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11 已知二次函数$y=-x^2+x+6$，将该二次函数在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图），当直线$y=m$与新图象有4个交点时，$m$的取值范围是
$-\frac{25}{4}＜m＜0$
。答案
11. $-\frac{25}{4}＜m＜0$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求出原二次函数与x轴的交点坐标、顶点坐标，明确原函数x轴上方和下方的区间；第二步分析翻折后新图象的构成：x≤-2和x≥3的区域保留原函数的下方图象，-2＜x＜3的区域为原上方图象翻折到下方的部分，翻折后该部分的顶点纵坐标为原顶点纵坐标的相反数；第三步结合图象判断：要使直线y=m和新图象有4个交点，直线需位于翻折后中间部分的顶点上方，同时在x轴下方，由此可得m的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数与x轴的交点
令$y=0$，得$-x^2+x+6=0$，整理为$x^2-x-6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$，即原函数与x轴交于$(-2,0)$、$(3,0)$两点。
2. 求原二次函数的顶点坐标
对原函数配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+x+6\\&=-(x^2-x)+6\\&=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}\end{aligned}$
因此原函数顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。
3. 分析翻折后图象的特征
将x轴上方的图象沿x轴翻折后：
$x≤-2$或$x≥3$的区域保留原函数图象，均在x轴下方；
$-2＜x＜3$的区域为翻折后的图象，解析式为$y=x^2-x-6$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$，同样在x轴下方。
4. 确定m的取值范围
若直线$y=m$与新图象有4个交点：
当$m≥0$时，新图象无x轴上方的部分，交点数≤2，不符合要求，故$m＜0$；
当$m≤-\frac{25}{4}$时，直线与翻折后的中间部分最多1个交点，总交点数≤3，不符合要求，故$m＞-\frac{25}{4}$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
$-\frac{25}{4}＜m＜0$
【知识点】
二次函数图象变换、函数交点问题、二次函数的性质
【点评】
本题结合二次函数的翻折变换考查交点个数的参数判断，核心是掌握翻折前后图象的对应关系，通过数形结合的思想分析不同m取值下的交点数量，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先求出原二次函数与x轴的交点坐标、顶点坐标，明确原函数x轴上方和下方的区间；第二步分析翻折后新图象的构成：x≤-2和x≥3的区域保留原函数的下方图象，-2＜x＜3的区域为原上方图象翻折到下方的部分，翻折后该部分的顶点纵坐标为原顶点纵坐标的相反数；第三步结合图象判断：要使直线y=m和新图象有4个交点，直线需位于翻折后中间部分的顶点上方，同时在x轴下方，由此可得m的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数与x轴的交点
令$y=0$，得$-x^2+x+6=0$，整理为$x^2-x-6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=3$，即原函数与x轴交于$(-2,0)$、$(3,0)$两点。
2. 求原二次函数的顶点坐标
对原函数配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+x+6\\&=-(x^2-x)+6\\&=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}\end{aligned}$
因此原函数顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。
3. 分析翻折后图象的特征
将x轴上方的图象沿x轴翻折后：
$x≤-2$或$x≥3$的区域保留原函数图象，均在x轴下方；
$-2＜x＜3$的区域为翻折后的图象，解析式为$y=x^2-x-6$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$，同样在x轴下方。
4. 确定m的取值范围
若直线$y=m$与新图象有4个交点：
当$m≥0$时，新图象无x轴上方的部分，交点数≤2，不符合要求，故$m＜0$；
当$m≤-\frac{25}{4}$时，直线与翻折后的中间部分最多1个交点，总交点数≤3，不符合要求，故$m＞-\frac{25}{4}$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
$-\frac{25}{4}＜m＜0$
【知识点】
二次函数图象变换、函数交点问题、二次函数的性质
【点评】
本题结合二次函数的翻折变换考查交点个数的参数判断，核心是掌握翻折前后图象的对应关系，通过数形结合的思想分析不同m取值下的交点数量，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.65
12 将抛物线 $y=2(x-1)^2 + 3$ 分别作下列变换，求得到的新抛物线对应的函数表达式.
（1）将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度；
（2）顶点不动，新抛物线与原抛物线的开口大小相同，方向相反；
（3）以 $x$ 轴为对称轴，将原抛物线作轴对称变换.
（1）将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度；
（2）顶点不动，新抛物线与原抛物线的开口大小相同，方向相反；
（3）以 $x$ 轴为对称轴，将原抛物线作轴对称变换.
