1[2026浙江金华期中,中]如图,在$\odot O$中,点A,B,C均在圆上,连结OA,OB,OC,BC,AC,AB,若$AC// OB$,$OC=4$,$AB=5$,则AC的长是 ()


A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

1.B 【解析】如图,过点 O 作 OD ⊥ AC 于点 D,作 OE ⊥ AB 于点 E,过点 A 作 AF ⊥ OB 于点 F,
∴ ∠ODA=∠OFA=90°. 又
∵ AC//OB,
∴ ∠DAF=90°,
∴ 四边形 ADOF 是矩形,
∴ OD=AF.
∵ OC=4,
∴ OA=OB=4.
∵ AB=5,OE ⊥ AB,
∴ $AE=BE=\frac{5}{2},\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{4^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.\because S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· OE=\frac{1}{2}OB· AF,\therefore AF=\frac{AB· OE}{OB}=\frac{5×\frac{\sqrt{39}}{2}}{4}=\frac{5\sqrt{39}}{8},$
$\therefore OD=\frac{5\sqrt{39}}{8},\therefore AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{4^2-(\frac{5\sqrt{39}}{8})^2}=\frac{7}{8}.$ 又
∵ OD ⊥ AC,
∴ $AC=2AD=\frac{7}{4}.$ 故选 B.

2[2025浙江杭州质检，中]已知$△ ABC$是圆内接等腰三角形，它的底边长是8.若圆的半径是5，则$△ ABC$的面积是（）

A.32或16
B.32或8
C.8或16
D.24或32

2.B 【解析】如图(1),AB=AC,过 A 作 AD ⊥ BC 于 D,则 AD 必过圆心 O,连结 OB. 在 Rt△OBD 中, $OB=5,BD=\frac{1}{2}BC=4,$ 由勾股定理得 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=3,$ 则 AD=OA+OD=8,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=32.$ 如图(2),AB=AC,同(1)可求得 OD=3,则 AD=OA-OD=2,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=8.$ 综上,△ABC 的面积是 32 或 8. 故选 B.

思路分析
若过 A 作底边 BC 的垂线 AD,则 AD 所在直线必过圆心 O. 在 Rt△OBD 中,由勾股定理可求出 OD 的长,进而可求出△ABC 的面积,需注意本题的△ABC 分锐角三角形和钝角三角形两种情况.

3[2026浙江温州调研,中]一条弦AB把圆的直径分为3和7两部分,弦和直径相交成$60°$角,则AB的长为.

3.$2\sqrt{22}$ 【解析】根据题意得出图形如图所示,DE 为⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,连结 OA,过点 O 作 OH ⊥ AB 于点 H.
∵ 弦 AB 将直径分成 3 和 7 两部分,
∴ CD=3,EC=7,OE=OD=$\frac{3+7}{2}=5$,
∴ OC=OD-DC=5-3=2. 又
∵ 弦 AB 和直径 DE 相交成 60°角,
∴ 易得 ∠COH = 30°,
∴ CH=1,
∴ OH=$\sqrt{3}$. 在 Rt△AOH 中,由勾股定理得 $AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{22}.\because OH ⊥ AB,\therefore AB=2AH=2\sqrt{22}.$ 故答案为 $2\sqrt{22}$.

4[中]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,过$\odot O$上$A,B$两点作直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$,且点$A$在$x$轴上,则弦$AB$的长为.

4.$2\sqrt{3}$ 【解析】设直线 AB 交 y 轴于 C,过 O 作 OD ⊥ AB 于 D,如图. 对于 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$,令 x=0,得 $y=\frac{2\sqrt{3}}{3},\therefore C(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}),$ 则 $OC=\frac{2\sqrt{3}}{3};$ 令 y=0,得 $\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=0,$ 解得 x=-2,
∴ A(-2,0),则 OA=2. 在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 $AC^2=OA^2+OC^2=\frac{16}{3},\therefore AC=\frac{4\sqrt{3}}{3}=2OC,$
∴ ∠CAO=30°,
∴ Rt△AOD 中, $OD=\frac{1}{2}OA=1,$ 由勾股定理得, $AD=\sqrt{3}.\because OD ⊥ AB,\therefore AD=BD=\sqrt{3},$
∴ AB=2√3. 故答案为 $2\sqrt{3}$.

