1[2025浙江嘉兴期末,中]已知a,b为常数,且ab≠0,则下列四个选项中,可以表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx的图象的是()

1.B 【解析】当 $ab＞0$ 时,正比例函数 $y=abx$ 的图象过第一、三象限. 若 $a＞0,b＞0$, 则一次函数 $y=ax+b$ 的图象过第一、二、三象限; 若 $a＜0,b＜0$, 则一次函数 $y=ax+b$ 的图象过第二、三、四象限, 故 A、D 错误. 当 $ab＜0$ 时, 正比例函数 $y=abx$ 的图象过第二、四象限. 若 $a＞0,b＜0$, 则一次函数 $y=ax+b$ 的图象过第一、三、四象限; 若 $a＜0,b＞0$, 则一次函数 $y=ax+b$ 的图象过第一、二、四象限, 故 B 正确,C 错误. 故选 B.

2[中]已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$A(-3,2)$，与$x$轴的交点为$B$，若$OB=4$，则这个一次函数的表达式为。

2.$y=-\dfrac{2}{7}x+\dfrac{8}{7}$或$y=2x+8$ 【解析】因为一次函数 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $B$, $OB=4$, 所以点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$ 或 $(-4,0)$. 当点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$ 时, 将 $B(4,0),A(-3,2)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}4k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{2}{7},\\b=\dfrac{8}{7},\end{cases}$ 所以一次函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{7}x+\dfrac{8}{7}$. 当点 $B$ 的坐标为 $(-4,0)$ 时, 将 $B(-4,0),A(-3,2)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}-4k+b=0,\\-3k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=8,\end{cases}$ 所以一次函数表达式为 $y=2x+8$. 故答案为 $y=-\dfrac{2}{7}x+\dfrac{8}{7}$ 或 $y=2x+8$.

3[中]直线 $y=kx-2k+3$ 恒过一定点，则该点的坐标是；平面直角坐标系中有三点 $A(-1,0),B(2,3),C(5,0)$，若直线 $y=kx-2k+3$ 将 $△ ABC$ 分成左、右面积之比为 $1:2$ 的两部分，则 $k$ 的值是。

3.$(2,3)$ $3$ 【解析】因为 $y=kx-2k+3=k(x-2)+3$, 所以直线 $y=kx-2k+3$ 恒过定点 $(2,3)$. 因为 $B(2,3)$, 直线 $y=kx-2k+3$ 将 $△ ABC$ 分成左、右面积之比为 $1:2$ 的两部分, 所以直线 $y=kx-2k+3$ 过点 $(1,0)$, 故 $0=k-2k+3$, 解得 $k=3$. 故答案为 $(2,3),3$.

4 割补法 [2025 江苏南京期末,中]已知一次函数$y=x+1$的图象与$y$轴交于点$A$,一次函数$y=kx+b$的图象经过点$B(0,-1)$,与$x$轴以及$y=x+1$的图象分别交于点$C,D$,且点$D$的坐标为$(1,n)$,则四边形$AOCD$的面积是.

4.$\dfrac{5}{6}$ 【解析】对于直线 $y=x+1$, 令 $x=0$, 得 $y=1$, 即 $A(0,1)$. 把 $B(0,-1)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $b=-1$. 把 $D(1,n)$ 代入 $y=x+1$, 得 $n=2$, 即 $D(1,2)$. 把 $D(1,2)$ 代入 $y=kx-1$, 得 $2=k-1$, 即 $k=3$, 所以一次函数 $y=kx+b$ 的表达式为 $y=3x-1$, 令 $y=0$, 得 $3x-1=0$, 解得 $x=\dfrac{1}{3}$, 所以 $C(\dfrac{1}{3},0)$. 过 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴, 垂足为 $E$, 如图所示, 所以 $E(1,0)$, $CE=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$, 所以 $S_{四边形AOCD}=S_{梯形AOED}-S_{△ CDE}=\dfrac{1}{2}(AO+DE)· OE-\dfrac{1}{2}CE· DE=\dfrac{1}{2}×(1+2)×1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$.

5 铅垂线法 [2025江苏无锡调研,中]如图,平面直角坐标系中,直线$y=kx+b$交y轴于点$A(0,3)$,交x轴于点$B(6,0)$,直线$x=2$交AB于点D,交x轴于点E.点P坐标为$(2,-4)$,则$△ ABP$的面积是.