答案
12. 由题意,得抛物线$y=2(x-1)^2+3$的顶点坐标为$(1,3)$.
(1) 将原抛物线先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到的新抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$,而开口方向和大小不变,$\therefore a=2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=2(x+1)^2=2x^2+4x+2$
(2) $\because$ 顶点不动,开口大小相同,方向相反,$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标为$(1,3)$,$a=-2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+3=-2x^2+4x+1$
(3) $\because$ 新抛物线的顶点与原抛物线的顶点$(1,3)$关于$x$轴对称,$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标为$(1,-3)$.由题意,得新抛物线与原抛物线开口大小相同,方向相反,$\therefore a=-2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-1)^2-3=-2x^2+4x-5$
(1) 将原抛物线先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到的新抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$,而开口方向和大小不变,$\therefore a=2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=2(x+1)^2=2x^2+4x+2$
(2) $\because$ 顶点不动,开口大小相同,方向相反,$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标为$(1,3)$,$a=-2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-1)^2+3=-2x^2+4x+1$
(3) $\because$ 新抛物线的顶点与原抛物线的顶点$(1,3)$关于$x$轴对称,$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标为$(1,-3)$.由题意,得新抛物线与原抛物线开口大小相同,方向相反,$\therefore a=-2$.$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-1)^2-3=-2x^2+4x-5$
解析
【分析】
解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向和大小，顶点坐标为$(h,k)$。首先求出原抛物线的顶点坐标和$a$的值，再对应不同变换规则求解：
1. 平移变换遵循“左加右减、上加下减”的规律，平移不改变开口方向和大小，即$a$不变，只需按规则调整顶点坐标即可；
2. 顶点不动、开口反向的变换，只需将$a$取原数的相反数，顶点坐标保持不变；
3. 关于$x$轴对称的变换，对称后的顶点与原顶点横坐标相同、纵坐标互为相反数，且开口方向反向，即$a$取相反数，再代入顶点式即可得到新表达式。
【解析】
由原抛物线$y=2(x-1)^2+3$，可得其顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=2$。
(1) 向左平移2个单位，顶点横坐标变为$1-2=-1$；向下平移3个单位，顶点纵坐标变为$3-3=0$，即新顶点为$(-1,0)$。平移不改变开口方向和大小，故$a=2$，代入顶点式得：
$y=2(x+1)^2$，展开为一般式为$y=2x^2+4x+2$。
(2) 顶点不动仍为$(1,3)$，开口大小相同、方向相反，故$a=-2$，代入顶点式得：
$y=-2(x-1)^2+3$，展开为一般式为$y=-2x^2+4x+1$。
(3) 关于$x$轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，故新顶点为$(1,-3)$，对称后开口方向反向，故$a=-2$，代入顶点式得：
$y=-2(x-1)^2-3$，展开为一般式为$y=-2x^2+4x-5$。
【答案】
(1) $y=2(x+1)^2$（或$y=2x^2+4x+2$）；
(2) $y=-2(x-1)^2+3$（或$y=-2x^2+4x+1$）；
(3) $y=-2(x-1)^2-3$（或$y=-2x^2+4x-5$）。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移规律，轴对称坐标变换
【点评】
本题考查二次函数图象的常见变换，核心是掌握顶点式中$a$、$h$、$k$的几何意义，结合平移、轴对称的变换规则调整对应参数即可快速解题，属于二次函数基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向和大小，顶点坐标为$(h,k)$。首先求出原抛物线的顶点坐标和$a$的值，再对应不同变换规则求解：
1. 平移变换遵循“左加右减、上加下减”的规律，平移不改变开口方向和大小，即$a$不变，只需按规则调整顶点坐标即可；
2. 顶点不动、开口反向的变换，只需将$a$取原数的相反数，顶点坐标保持不变；
3. 关于$x$轴对称的变换，对称后的顶点与原顶点横坐标相同、纵坐标互为相反数，且开口方向反向，即$a$取相反数，再代入顶点式即可得到新表达式。
【解析】
由原抛物线$y=2(x-1)^2+3$，可得其顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=2$。
