1[2026浙江台州期末,中]已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$三点均在直线$y=kx+b$($k,b$为常数,$k＞0,b＜0$)上,且$x_1＜x_2＜x_3$,则下列判断正确的是 ()

A.若$x_1x_3＜0$,则$y_1y_2＞0$
B.若$x_1x_2＞0$,则$y_2y_3＞0$
C.若$x_2x_3＜0$,则$y_1y_2＞0$
D.若$x_2x_3＜0$,则$y_1y_3＞0$

因为在$y=kx+b$中,$k＞0,b＜0$,所以$y$随$x$的增大而增大,直线$y=kx+b$经过第一、三、四象限.A选项,若$x_1x_3＜0$,则$x_1＜0,x_3＞0$,所以$y_1＜0$,但$x_2$可能为正也可能为负,所以$y_2$符号不确定,所以$y_1y_2＞0$不一定成立,故不符合题意;B选项,若$x_1x_2＞0$,则$x_1$和$x_2$同号,但$x_2,x_3$的符号不确定,所以$y_2,y_3$的符号不确定,所以$y_2y_3＞0$不一定成立,故不符合题意;C选项,若$x_2x_3＜0$,则$x_2＜0,x_3＞0$,所以$x_1＜x_2＜0$,所以$y_1＜y_2＜0$,所以$y_1y_2＞0$,故符合题意;D选项,若$x_2x_3＜0$,则$y_1＜0$,但$y_3$可能为正也可能为负,所以$y_1y_3＞0$不一定成立,故不符合题意.故选C.

2[2025浙江绍兴期末,较难]已知非负数$a,b,c$满足$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}$，设$S=a+2b+3c$，则$S$的取值范围是（）

A.$11≤ S≤16$
B.$10≤ S≤13$
C.$5≤ S≤13$
D.$10≤ S≤16$

设$\dfrac{a-1}{2}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{3-c}{4}=k$,则$a=2k+1$,$b=3k+2$,$c=3-4k$,所以$S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14$.因为$-4＜0$,所以$S$随$k$的增大而减小.因为$a,b,c$为非负数,所以$\begin{cases}2k+1≥0,\\3k+2≥0,\\3-4k≥0,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{2}≤k≤\dfrac{3}{4}$,所以当$k=-\dfrac{1}{2}$时,$S$取最大值,为$-4k+14=-4×(-\dfrac{1}{2})+14=16$;当$k=\dfrac{3}{4}$时,$S$取最小值,为$-4k+14=-4×\dfrac{3}{4}+14=11$,所以$S$的取值范围是$11≤S≤16$.故选A.

3 新考法[2025浙江台州质检,难]已知点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$在函数$y=-|kx+1|+b$($k$,$b$为常数,$k≠0$)的图象上,下列说法正确的是()

A.若$y_1＜y_2＜b$,则$\left|x_1+\dfrac{1}{k}\right|＞\left|x_2+\dfrac{1}{k}\right|$
B.若$x_1＜-\dfrac{1}{k}＜x_2$,则$|b-y_1|＞|b-y_2|$
C.若$y_1＜y_2＜b$,则$\left|x_1+\dfrac{1}{k}\right|＜\left|x_2+\dfrac{1}{k}\right|$
D.若$x_1＜-\dfrac{1}{k}＜x_2$,则$|b-y_1|＜|b-y_2|$

由题知,函数$y=|kx+1|$的图象是将函数$y=kx+1$图象在$x$轴下方的部分关于$x$轴对称到$x$轴的上方,函数$y=-|kx+1|$的图象与函数$y=|kx+1|$的图象关于$x$轴对称,函数$y=-|kx+1|+b$的图象可由函数$y=-|kx+1|$的图象向上(或向下)平移$|b|$个单位长度得到,所以函数$y=-|kx+1|+b$的大致图象(以$k＞0,b＞0$为例)如图所示.
由函数的图象可知,函数图象上的点,纵坐标越大,这个点离直线$x=-\dfrac{1}{k}$越近.当$y_1＜y_2＜b$时,$\left|x_1+\dfrac{1}{k}\right|＞\left|x_2+\dfrac{1}{k}\right|$,所以A选项符合题意,C选项不符合题意.当$x_1＜-\dfrac{1}{k}＜x_2$时,点A在直线$x=-\dfrac{1}{k}$的左侧,点B在直线$x=-\dfrac{1}{k}$的右侧,但这两个点离直线$y=b$的远近无法判断,所以B、D选项不符合题意.故选A.

