1 [2026江苏南通期中]如图,半径为5的$\odot A$中,弦$BC,ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$.已知$DE=6,∠ BAC+∠ EAD=180°$,则弦$BC$的弦心距等于 ()

A.$\frac{\sqrt{41}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
C.4
D.3

(第1题图)
(第2题图)

1.D 【解析】作 AH ⊥ BC 于 H,延长CA 交 ⊙A 于 F,连结 BF,如图.
∵ ∠BAC + ∠EAD = 180°, 而∠BAC+∠BAF = 180°,
∴ ∠DAE =∠BAF,
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$,
∴ DE = BF =6.
∵ AH ⊥ BC,AB = AC,
∴ CH = BH.
∵ CA = AF,
∴ AH为△CBF 的中位线,
∴ AH = $\frac{1}{2}BF$=3. 故选 D.

2[2026 浙江金华期中，中]如图，在$△ ABC$中，$∠ B=70°$，$\odot O$截三边所得的弦长$DE=FG=HI$，则$∠ AOC=$$°$。

2.125 【解析】过点 O 作 OM ⊥DE 于 M,OK ⊥ FG 于 K,OP ⊥HI 于 P,如图.
∵ DE = FG =HI,
∴ OM = OK = OP,
∴ AO 平分 ∠BAC,CO 平分 ∠ACB,
∴ ∠OAC+∠OCA = $\frac{1}{2}$( ∠BAC+∠ACB) = $\frac{1}{2}$( 180°-∠B) = 90°- $\frac{1}{2}$∠B = 90°-$\frac{1}{2}$×70°= 55°,
∴ ∠AOC =180°-(∠OAC+∠OCA) = 180°-55°= 125°. 故答案为 125.

3 [2025 浙江嘉兴期末,中]如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,BO=2,C为BO的中点,D为$\overset{\frown}{AB}$上一点,且$2\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$,连结AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中,当CD取最小值时,△ACO的周长为.

3.$3+\sqrt{3}$ 【解析】
∵ BO = 2,
∴ AO =BO = 2.
∵ C 为 BO 的中点,
∴ OC = $\frac{1}{2}BO$ = 1. 在 OC 绕点 O旋转的过程中,当 O,C,D 三点共线时,CD 的值最小,如图,连结AD.
∵ 2$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\frac{2}{3}\overset{\frown}{AB}$,
∴ ∠AOD =$\frac{2}{3}$∠AOB = 60°. 又
∵ AO = DO,
∴ △AOD 是等边三角形.
∵ OC = 1 = $\frac{1}{2}OD$,
∴ C 为 OD 的中点,
∴ AC ⊥OD. 由勾股定理得,AC = $\sqrt{AO^2-OC^2}$ = $\sqrt{2^2-1^2}$ =$\sqrt{3}$,
∴ △ACO 的周长为 AO+OC+AC = 2+1+$\sqrt{3}$ = 3+$\sqrt{3}$. 故答案为 3+$\sqrt{3}$.

4[较难]如图,点C是直径AB的三等分点(AC＜CB),点D是弧ADB的三等分点(弧BD＜弧AD),若直径AB=12,则DC的长为.

(第4题图)
(第5题图)

4.$2\sqrt{13}$ 【解析】如图,过 D 作DE ⊥ AB 于 E,则∠DEC = 90°.
∵ 点 C 是直径 AB 的三等分点(AC ＜ CB ), 直径 AB = 12,
∴ AC = 4, BC = 8, OD = OA =OB = 6,
∴ CO = 2.
∵ 点 D 是弧 ADB 的三等分点(弧BD＜弧AD),
∴ ∠DOB = $\frac{1}{3}$×180°= 60°,
∴ ∠ODE =30°,
∴ OE = $\frac{1}{2}OD$ = 3,
∴ DE = $\sqrt{DO^2-OE^2}$ =$\sqrt{6^2-3^2}$ = 3$\sqrt{3}$, CE = OE + CO = 3 + 2 = 5,
∴ DC =$\sqrt{DE^2+CE^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}$=$2\sqrt{13}$,故答案为 $2\sqrt{13}$.