(1) 向左平移2个单位，顶点横坐标变为$1-2=-1$；向下平移3个单位，顶点纵坐标变为$3-3=0$，即新顶点为$(-1,0)$。平移不改变开口方向和大小，故$a=2$，代入顶点式得：
$y=2(x+1)^2$，展开为一般式为$y=2x^2+4x+2$。
(2) 顶点不动仍为$(1,3)$，开口大小相同、方向相反，故$a=-2$，代入顶点式得：
$y=-2(x-1)^2+3$，展开为一般式为$y=-2x^2+4x+1$。
(3) 关于$x$轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，故新顶点为$(1,-3)$，对称后开口方向反向，故$a=-2$，代入顶点式得：
$y=-2(x-1)^2-3$，展开为一般式为$y=-2x^2+4x-5$。
【答案】
(1) $y=2(x+1)^2$（或$y=2x^2+4x+2$）；
(2) $y=-2(x-1)^2+3$（或$y=-2x^2+4x+1$）；
(3) $y=-2(x-1)^2-3$（或$y=-2x^2+4x-5$）。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移规律，轴对称坐标变换
【点评】
本题考查二次函数图象的常见变换，核心是掌握顶点式中$a$、$h$、$k$的几何意义，结合平移、轴对称的变换规则调整对应参数即可快速解题，属于二次函数基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
13 若抛物线 $y=x^2 -4x +5$ 与y轴交于点C，则与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线对应的函数表达式为 （
A.$y=-x^2 -4x +5$
B.$y=x^2 +4x +5$
C.$y=-x^2 +4x -5$
D.$y=-x^2 -4x -5$
A
）A.$y=-x^2 -4x +5$
B.$y=x^2 +4x +5$
C.$y=-x^2 +4x -5$
D.$y=-x^2 -4x -5$
答案
13. A
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：①先求抛物线与y轴交点C的坐标，y轴上点的横坐标为0，代入原函数即可求出C点坐标；②将原抛物线配方为顶点式，得到其顶点坐标，由于关于点C中心对称的抛物线开口大小不变、方向相反，因此二次项系数为原系数的相反数，且新抛物线顶点与原顶点关于点C中心对称；③利用中点坐标公式求出对称后的顶点坐标，代入顶点式化简为一般式，对比选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：求点C的坐标
当x=0时，代入$y=x^2 -4x +5$，得$y=0-0+5=5$，因此点C的坐标为$(0,5)$。
步骤2：求原抛物线的顶点坐标
将原抛物线配方为顶点式：
$y=x^2 -4x +5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$
因此原抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
步骤3：求对称后抛物线的顶点坐标
设对称后抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，由于$(2,1)$与$(h,k)$关于$(0,5)$中心对称，根据中点坐标公式，两点中点为C点，因此：
$\frac{2+h}{2}=0$，$\frac{1+k}{2}=5$
解得$h=-2$，$k=9$，即新抛物线顶点为$(-2,9)$。
步骤4：写出新抛物线的解析式
中心对称后抛物线开口方向相反，因此二次项系数$a=-1$，代入顶点式得：
$y=-(x+2)^2+9$
展开化简为一般式：
$y=-(x^2+4x+4)+9=-x^2-4x+5$
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数交点求法；2.中心对称坐标性质；3.二次函数顶点式应用
【点评】
本题属于二次函数图象对称变换的基础题型，解题核心是抓住中心对称的本质：图象上所有点均关于对称中心对称，其中通过顶点的对称关系推导解析式是最简便的方法，也可通过取原抛物线上的特殊点求对称后代入选项验证的方法解题。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路推导：①先求抛物线与y轴交点C的坐标，y轴上点的横坐标为0，代入原函数即可求出C点坐标；②将原抛物线配方为顶点式，得到其顶点坐标，由于关于点C中心对称的抛物线开口大小不变、方向相反，因此二次项系数为原系数的相反数，且新抛物线顶点与原顶点关于点C中心对称；③利用中点坐标公式求出对称后的顶点坐标，代入顶点式化简为一般式，对比选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：求点C的坐标
当x=0时，代入$y=x^2 -4x +5$，得$y=0-0+5=5$，因此点C的坐标为$(0,5)$。
步骤2：求原抛物线的顶点坐标
将原抛物线配方为顶点式：
$y=x^2 -4x +5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$
因此原抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
步骤3：求对称后抛物线的顶点坐标
设对称后抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，由于$(2,1)$与$(h,k)$关于$(0,5)$中心对称，根据中点坐标公式，两点中点为C点，因此：
$\frac{2+h}{2}=0$，$\frac{1+k}{2}=5$
解得$h=-2$，$k=9$，即新抛物线顶点为$(-2,9)$。
