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1[2025浙江台州质检]关于一次函数$y=-3x+2$，下列说法正确的是（
A.图象过点$(1,1)$
B.其图象可由$y=3x$的图象向下平移2个单位长度得到
C.$y$随着$x$的增大而增大
D.图象经过第一、二、四象限
D
）A.图象过点$(1,1)$
B.其图象可由$y=3x$的图象向下平移2个单位长度得到
C.$y$随着$x$的增大而增大
D.图象经过第一、二、四象限
答案
A选项,当x=1时,y=-3×1+2=-1,所以一次函数y=-3x+2的图象经过点(1,-1),故本选项错误,不符合题意;B选项,y=3x的图象向下平移2个单位长度得到y=3x-2的图象,故本选项错误,不符合题意;C选项,因为k=-3＜0,所以y随x的增大而减小,故本选项错误,不符合题意;D选项,因为k=-3＜0,b=2＞0,所以一次函数y=-3x+2的图象经过第一、二、四象限,故本选项正确,符合题意.故选D.
2 已知$A(-\dfrac{1}{3},y_{1})$，$B(-\dfrac{1}{2},y_{2})$，$C(2,y_{3})$是一次函数$y=-4x+b$图象上的三点，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是（
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C
）A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
答案
因为k=-4＜0,所以y随x的增大而减小.又因为$A(-\dfrac{1}{3},y_{1})$,$B(-\dfrac{1}{2},y_{2})$,$C(2,y_{3})$是一次函数$y=-4x+b$图象上的三点,且$-\dfrac{1}{2}＜-\dfrac{1}{3}＜2$,所以$y_3＜y_1＜y_2$.故选C.
3 新考向开放性试题 一个函数图象过点(1,3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达式：
y=x+2(答案不唯一)
。答案
设一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$.因为一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$,所以$3=k+b$.又因为函数值$y$随自变量$x$的增大而增大,所以$k＞0$,所以$k=1,b=2$符合题意,所以符合条件的函数表达式可以为$y=x+2$.
4 已知直线$y=(2-3m)x$经过点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，当$x_1＜x_2$时，有$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是
$m＞\dfrac{2}{3}$
.答案
因为直线$y=(2-3m)x$经过点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当$x_1＜x_2$时,有$y_1＞y_2$,所以$y$随$x$的增大而减小,所以$2-3m＜0$,解得$m＞\dfrac{2}{3}$.
5[2026浙江台州期末]已知函数$y=|x-k|+1$，其中$k$为常数.
(1)当$k=-2$时，若点$M(m,2)$在该函数图象上，求$m$的值；
(2)当$2k-2≤ x≤ 2k-1$时，若该函数最大值与最小值的差为$0.8$，求$k$的值.
(1)当$k=-2$时，若点$M(m,2)$在该函数图象上，求$m$的值；
(2)当$2k-2≤ x≤ 2k-1$时，若该函数最大值与最小值的差为$0.8$，求$k$的值.
答案
(1)当$k=-2$时,函数为$y=|x+2|+1$.将$M(m,2)$代入$y=|x+2|+1$得$|m+2|+1=2$,即$|m+2|=1$,去绝对值得$m+2=±1$,解得$m=-1$或$m=-3$.
(2)当$2k-2＜2k-1＜k$,即$k＜1$时,该函数最大值与最小值的差为$|2k-2-k|+1-(|2k-1-k|+1)=k-2k+2+1-(k-2k+1+1)=1$,不合题意;
当$k＜2k-2＜2k-1$,即$k＞2$时,该函数最大值与最小值的差为$|2k-1-k|+1-(|2k-2-k|+1)=2k-1-k+1-(2k-2-k+1)=1$,不合题意;
当$2k-2≤k≤2k-1$,即$1≤k≤2$时,可知当$x=k$时,$y_{最小}=|k-k|+1=1$.
因为该函数最大值与最小值的差为$0.8$,所以$y_{最大}=1.8$.
当$x=2k-2$时,令$y=|2k-2-k|+1=1.8$,解得$k=1.2$或$k=2.8$(舍去);
当$x=2k-1$时,令$y=|2k-1-k|+1=1.8$,解得$k=1.8$或$k=0.2$(舍去).
综上可知,$k$的值为$1.2$或$1.8$.