5[2026江苏南京调研,较难]如图,两个同心圆O,小圆的半径为1,大圆的半径为$\sqrt{5}$,点A为小圆上的动点,P,Q是大圆上的两个动点,且$AP ⊥ AQ$,则PQ长的最大值是.

5.4 【解析】过点 O 作 OM ⊥ PQ 交 PQ 于点 M,连结 AM,OP,OA,则 OP=$\sqrt{5}$,OA=1,PM=$\frac{1}{2}PQ$,
∴ OP² = PM² + OM²,
∴ $(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$,
∴ 当 OM 长最小时,PQ 长最大.
∵ AP ⊥ AQ,M 为 PQ 中点,
∴ $AM=\frac{1}{2}PQ.\because AM-OA ≤ OM ≤ AM+OA,\therefore \frac{1}{2}PQ-1 ≤ OM ≤ \frac{1}{2}PQ+1,$
∴ 当 A,O,M 三点共线,且 $OM=\frac{1}{2}PQ-1$ 时,OM 长最小,此时 PQ 长最大,如图,
∴ Rt△OPM 中, $(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+(\frac{1}{2}PQ-1)^2$,解得 PQ=4 或 PQ=-2(舍去),故答案为 4.

6[2026浙江金华期中,中]如图是由完全相同的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫作格点.$\odot O$经过A,B两个格点,仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图(保留画图痕迹,不写画法).
(1)在图(1)中,画出劣弧AB的中点D.
(2)在图(2)的$\odot O$上找一点E,使$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}$(点E与点A不重合).
@刷素养 走向重高

6.【解】(1)如图(1),点 D 即为所求.

(2)如图(2),点 E 即为所求.

7 思想方法数形结合[较难]如图,在$\odot O$中,AB是直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,$∠ NPB=45°$.
(1)若$AP=2$,$BP=6$,求MN的长;
(2)若$MP=3$,$NP=5$,求AB的长;
(3)当P在AB上运动时($∠ NPB=45°$不变),$\frac{PM^2 + PN^2}{AB^2}$的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请求出其范围.

备用图

7.【解】(1)如图,作 OH ⊥ MN 于 H,连结 ON.
∵ AP = 2, BP = 6,
∴ AB=8,
∴ OA=4,
∴ OP=2. 在 Rt△POH 中,
∵ ∠OPH = 45°,
∴ 易得 $OH=\frac{\sqrt{2}}{2}OP=\sqrt{2}$.
在 Rt△OHN 中,
∵ ON = 4, OH = $\sqrt{2}$,
∴ NH=$\sqrt{NO^2-OH^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{14}.$
∵ OH ⊥ MN,
∴ HM=HN,
∴ MN=2NH=2√14.
(2)作 OH ⊥ MN 于 H,连结 ON,则 HM=HN.
∵ MP = 3, NP = 5,
∴ MN = 8,
∴ HM = HN = 4,
∴ PH=1. 在 Rt△POH 中,
∵ ∠OPH=45°,
∴ OH=PH=1. 在 Rt△OHN 中,
∵ HN = 4, OH = 1,
∴ ON = $\sqrt{OH^2+NH^2}=\sqrt{17},\therefore AB=2ON=2\sqrt{17}.$
(3)$\frac{PM^2+PN^2}{AB^2}$的值不发生变化,为定值$\frac{1}{2}$.
作 OH ⊥ MN 于 H,连结 ON,则 HM=HN. 设 ⊙O 的半径为 R. 在 Rt△OHN 中, $OH^2+NH^2=ON^2=R^2.$ 在 Rt△POH 中,
∵ ∠OPH=45°,
∴ OH=PH,
∴ PH²+NH²=R²,
∴ PM²+PN²=(HM-PH)²+(NH+PH)²=(NH-PH)²+(NH+PH)²=2(PH²+NH²)=2R². 又
∵ AB²=4R²,
∴ $\frac{PM^2+PN^2}{AB^2}=\frac{2R^2}{4R^2}=\frac{1}{2},\therefore \frac{PM^2+PN^2}{AB^2}$ 的值不发生变化,为定值 $\frac{1}{2}$.