4[2026安徽安庆期中]如图,直线$AB:y=kx+3$与直线$AO:y=-\dfrac{1}{2}x$交于点$A(-2,1)$,与$y$轴交于点$B$.若点$M(m,y_{1})$在线段$AB$上,点$N(1-m,y_{2})$在直线$AO:y=-\dfrac{1}{2}x$上,则$y_{1}-y_{2}$的最小值为.

因为直线$AB:y=kx+3$与直线$AO:y=-\dfrac{1}{2}x$交于点$A(-2,1)$,所以$1=-2k+3$,解得$k=1$,所以直线$AB$的表达式为$y=x+3$.因为点$M(m,y_1)$在线段$AB$上,点$N(1-m,y_2)$在直线$AO:y=-\dfrac{1}{2}x$上,所以$y_1=m+3 (-2≤m≤0)$,$y_2=-\dfrac{1}{2}(1-m)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}m$,所以$y_1-y_2=m+3-(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}m)=\dfrac{1}{2}m+\dfrac{7}{2}$.因为$-2≤m≤0$,$\dfrac{1}{2}＞0$,所以当$m=-2$时,$y_1-y_2$取得最小值,所以$y_1-y_2$的最小值为$\dfrac{1}{2}×(-2)+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}$.

5[2025 浙江杭州期中,较难]已知函数$y=|x - a|=\begin{cases} x - a & (x≥ a), \\ a - x & (x ＜ a). \end{cases}$
(1)若$a=1$,当$0≤ x≤ 2$时,$y$的取值范围是.
(2)当$1≤ x≤ 3$时,$y$有最小值$5$,则$a$的值是.

(1)若$a=1$,则$y=|x-1|$.当$0≤x≤1$时,$y=1-x$.因为$-1＜0$,所以$y$随着$x$的增大而减小,当$x=0$时,$y=1$,当$x=1$时,$y=0$,所以$0≤y≤1$;当$1≤x≤2$时,$y=x-1$.因为$1＞0$,所以$y$随着$x$的增大而增大,当$x=1$时,$y=0$,当$x=2$时,$y=1$,所以$0≤y≤1$,所以$y$的取值范围为$0≤y≤1$,故答案为$0≤y≤1$.
(2)当$a＞3$时,$y=a-x$.因为$-1＜0$,所以$y$随着$x$的增大而减小,所以当$x=3$时,$y$取得最小值,最小值为$a-3$.因为$y$有最小值$5$,所以$a-3=5$,所以$a=5+3=8$.当$a＜1$时,$y=x-a$.因为$1＞0$,所以$y$随着$x$的增大而增大,所以当$x=1$时,$y$取得最小值,最小值为$1-a$.因为$y$有最小值$5$,所以$1-a=5$,所以$a=-5+1=-4$.当$1≤a≤3$时,$y=|x-a|=\begin{cases} x-a(x≥ a), \\ a-x(x＜ a), \end{cases}$所以$y$在$x=a$时取得最小值$0$,所以舍去.综上所述,$a$的值是$8$或$-4$,故答案为$8$或$-4$.

6 思想方法数形结合[较难]定义:对于关于x的一次函数$y = kx + b(k≠0)$,我们称函数$y = \begin{cases} kx+b(x≤a), \\ -kx-b(x＞a) \end{cases}$为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“a变换函数”(其中a为常数).例如:对于关于x的一次函数$y = 2x +1$的“5变换函数”为$y = \begin{cases} 2x+1(x≤5), \\ -2x-1(x＞5). \end{cases}$
(1)一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=$.
(2)画出一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”图象,并完成下列问题:
①对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$x=3$时,求$y$的值;当$y=2$时,求$x$的值.
②对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$-3≤x≤3$时,$y$的取值范围是.
(3)当一次函数$y=-x+1$的“a变换函数”的图象与直线$y=2$只有一个交点时,直接写出$a$的取值范围.

(1)由题意可得,函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0), \end{cases}$故答案为$\begin{cases} -x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0). \end{cases}$
(2)$y=-x+1$的“2变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤2), \\ x-1(x＞2), \end{cases}$图象如图所示.
①当$x=3$时,$y=3-1=2$;当$y=2$时,$-x+1=2$或$x-1=2$,解得$x=-1$或$x=3$.
②当$-3≤x≤2$时,$y=-x+1$,$y$随$x$的增大而减小,所以$-1≤y≤4$;当$2＜x≤3$时,$y=x-1$,$y$随$x$的增大而增大,所以$1＜y≤2$.
综上所述,$-1≤y≤4$.故答案为$-1≤y≤4$.
(3)$a＜-1$或$a≥3$.由(2)可知,对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$y=2$时,$x=-1$或$x=3$,所以当一次函数$y=-x+1$的“a变换函数”的图象与直线$y=2$只有一个交点时,$a＜-1$或$a≥3$.