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1 如图，BC为$\odot O$直径，交弦AD于点E.若B为$\overset{\frown}{AD}$中点，则下列结论错误的是（
A.$AD ⊥ BC$
B.$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$
C.$AE = DE$
D.$OE = BE$
（第1题图）
（第2题图）
D
）A.$AD ⊥ BC$
B.$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$
C.$AE = DE$
D.$OE = BE$
（第1题图）（第2题图）
答案
1. D 【解析】
∵ BC 为⊙O 直径,交弦 AD 于点 E,B 为$\overset{\frown}{AD}$中点,
∴ $AD ⊥ BC$,$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$,$AE = DE$,由已知条件无法得出 $OE = BE$,故 A,B,C 选项正确,D 选项错误. 故选 D.
∵ BC 为⊙O 直径,交弦 AD 于点 E,B 为$\overset{\frown}{AD}$中点,
∴ $AD ⊥ BC$,$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$,$AE = DE$,由已知条件无法得出 $OE = BE$,故 A,B,C 选项正确,D 选项错误. 故选 D.
2[2025安徽合肥期末]如图，$\odot O$的半径为5，弦$AB=6$，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（
A.3.1
B.4.2
C.5.3
D.6.4
B
）A.3.1
B.4.2
C.5.3
D.6.4
答案
2. B 【解析】如图,取 AB 的中点 C,连结 OC,OB,则$OC ⊥ AB$,且 $BC=\frac{1}{2}AB=3$. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$ 中,$OB=5$,由勾股定理得, $OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 当点 P 在线段 BC 上时,$OC≤ OP＜OB$,即$4≤ OP＜5$. 由对称性知,当点 P 在线段 AC 上时,$4≤ OP＜5$,
∴ 当点 P 在弦 AB 上时,$4≤ OP＜5$.
∵ 4＜4.2＜5,
∴ 选项 B 符合题意. 故选 B.
（第2题图）3[2026浙江湖州质检]如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC,BC为直径作半圆,其中M,N分别是以AC,BC为直径的半圆的中点,$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{BC}$的中点分别是P,Q.若$MP+NQ=7$,$AC+BC=26$,则AB的长是
(
A.17
B.18
C.19
D.20
（第3题图）
（第4题图）
(
C
)A.17
B.18
C.19
D.20
（第3题图）（第4题图）
答案
3. C 【解析】如图,连结 OP,OQ,分别交 AC,BC 于 H,I.
∵ M,N 分别是以 AC,BC 为直径的半圆的中点,$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{BC}$的中点分别是 P,Q,
∴ $OP ⊥ AC$,$OQ ⊥ BC$,由题易知 H,P,M 三点共线,I,Q,N 三点共线,
∴ H,I 分别是 AC,BC 的中点,
∴ $OH+OI=\frac{1}{2}(AC+BC)=13$.
∵ $MH+NI=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=13$,$MP+NQ=7$,
∴ $PH+QI=13-7=6$,
∴ $AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=13+6=19$,故选 C.
（第3题图）4 如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D. 已知BC=8 cm，DE=2 cm，则AB的长为
10
cm.答案
4. 10 【解析】
∵ E 是弧 BC 的中点,
∴ $OE ⊥ BC$,$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ (\mathrm{cm})$. 设 $OB=x\ \mathrm{cm}$,则 $OD=OE-DE=(x-2)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,$OB^2=OD^2+BD^2$,
∴ $x^2=(x-2)^2+4^2$,解得 $x=5$,
∴ $OB=5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AB=10\ \mathrm{cm}$.
∵ E 是弧 BC 的中点,
∴ $OE ⊥ BC$,$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ (\mathrm{cm})$. 设 $OB=x\ \mathrm{cm}$,则 $OD=OE-DE=(x-2)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,$OB^2=OD^2+BD^2$,
∴ $x^2=(x-2)^2+4^2$,解得 $x=5$,
∴ $OB=5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AB=10\ \mathrm{cm}$.