步骤4：写出新抛物线的解析式
中心对称后抛物线开口方向相反，因此二次项系数$a=-1$，代入顶点式得：
$y=-(x+2)^2+9$
展开化简为一般式：
$y=-(x^2+4x+4)+9=-x^2-4x+5$
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数交点求法；2.中心对称坐标性质；3.二次函数顶点式应用
【点评】
本题属于二次函数图象对称变换的基础题型，解题核心是抓住中心对称的本质：图象上所有点均关于对称中心对称，其中通过顶点的对称关系推导解析式是最简便的方法，也可通过取原抛物线上的特殊点求对称后代入选项验证的方法解题。
【难度系数】
0.7
14 [2025南阳卧龙期末]在平面直角坐标系中，将抛物线$y=x^2 +4x -3$先绕原点旋转$180°$，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是
$(2,2)$
。答案
14. $(2,2)$
解析
【分析】
要得到变换后抛物线的顶点坐标，可利用二次函数图象变换的特点求解：二次函数旋转、平移时，形状大小不变，仅位置和开口方向改变，因此只需对原抛物线的顶点做对应变换即可。第一步先将原抛物线的一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标；第二步根据绕原点旋转180°的坐标变化规律，求出旋转后的顶点坐标；第三步结合向下平移的坐标变化规则，得到最终的顶点坐标。
【解析】
1. 求原抛物线的顶点坐标
对$y=x^2 +4x -3$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x+4-4-3\\&=(x+2)^2-7\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(-2,-7)$。
2. 求绕原点旋转180°后的顶点坐标
平面内任意点$(x,y)$绕原点旋转180°后，对应点的坐标为$(-x,-y)$，代入原顶点坐标可得旋转后的顶点坐标为$(2,7)$。
3. 求向下平移5个单位后的顶点坐标
图象向下平移5个单位时，顶点横坐标不变，纵坐标减5，因此平移后顶点纵坐标为$7-5=2$，横坐标仍为2。
【答案】
$(2,2)$
【知识点】
二次函数的配方，中心对称的坐标特征，函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础常考题，解题时既可以通过顶点变换直接快速求解，也可以先推导变换后的完整解析式再提取顶点，核心是掌握图象变换过程中的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
要得到变换后抛物线的顶点坐标，可利用二次函数图象变换的特点求解：二次函数旋转、平移时，形状大小不变，仅位置和开口方向改变，因此只需对原抛物线的顶点做对应变换即可。第一步先将原抛物线的一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标；第二步根据绕原点旋转180°的坐标变化规律，求出旋转后的顶点坐标；第三步结合向下平移的坐标变化规则，得到最终的顶点坐标。
【解析】
1. 求原抛物线的顶点坐标
对$y=x^2 +4x -3$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x+4-4-3\\&=(x+2)^2-7\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(-2,-7)$。
2. 求绕原点旋转180°后的顶点坐标
平面内任意点$(x,y)$绕原点旋转180°后，对应点的坐标为$(-x,-y)$，代入原顶点坐标可得旋转后的顶点坐标为$(2,7)$。
3. 求向下平移5个单位后的顶点坐标
图象向下平移5个单位时，顶点横坐标不变，纵坐标减5，因此平移后顶点纵坐标为$7-5=2$，横坐标仍为2。
【答案】
$(2,2)$
【知识点】
二次函数的配方，中心对称的坐标特征，函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础常考题，解题时既可以通过顶点变换直接快速求解，也可以先推导变换后的完整解析式再提取顶点，核心是掌握图象变换过程中的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
15 [2024 龙东地区]如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$B(1,0),C(0,3)$.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 在第二象限的抛物线上是否存在一点$P$,使得$△ APC$的面积最大? 若存在,请直接写出点$P$的坐标和$S_{△ APC}$的最大值;若不存在,请说明理由.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 在第二象限的抛物线上是否存在一点$P$,使得$△ APC$的面积最大? 若存在,请直接写出点$P$的坐标和$S_{△ APC}$的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
15. (1) 将$B(1,0),C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$,得$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2-2x+3$
(2) 存在 点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$,$S_{△ APC}$的最大值为$\frac{27}{8}$
【解析】令$y=0$,则$0=-x^2-2x+3$,解得$x_1=-3$,$x_2=1$.