(2)当$2k-2＜2k-1＜k$,即$k＜1$时,该函数最大值与最小值的差为$|2k-2-k|+1-(|2k-1-k|+1)=k-2k+2+1-(k-2k+1+1)=1$,不合题意;
当$k＜2k-2＜2k-1$,即$k＞2$时,该函数最大值与最小值的差为$|2k-1-k|+1-(|2k-2-k|+1)=2k-1-k+1-(2k-2-k+1)=1$,不合题意;
当$2k-2≤k≤2k-1$,即$1≤k≤2$时,可知当$x=k$时,$y_{最小}=|k-k|+1=1$.
因为该函数最大值与最小值的差为$0.8$,所以$y_{最大}=1.8$.
当$x=2k-2$时,令$y=|2k-2-k|+1=1.8$,解得$k=1.2$或$k=2.8$(舍去);
当$x=2k-1$时,令$y=|2k-1-k|+1=1.8$,解得$k=1.8$或$k=0.2$(舍去).
综上可知,$k$的值为$1.2$或$1.8$.
6 如图,在直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
答案
(1)把点$A(2,m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$,得$m=\dfrac{3}{2}$.
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$.
把点$A(2,\dfrac{3}{2}),B(0,3)$代入得$\begin{cases}2k+b=\dfrac{3}{2},\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$.
(2)因为点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,所以$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3(0≤t≤2)$,$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$,所以$y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}(0≤t≤2)$.
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$,所以$y_1-y_2$的值随$t$的增大而减小,所以当$t=0$时,$y_1-y_2$的值最大,为$\dfrac{15}{2}$.
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$.
把点$A(2,\dfrac{3}{2}),B(0,3)$代入得$\begin{cases}2k+b=\dfrac{3}{2},\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$.
(2)因为点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上,所以$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3(0≤t≤2)$,$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$,所以$y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}(0≤t≤2)$.
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$,所以$y_1-y_2$的值随$t$的增大而减小,所以当$t=0$时,$y_1-y_2$的值最大,为$\dfrac{15}{2}$.
7[2025浙江湖州期末]“珍珠养殖”是某地的特色产业之一.据了解超大型珍珠的养殖与育珠蚌的养殖密度相关,研究发现超大型珍珠的比例$y$与育珠蚌养殖密度$x$的关系为$y=ax+b(a≠0)$,下面是超大型珍珠的比例与育珠蚌养殖密度情况对照表：
(1)根据表中的数据求超大型珍珠的比例$y$与育珠蚌养殖密度$x$之间的函数关系式；
(2)若超大型珍珠的比例要达到50%以上,那么育珠蚌养殖密度必须控制在多少以内？
刷易错…………小心有坑~
(1)根据表中的数据求超大型珍珠的比例$y$与育珠蚌养殖密度$x$之间的函数关系式；
(2)若超大型珍珠的比例要达到50%以上,那么育珠蚌养殖密度必须控制在多少以内？
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答案
(1)根据题意,得$\begin{cases}a+b=0.6,\\2a+b=0.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{2}{5},\\b=1,\end{cases}$所以超大型珍珠的比例$y$与育珠蚌养殖密度$x$之间的函数关系式为$y=-\dfrac{2}{5}x+1$.
(2)当$y=50\%$时,$50\%=-\dfrac{2}{5}x+1$,解得$x=1.25$.
因为$-\dfrac{2}{5}＜0$,所以$y$随着$x$的增大而减小,所以超大型珍珠的比例要达到50%以上,那么育珠蚌养殖密度必须控制在$1.25$只/m²以内.
(2)当$y=50\%$时,$50\%=-\dfrac{2}{5}x+1$,解得$x=1.25$.
因为$-\dfrac{2}{5}＜0$,所以$y$随着$x$的增大而减小,所以超大型珍珠的比例要达到50%以上,那么育珠蚌养殖密度必须控制在$1.25$只/m²以内.
8 已知一次函数$y=kx+2(k≠0)$，当$-2≤x≤3$时，$y$的最大值为5，则$k=$
$1或-\dfrac{3}{2}$
.答案
当$k＞0$时,在一次函数$y=kx+2$中,$y$随$x$的增大而增大,所以当$x=3$时,函数有最大值,所以$3k+2=5$,解得$k=1$.当$k＜0$时,在一次函数$y=kx+2$中,$y$随$x$的增大而减小,所以当$x=-2$时,函数有最大值,所以$-2k+2=5$,解得$k=-\dfrac{3}{2}$,所以$k$的值为$1或-\dfrac{3}{2}$.故答案为$1或-\dfrac{3}{2}$.
