rt△ COB$，理由见解析。
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；相似三角形的判定；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数与相似三角形的基础综合题，解题的关键是先根据二次函数的性质准确求出各对应点的坐标，得到相关线段的长度，再结合相似三角形的判定定理进行验证，考查了基础的坐标运算和相似判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
15 [2025 杭州钱塘期末]已知抛物线$y=ax^2+2ax-3(a≠0)$.
(1) 若该抛物线经过点$(1,0)$,求抛物线的顶点坐标;
(2) 若$a＜0$,点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上,且$y_1＜y_2$,求$m$的取值范围;
(3) 若点$P(x_1,p),Q(1,q),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上,且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立,求证:$pq≤12$.
(1) 若该抛物线经过点$(1,0)$,求抛物线的顶点坐标;
(2) 若$a＜0$,点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上,且$y_1＜y_2$,求$m$的取值范围;
(3) 若点$P(x_1,p),Q(1,q),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上,且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立,求证:$pq≤12$.
答案
(1) $\because$ 抛物线$y=ax^2+2ax-3(a≠0)$过点$(1,0),\therefore a+2a-3=0$,解得$a=1. \therefore y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4. \therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$
(2) $\because a＜0,\therefore$ 抛物线开口向下.$\therefore$ 抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小. 由题意可知,抛物线的对称轴是直线$x=-1$,$\because$ 点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上,且$y_1＜y_2$,$\therefore |-3+1|＞|m+1|. \therefore -3＜m＜1$
(3) $\because$ 点$P(x_1,p),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上,且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立,$\therefore$ 当$x=x_1$时,函数取最大值为$p. \because$ 对称轴是直线$x=-1$,$\therefore$ 当$x=x_1=-1$时,$p=-a-3$. 又$\because$ 当$x=1$时,$y=q=3a-3$,$\therefore pq=(3a-3)(-a-3)=-3a^2-9a+3a+9=-3a^2-6a+9=-3(a+1)^2+12≤12. \therefore pq≤12$
(2) $\because a＜0,\therefore$ 抛物线开口向下.$\therefore$ 抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小. 由题意可知,抛物线的对称轴是直线$x=-1$,$\because$ 点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上,且$y_1＜y_2$,$\therefore |-3+1|＞|m+1|. \therefore -3＜m＜1$
(3) $\because$ 点$P(x_1,p),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上,且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立,$\therefore$ 当$x=x_1$时,函数取最大值为$p. \because$ 对称轴是直线$x=-1$,$\therefore$ 当$x=x_1=-1$时,$p=-a-3$. 又$\because$ 当$x=1$时,$y=q=3a-3$,$\therefore pq=(3a-3)(-a-3)=-3a^2-9a+3a+9=-3a^2-6a+9=-3(a+1)^2+12≤12. \therefore pq≤12$
解析
【分析】
(1) 要求抛物线的顶点坐标，首先需确定参数a的取值：将已知点$(1,0)$代入抛物线解析式即可求出a，再将一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 当$a＜0$时抛物线开口向下，其性质为：抛物线上的点距离对称轴越远，纵坐标越小。首先求出抛物线的对称轴，再结合$y_1＜y_2$的条件，可得点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，列绝对值不等式求解即可得到m的取值范围。
(3) 已知对任意$x_0$都有$y_0≤p$，说明p是抛物线的最大值，只有开口向下的抛物线存在最大值，且最大值在顶点处取得，因此点P为抛物线顶点。分别写出p、q的表达式，计算pq后通过配方法化为顶点式，即可得到pq的最大值为12，完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=ax^2+2ax-3(a≠0)$过点$(1,0)$，
$\therefore a+2a-3=0$，解得$a=1$，
$\therefore y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$。
(2) $\because a＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小。