$\therefore A(-3,0)$,则$OA=3$.$\because C(0,3)$,$\therefore OC=3$.如图,过点$P$作$PE⊥ x$轴于点$E$.设$P(x,-x^2-2x+3)(-3＜x＜0)$,则$OE=-x$,$AE=3+x$,$PE=-x^2-2x+3$.$\therefore S_{△ APC}=S_{△ APE}+S_{\mathrm{梯形}PCOE}-S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AE· PE+\frac{1}{2}(OC+PE)· OE-\frac{1}{2}OA· OC=\frac{1}{2}(3+x)·(-x^2-2x+3)+\frac{1}{2}(3-x^2-2x+3)·(-x)-\frac{1}{2}×3×3=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$.$\because -\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$时,$S_{△ APC}$取得最大值,最大值为$\frac{27}{8}$,此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过B、C两个点，解析式仅含b、c两个未知参数，将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 要找使△APC面积最大的点P，首先先求A点坐标：令抛物线解析式中y=0，解方程得到A点坐标。对于动点P构成的三角形面积，采用割补法计算：过P作x轴的垂线，将△APC的面积拆分为△APE、梯形PCOE的面积和，减去△AOC的面积。设P的横坐标为x（第二象限内x的范围是-3＜x＜0），用x表示出P的纵坐标，代入面积公式得到面积关于x的二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处取得最大值，即可求出最大面积和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将$B(1,0),C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 存在。首先求A点坐标：令$y=0$，则$0=-x^2-2x+3$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，$\therefore A(-3,0)$，即$OA=3$，又$C(0,3)$，故$OC=3$。
如图，过点$P$作$PE⊥ x$轴于点$E$。设$P(x,-x^2-2x+3)(-3＜x＜0)$，则$OE=-x$，$AE=3+x$，$PE=-x^2-2x+3$。
用割补法表示面积：
$S_{△ APC}=S_{△ APE}+S_{\mathrm{梯形}PCOE}-S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AE· PE+\frac{1}{2}(OC+PE)· OE-\frac{1}{2}OA· OC$
代入数值展开化简得：
$S_{△ APC}=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$
$\because -\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值$\frac{27}{8}$，此时P点纵坐标为$-(-\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{3}{2})+3=\frac{15}{4}$，即P点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$S_{△ APC}$的最大值为$\frac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型题型，第一问考查基础的待定系数法求二次函数解析式，难度较低；第二问通过割补法将动态三角形面积转化为二次函数，利用二次函数性质求最值，核心考查面积转化技巧和二次函数最值的应用，是二次函数综合题的常考方向。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过B、C两个点，解析式仅含b、c两个未知参数，将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 要找使△APC面积最大的点P，首先先求A点坐标：令抛物线解析式中y=0，解方程得到A点坐标。对于动点P构成的三角形面积，采用割补法计算：过P作x轴的垂线，将△APC的面积拆分为△APE、梯形PCOE的面积和，减去△AOC的面积。设P的横坐标为x（第二象限内x的范围是-3＜x＜0），用x表示出P的纵坐标，代入面积公式得到面积关于x的二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处取得最大值，即可求出最大面积和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将$B(1,0),C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 存在。首先求A点坐标：令$y=0$，则$0=-x^2-2x+3$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，$\therefore A(-3,0)$，即$OA=3$，又$C(0,3)$，故$OC=3$。
如图，过点$P$作$PE⊥ x$轴于点$E$。设$P(x,-x^2-2x+3)(-3＜x＜0)$，则$OE=-x$，$AE=3+x$，$PE=-x^2-2x+3$。
用割补法表示面积：
$S_{△ APC}=S_{△ APE}+S_{\mathrm{梯形}PCOE}-S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}AE· PE+\frac{1}{2}(OC+PE)· OE-\frac{1}{2}OA· OC$
代入数值展开化简得：
$S_{△ APC}=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$
$\because -\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ APC}$取得最大值$\frac{27}{8}$，此时P点纵坐标为$-(-\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{3}{2})+3=\frac{15}{4}$，即P点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$S_{△ APC}$的最大值为$\frac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型题型，第一问考查基础的待定系数法求二次函数解析式，难度较低；第二问通过割补法将动态三角形面积转化为二次函数，利用二次函数性质求最值，核心考查面积转化技巧和二次函数最值的应用，是二次函数综合题的常考方向。
【难度系数】
0.6