5[2025浙江宁波调研,较难]如图,A,C,D,B依次为一直线上4个点,$CD=2$,$△ PCD$为等腰直角三角形,且$∠ CPD=90°$,$\odot O$过点$A,B,P$,且$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$,则$AC· BD$的值是.

5.2 【解析】如图,连结 OA,OB,OP,延长 PC,PD 分别交 AO,BO 于 F,E.
∵ CD = 2,△PCD 为等腰直角三角形,且 ∠CPD =90°,
∴ ∠PDC = 45°,PC = PD =$\sqrt{2}$.
∵ $\overset{\frown}{AB}$ 的度数为 90°,
∴ ∠AOB=90°.
∵ OA = OB,
∴ △AOB 是等腰直角三角形,
∴ ∠OAB = 45°,
∴ PE//OA,
∴ ∠OFP = 180°-∠CPD = 90°, 则四边形 PFOE 是矩形, 且易得△AFC,△DEB 是等腰直角三角形,
∴ PF = OE,PE =OF. 设 AF = CF = x,DE = EB = y, 则 OE = PF = $\sqrt{2}+x$,OF = PE = $\sqrt{2}+y$,
∴ AO = BO = OP = $\sqrt{2}+x+y$. 在Rt△PFO 中,$PF^2+OF^2=PO^2$,
∴ $(\sqrt{2}+x)^2+(\sqrt{2}+y)^2$ =$(\sqrt{2}+x+y)^2$,即 $x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+4=2xy+x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2$,整理得 xy = 1. 由勾股定理得,AC =$\sqrt{2}AF=\sqrt{2}x$,$DB=\sqrt{2}DE=\sqrt{2}y$,
∴ AC · BD = $\sqrt{2}x · \sqrt{2}y=2xy=2$. 故答案为 2.

6[2026浙江杭州调研,中]如图,弦MN把$\odot O$分成$1:3$两部分,连结$OM$,$ON$,过$MN$的中点$A$作$AB// ON$,交$\overset{\frown}{MN}$于$B$,求$\overset{\frown}{BN}$的度数.

6.【解】如图,连结 OA,OB,BM,延长BA 交 OM 于 C.
∵ 弦 MN 把 ⊙O 分成 1:3 两部分,
∴ ∠MON = $\frac{1}{4}$×360°= 90°.
∵ AB // ON,
∴ ∠MCB = ∠MON = 90°,
∴ BC ⊥ OM.
∵ 点 A 为 MN 的中点,
∴ 易得点 C 为OM 的中点, 即 BC 垂直平分 OM,
∴ BO = BM.
∵ OM = OB,
∴ OM = OB = MB,
∴ △OMB 为等边三角形,
∴ ∠BOM = 60°,
∴ ∠BON = 30°,
∴ $\overset{\frown}{BN}$ 的度数为 30°.

7[2026江苏南京调研,较难]如图,□ABCD的顶点A,B,D在⊙O上,$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FB}$.
(1)求证:□ABCD是菱形;
(2)求∠A的度数.

7.(1)【证明】如图,连结 OD,OE,OF,OB,OC,过点 O作 OM ⊥ DC,ON ⊥ BC,垂足分别为 M,N.
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FB}$,
∴ OM = ON,DE = BF.
∵ OD = OE = OF =OB,
∴ DM = EM,BN = FN,
∴ DM = BN. 在 Rt△OCM和 Rt△OCN 中,
∵ OM = ON,OC = OC,
∴ Rt△OCM ≌Rt△OCN(HL),
∴ CM = CN,
∴ CM+DM = CN+BN,即CD = BC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ 四边形ABCD 是菱形.
(2)【解】由(1)知,四边形 ABCD 是菱形,
∴ BC =DC,
∴ CE = CF.
∵ OE = OF,OC = OC,
∴ △OCE ≌△OCF(SSS),
∴ 易得 ∠DOM = ∠MOE = ∠EOC =∠COF = ∠FON = ∠NOB. 设 ∠DOM = x,则 ∠MOC =2x, ∠A = ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BOD = 3x,
∴ ∠OCM =$\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{3}{2}x$.
∵ ∠OMC = 90°,
∴ 2x+$\frac{3}{2}x$ = 90°,解得 x = $\frac{180°}{7}$,
∴ ∠A = 3x = $\frac{540°}{7}$.