由抛物线解析式可得对称轴是直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，
$\because$ 点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上，且$y_1＜y_2$，
$\therefore |-3 - (-1)|＞|m - (-1)|$，即$2＞|m+1|$，
解得$-3＜m＜1$。
(3) $\because$ 点$P(x_1,p),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上，且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立，
$\therefore$ 当$x=x_1$时，函数取最大值为$p$，即点P为抛物线顶点，
$\because$ 抛物线对称轴是直线$x=-1$，
$\therefore x_1=-1$，代入解析式得$p=a×(-1)^2+2a×(-1)-3=-a-3$，
又$\because$ 当$x=1$时，$y=q=a×1^2+2a×1-3=3a-3$，
$\therefore pq=(3a-3)(-a-3)=-3a^2-9a+3a+9=-3a^2-6a+9=-3(a+1)^2+12$，
$\because -3(a+1)^2≤0$，
$\therefore -3(a+1)^2+12≤12$，即$pq≤12$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-4)}$；
(2) $\boldsymbol{-3＜m＜1}$；
(3) 证明成立，$pq≤12$。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用
【点评】
本题围绕二次函数核心知识点分层设置问题，从基础的参数求解、顶点坐标计算，到利用增减性求参数范围，再到最值的综合应用，梯度设置合理，既考查了基础概念的掌握程度，也检验了代数变形、逻辑推导的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求抛物线的顶点坐标，首先需确定参数a的取值：将已知点$(1,0)$代入抛物线解析式即可求出a，再将一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 当$a＜0$时抛物线开口向下，其性质为：抛物线上的点距离对称轴越远，纵坐标越小。首先求出抛物线的对称轴，再结合$y_1＜y_2$的条件，可得点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，列绝对值不等式求解即可得到m的取值范围。
(3) 已知对任意$x_0$都有$y_0≤p$，说明p是抛物线的最大值，只有开口向下的抛物线存在最大值，且最大值在顶点处取得，因此点P为抛物线顶点。分别写出p、q的表达式，计算pq后通过配方法化为顶点式，即可得到pq的最大值为12，完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=ax^2+2ax-3(a≠0)$过点$(1,0)$，
$\therefore a+2a-3=0$，解得$a=1$，
$\therefore y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$。
(2) $\because a＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小。
由抛物线解析式可得对称轴是直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，
$\because$ 点$A(-3,y_1),B(m,y_2)$在该抛物线上，且$y_1＜y_2$，
$\therefore |-3 - (-1)|＞|m - (-1)|$，即$2＞|m+1|$，
解得$-3＜m＜1$。
(3) $\because$ 点$P(x_1,p),M(x_0,y_0)$均在该抛物线上，且对于任意$x_0,y_0≤p$始终成立，
$\therefore$ 当$x=x_1$时，函数取最大值为$p$，即点P为抛物线顶点，
$\because$ 抛物线对称轴是直线$x=-1$，
$\therefore x_1=-1$，代入解析式得$p=a×(-1)^2+2a×(-1)-3=-a-3$，
又$\because$ 当$x=1$时，$y=q=a×1^2+2a×1-3=3a-3$，
$\therefore pq=(3a-3)(-a-3)=-3a^2-9a+3a+9=-3a^2-6a+9=-3(a+1)^2+12$，
$\because -3(a+1)^2≤0$，
$\therefore -3(a+1)^2+12≤12$，即$pq≤12$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-4)}$；
(2) $\boldsymbol{-3＜m＜1}$；
(3) 证明成立，$pq≤12$。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用
【点评】
本题围绕二次函数核心知识点分层设置问题，从基础的参数求解、顶点坐标计算，到利用增减性求参数范围，再到最值的综合应用，梯度设置合理，既考查了基础概念的掌握程度，也检验了代数变形、逻辑推导的能力。
【难度系数】
0.6
16 如图,点$P(a,3)$在抛物线$C:y=4-(6-x)^2$上,且在抛物线$C$的对称轴右侧.
(1) 写出抛物线$C$的对称轴和$y$的最大值,并求出$a$的值.
(2) 在坐标平面上放置一块透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及抛物线$C$的一段,分别记为点$P'$,抛物线$C'$.平移该胶片,使抛物线$C'$对应的函数表达式为$y=-x^2+6x-9$.求点$P'$平移的最短路程.
(1) 写出抛物线$C$的对称轴和$y$的最大值,并求出$a$的值.
(2) 在坐标平面上放置一块透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及抛物线$C$的一段,分别记为点$P'$,抛物线$C'$.平移该胶片,使抛物线$C'$对应的函数表达式为$y=-x^2+6x-9$.求点$P'$平移的最短路程.
