1 下列命题中,正确的是 ()

A.三点确定一个圆
B.垂直于弦的直径平分这条弦
C.垂直于弦的直线必过圆心
D.圆是轴对称图形,不是中心对称图形

1.B 【解析】A 选项,不共线的三点确定一个圆,故该选项不符合题意;B 选项,垂直于弦的直径平分这条弦,故该选项符合题意;C 选项,在同一平面内,垂直且平分弦的直线必过圆心,故该选项不符合题意;D 选项,圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,故该选项不符合题意. 故选 B.

2[2026浙江衢州期中]如图,点O是正方形网格中的格点,点P,P₁,P₂,P₃,P₄是以O为圆心的圆与网格线的交点,直线m经过点O与点P₂,则点P关于直线m的对称点是 ()

A.P₁
B.P₂
C.P₃
D.P₄

(第2题图) (第3题图)

2.D 【解析】由网格线可知直线 m ⊥ PP₄.
∵ 直线 m 经过圆心,
∴ 直线 m 平分线段 PP₄,
∴ 点 P 关于直线 m 的对称点是点 P₄,故选 D.

3[2026浙江杭州质检]如图,C,D是以AB为直径的$\odot O$上的两个动点(点C,D不与A,B重合),在运动过程中弦CD始终保持不变,M是弦CD的中点,过点C作$CP ⊥ AB$于点P.若$CD=3,AB=5$,则PM最大值是 ()

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

3.D 【解析】如图,延长 CP 交⊙O 于点 N,连结 DN.
∵ AB ⊥ CN,
∴ CP=PN.
∵ 点 M 是弦 CD 的中点,
∴ CM = DM,
∴ PM = $\frac{1}{2}DN$,
∴ 当 DN 为 ⊙O 的直径时,DN 的值最大,此时 PM 的值最大,
∴ PM 的最大值为 $\frac{1}{2}×5=2.5$. 故选 D.

关键点拨
本题考查垂径定理,添加辅助线并构造中位线是解题的关键.

4[2026浙江温州期末]如图,将半径为4 cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕AB的长为.

（第4题图）
（第5题图）

4.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$ 【解析】如图所示,过点 O 作 OC ⊥ AB 于点 C,延长 OC 交⊙O 于点 D,连结 OB,
∴ AC=BC.
根据折叠可知 $OC=CD=\frac{1}{2}OD=2\ \mathrm{cm}.\because OB=4\ \mathrm{cm},\therefore BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm},$
$\therefore AB=2BC=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm},\therefore$ 折痕的长为 $4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. 故答案为 $4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.

关键点拨
本题考查垂径定理和勾股定理,解题关键是通过作辅助线构造直角三角形.

5[2026江苏南京调研]如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$相交于$P$，$∠ APC=45°$，若$PC^2 + PD^2 = 6$，则$\odot O$的半径为。

5.$\sqrt{3}$ 【解析】如图,连结 CO,过点 O 作 OE ⊥ CD 于点 E,则 CE = DE.
∵ ∠APC=45°,
∴ 易得△OPE 是等腰直角三角形,
$\therefore EP=OE,\therefore PC^2 + PD^2 = (CE+EP)^2 + (DE-EP)^2 = CE^2+2CE· EP+EP^2+DE^2-2DE· EP+EP^2=2CE^2+2EP^2=2(CE^2+EP^2)=2(CE^2+OE^2)=2OC^2=6,$
$\therefore OC=\sqrt{3}.$

6[2026浙江嘉兴期中]某项目研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺,来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯底.纸条的上下边缘分别与杯底相交于A,B,C,D四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5 cm,AB=4 cm,CD=3 cm,则该纸杯杯底的直径为 ()


A.4.8 cm
B.5 cm
C.5.2 cm
D.6 cm

6.B 【解析】如图,设杯底所在圆的圆心为 O,过点 O 作 ON ⊥ AB 于 N,延长 NO 交 CD 于点 M,连结 OC,OB,
∴ MN = 3.5 cm.
∵ AB//CD,
∴ MN ⊥ CD,
$\therefore CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5(\mathrm{cm}),$
$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm}),$ 设 OM = x cm,则 ON = MN-OM = (3.5-x) cm.
∵ OM²+MC²=OC²,ON²+BN²=OB²,OC=OB,
∴ OM²+MC²=ON²+BN²,
∴ x²+1.5²=(3.5-x)²+2²,
∴ x=2,
∴ OM=2 cm,
∴ OC = $\sqrt{OM^2+MC^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5(\mathrm{cm}),$
∴ 纸杯杯底的直径为 2.5×2=5(cm). 故选 B.

7[2026安徽淮北期末]如图(1),装有水的水槽放置在水平桌面上,其纵截面是以AB为直径的半圆O,AB=26 cm,MN为水面截线,MN=24 cm,GH为桌面截线,MN//GH.
(1)作OC⊥MN于点C,求OC的长;
(2)将图(1)中的水倒出一部分得到图(2),发现水面高度下降了7 cm,求此时水面截线减少了多少.
@刷易错 ............小心有坑~

7.【解】(1)如图(1),连结 OM.
∵ O 为圆心,OC ⊥ MN, MN = 24 cm,
∴ $MC=\frac{1}{2}MN=12\ \mathrm{cm}.\because AB=26\ \mathrm{cm},$
$\therefore OM=\frac{1}{2}AB=13\ \mathrm{cm}.$ 在 Rt△OMC 中, $OC=\sqrt{OM^2-MC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{cm}),\therefore OC$ 的长为 5 cm.

(2)如图(2),过 O 作 OD ⊥ EF 于 D,连结 OE,
∴ ED=DF. 由题意得 OD = 5 + 7 = 12 (cm). 在 Rt△OED 中, $ED=\sqrt{OE^2-OD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{cm}),$
$\therefore EF=2ED=10\ \mathrm{cm},\therefore MN-EF=24-10=14(\mathrm{cm}),$
∴ 此时水面截线减少了 14 cm.

8[2026浙江宁波海曙区期中]已知圆的两条平行弦分别长6 dm和8 dm，若该圆的半径是5 dm，则两条平行弦之间的距离为。

8.7 dm 或 1 dm 【解析】如图,在⊙O 中,AB//CD,AB=6 dm,CD=8 dm,过 O 点作 OE ⊥ AB 于 E,延长 EO 交 CD 于 F,则 OF ⊥ CD,连结 OA,OC,
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{dm},CF=FD=\frac{1}{2}CD=4\ \mathrm{dm}.\because OA=OC=5\ \mathrm{dm},\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{dm}),OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{dm}).$ 当圆心 O 在 AB 与 CD 之间时,AB 与 CD 之间的距离为 OE+OF=4+3=7(dm);当圆心 O 不在 AB 与 CD 之间时,AB 与 CD 之间的距离为 OE-OF=4-3=1(dm). 故答案为 7 dm 或 1 dm.

易错警示
当圆心 O 在 AB 与 CD 之间时,AB 与 CD 之间的距离为 OE+OF;当圆心 O 不在 AB 与 CD 之间时,AB 与 CD 之间的距离为 OE-OF. 注意分类讨论,不要漏解.