5.$18$ 【解析】把 $A(0,3),B(6,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}b=3,\\6k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$ 所以直线 $y=kx+b$ 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$. 因为点 $D$ 在直线 $AB$ 上, 横坐标为 $2$, 所以把 $x=2$ 代入 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$, 得 $y=2$, 所以点 $D$ 坐标为 $(2,2)$. 因为点 $P$ 坐标为 $(2,-4)$, 所以 $PD=2-(-4)=6$, 所以 $S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× PD×(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×6×6=18$. 故答案为 18.

6 新考法 [2026江苏南京调研,中]已知一次函数$y=kx+b(k,b$是常数,$k≠0)$的图象如图所示,请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象,并写出必要的标注与文字说明.(1)$y=kx$;(2)$y=-2kx+2b$;(3)$y=kx-2b$. 刷素养 走向重高

6.【解】(1)因为函数 $y=kx$ 的图象与 $y=kx+b$ 的图象平行, 且过坐标原点, 所以函数 $y=kx$ 的图象如图所示.
(2)对于 $y=kx+b$, 令 $x=0$, 则 $y=b$; 令 $y=0$, 则 $x=-\dfrac{b}{k}$, 所以函数 $y=kx+b$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,b)$, 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-\dfrac{b}{k},0)$. 因为函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、四象限, 所以 $k＜0,b＞0$, 所以 $-2k＞0,2b＞0$, 所以函数 $y=-2kx+2b$ 的图象经过第一、二、三象限. 对于 $y=-2kx+2b$, 令 $x=0$, 则 $y=2b$; 令 $y=0$, 则 $x=\dfrac{b}{k}$, 所以函数 $y=-2kx+2b$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,2b)$, 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(\dfrac{b}{k},0)$, 所以函数 $y=-2kx+2b$ 的图象如图所示.
(3)因为 $k＜0,b＞0$, 所以 $-2b＜0$, 所以函数 $y=kx-2b$ 的图象经过第二、三、四象限, 与直线 $y=kx+b$ 平行. 对于 $y=kx-2b$, 令 $x=0$, 则 $y=-2b$; 令 $y=0$, 则 $x=\dfrac{2b}{k}$, 所以函数 $y=kx-2b$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,-2b)$, 与 $x$ 轴交于点 $(\dfrac{2b}{k},0)$, 所以函数 $y=kx-2b$ 的图象如图所示.

7 思想方法 数形结合 [2025浙江宁波期中,较难]如图,已知一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+6$的图象与坐标轴交于点A,B,AF平分$∠ BAO$,交x轴于点E.(1)点A的坐标为,点B的坐标为;(2)求直线AE的表达式;(3)若将已知条件“AF平分$∠ BAO$,交x轴于点E”改为“点E是线段OB上的一个动点(点E不与点O,B重合)”,过点B作$BF ⊥ AE$,垂足为F.设$OE=x,BF=y$,试求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.

7.【解】(1)因为一次函数 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$ 的图象与坐标轴交于点 $A,B$, 将 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$, 得 $y=6$, 将 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$, 得 $x=8$, 所以 $A(0,6),B(8,0)$. 故答案为 $(0,6),(8,0)$.
(2)过点 $E$ 作 $EG ⊥ AB$, 垂足为 $G$, 如图. 因为 $AF$ 平分 $∠ BAO$, $EO ⊥ AO$, $EG ⊥ AG$, 所以 $EG=OE$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGE$ 中, $\begin{cases}AE=AE,\\EO=EG,\end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ AGE(\mathrm{HL})$, 所以 $AO=AG$. 因为 $OA=6,OB=8$, 所以在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中, $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$, 所以 $BG=AB-AG=10-6=4$. 设 $OE=EG=a$, 则 $BE=8-a$. 在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中, $EG^2+BG^2=BE^2$, 即 $a^2+4^2=(8-a)^2$, 解得 $a=3$, 所以 $E(3,0)$. 设直线 $AE$ 的表达式为 $y=kx+b$. 将 $A(0,6),E(3,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}b=6,\\3k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=6,\end{cases}$ 所以直线 $AE$ 的表达式为 $y=-2x+6$.
(3)由题意得 $0＜x＜8$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $OE=x$, $OA=6$, 所以 $AE=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{x^2+36}$. 因为 $BE=OB-OE=8-x$, $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}× AE× BF=\dfrac{1}{2}× BE× AO$, 所以 $BF=\dfrac{BE· AO}{AE}=\dfrac{6(8-x)}{\sqrt{x^2+36}}=\dfrac{48-6x}{\sqrt{x^2+36}}$. 又因为 $BF=y$, 所以 $y=\dfrac{48-6x}{\sqrt{x^2+36}}(0＜x＜8)$.