5[2026浙江绍兴调研]如图所示，D,E分别是$\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{AC}$的中点，DE交AB于M，交AC于N。
证:$AM=AN.$
证:$AM=AN.$
答案
5.【证明】连结 DO,EO.
∵ D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,E 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ $OD ⊥ AB$,$OE ⊥ AC$.
∵ $OD=OE$,
∴ $∠EDO=∠DEO$,
∴ $∠DMB=180°-90°-∠EDO$,$∠ENC=180°-90°-∠DEO$,
∴ $∠DMB=∠ENC$. 又
∵ $∠AMN=∠DMB$, $∠ANM = ∠ENC$,
∴ $∠AMN=∠ANM$,
∴ $AM=AN$.
∵ D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,E 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ $OD ⊥ AB$,$OE ⊥ AC$.
∵ $OD=OE$,
∴ $∠EDO=∠DEO$,
∴ $∠DMB=180°-90°-∠EDO$,$∠ENC=180°-90°-∠DEO$,
∴ $∠DMB=∠ENC$. 又
∵ $∠AMN=∠DMB$, $∠ANM = ∠ENC$,
∴ $∠AMN=∠ANM$,
∴ $AM=AN$.
6[2025浙江宁波质检]一块含$45°$角的直角三角板和一块量角器如图摆放(三角板的顶点A与量角器0刻度重合),量角器的外沿与三角板的AC边交于点D,经测量知$AD=18\ \mathrm{cm}$,点E为AD中点,点F为弧AD上一动点,则EF的最小值为 (
A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{2}-9)\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{9}{2}\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(第6题图)
(第7题图)
C
)A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{2}-9)\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{9}{2}\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(第6题图)
(第7题图)
答案
6. C 【解析】如图,AG 为半圆的直径,设 AG 的中点为 O,则点 O 为半圆的圆心,连结 OE.
∵ 点 E 为 AD 中点,
∴ $OE ⊥ AD$,$AE=DE=\frac{1}{2}AD=9\ \mathrm{cm}$.
∵ $∠CAB=45°$,
∴ 易得$△ OAE$ 为等腰直角三角形,
∴ $AE=OE=9\ \mathrm{cm}$. 由勾股定理得 $OA=\sqrt{2}OE=9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
∵ 点 F 为弧 AD 上一动点,
∴ 当点 O,E,F 在一条直线上时,EF 取得最小值,
∴ EF 的最小值为$(9\sqrt{2}-9)\ \mathrm{cm}$. 故选 C.
7 某隧道口纵截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形.已知隧道口最高点E(圆弧中点)与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为
16
米.答案
7. 16 【解析】设弧 DC 所在圆的圆心为 O. 由题意可知,点 O 在 EF 的延长线上,连结 OC,OF,则 $OE ⊥ CD$,$CF=DF$. 在$\mathrm{Rt}△ CFO$ 中,$OC=10$,$OF=OE-EF=10-4=6$,
∴ $CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
∴ $AB=CD=2CF=16$,即路面 AB 的宽度为 16 米. 故答案为 16.
∴ $CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
∴ $AB=CD=2CF=16$,即路面 AB 的宽度为 16 米. 故答案为 16.
8 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB=32米，拱高CD=8米。
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF的高度。
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF的高度。
答案
8.【解】(1)设弧 AB 所在圆的圆心为 O,则点 O 在 DC 的延长线上,连结 OC,OB,如图,则 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=16$,$OD ⊥ AB$. 设弧 AB 所在圆的半径为 R 米. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$ 中,$OB^2=OC^2+CB^2$,
∴ $R^2=(R-8)^2+16^2$,解得 $R=20$,即该圆弧所在圆的半径为 20 米.
(2)如图,连结 OF,作 $OH ⊥ FE$ 交 FE 的延长线于 H,则 $OH=CE=16-4=12$.
在$\mathrm{Rt}△ OHF$ 中,$OF=20$,
∴ $HF=\sqrt{20^2-12^2}=16$.
∵ $HE=OC=OD-CD=20-8=12$,
∴ $EF=HF-HE=16-12=4$,即桥墩 EF 的高度为 4 米.