答案
(1) $\because$ 抛物线$C:y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$,$\therefore$ 抛物线$C$的顶点坐标为$(6,4). \therefore$ 抛物线$C$的对称轴为直线$x=6$,$y$的最大值为4. 当$y=3$时,$3=-(x-6)^2+4$,解得$x_1=5$,$x_2=7. \because$ 点$P$在抛物线$C$的对称轴右侧,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(7,3). \therefore a=7$
(2) $\because$ 平移后抛物线$C'$对应的函数表达式为$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$,$\therefore$ 平移后抛物线$C'$的顶点坐标为$(3,0). \because$ 平移前抛物线$C$的顶点坐标为$(6,4)$,$\therefore$ 点$P'$平移的最短路程为$\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5$
(2) $\because$ 平移后抛物线$C'$对应的函数表达式为$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$,$\therefore$ 平移后抛物线$C'$的顶点坐标为$(3,0). \because$ 平移前抛物线$C$的顶点坐标为$(6,4)$,$\therefore$ 点$P'$平移的最短路程为$\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5$
解析
【分析】
(1) 首先将抛物线C的解析式整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的性质可直接得到对称轴和函数最值；再将点P的纵坐标代入解析式求出x的两个解，结合点P在对称轴右侧的条件筛选出符合要求的x值，即为a的值。
(2) 抛物线平移时，图象上所有点的平移方向和距离都与顶点的平移完全一致，因此先将平移后的抛物线C'的解析式整理为顶点式，得到平移前后两个抛物线的顶点坐标，两个顶点之间的距离就是点P'平移的最短路程，用两点间距离公式计算即可。
【解析】
(1) 对抛物线C的解析式变形：
$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$
可得抛物线C的顶点坐标为$(6,4)$，因此抛物线C的对称轴为直线$x=6$；
由于抛物线开口向下，顶点纵坐标即为y的最大值，即y的最大值为4。
将$y=3$代入$y=-(x-6)^2+4$，得：
$3=-(x-6)^2+4$
整理得$(x-6)^2=1$，解得$x_1=5$，$x_2=7$
已知点P在对称轴$x=6$右侧，因此$x=7$，即$a=7$。
(2) 对平移后抛物线C'的解析式变形：
$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$
可得平移后抛物线的顶点坐标为$(3,0)$
抛物线平移时所有点的平移规律与顶点一致，因此点P'平移的最短路程为两个顶点的距离：
$d=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$
【答案】
(1) 抛物线C的对称轴为直线$x=6$，y的最大值为4，$a=7$；
(2) 点P'平移的最短路程为$\boxed{5}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象的平移，两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数基础应用的典型题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确抛物线平移时所有点的平移规律与顶点完全一致，整体考查内容基础，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 首先将抛物线C的解析式整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的性质可直接得到对称轴和函数最值；再将点P的纵坐标代入解析式求出x的两个解，结合点P在对称轴右侧的条件筛选出符合要求的x值，即为a的值。
(2) 抛物线平移时，图象上所有点的平移方向和距离都与顶点的平移完全一致，因此先将平移后的抛物线C'的解析式整理为顶点式，得到平移前后两个抛物线的顶点坐标，两个顶点之间的距离就是点P'平移的最短路程，用两点间距离公式计算即可。
【解析】
(1) 对抛物线C的解析式变形：
$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$
可得抛物线C的顶点坐标为$(6,4)$，因此抛物线C的对称轴为直线$x=6$；
由于抛物线开口向下，顶点纵坐标即为y的最大值，即y的最大值为4。
将$y=3$代入$y=-(x-6)^2+4$，得：
$3=-(x-6)^2+4$
整理得$(x-6)^2=1$，解得$x_1=5$，$x_2=7$
已知点P在对称轴$x=6$右侧，因此$x=7$，即$a=7$。
(2) 对平移后抛物线C'的解析式变形：
$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$
可得平移后抛物线的顶点坐标为$(3,0)$
抛物线平移时所有点的平移规律与顶点一致，因此点P'平移的最短路程为两个顶点的距离：
$d=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$
【答案】
(1) 抛物线C的对称轴为直线$x=6$，y的最大值为4，$a=7$；
(2) 点P'平移的最短路程为$\boxed{5}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象的平移，两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数基础应用的典型题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确抛物线平移时所有点的平移规律与顶点完全一致，整体考查内容基础，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
