1[中]如图,在半圆O中,直径AB=4,C是半圆上一点,将弧AC沿弦AC折叠交AB于D,点E是弧AD的中点.连结OE,则OE的最小值为 ()

A.$\sqrt{2}-1$
B.$4-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2\sqrt{2}-2$

(第1题图)
(第2题图)

1. D 【解析】如图,把弧 AEC 补全为$\odot F$,连结 CF,OC,CE,EF,EF 交 AB 于 G. 易知点 F 与点 O 关于 AC 对称,
∴ $\odot F$ 的半径为 2,易得$∠FCA=∠ACO$.
∵ $OA=OC$,
∴ $∠ACO=∠CAO$,
∴ $∠FCA=∠CAO$,
∴ $CF// AB$.
∵ E 是弧 AD 的中点,
∴ $FE ⊥ AD$,
∴ $∠F=∠BGE=90°$.
∵ $FC=FE=2$,
∴ $EC=2\sqrt{2}$.
∵ $OE≥ EC-OC$(当且仅当 O,E,C 三点共线时,等号成立),即 $OE≥ 2\sqrt{2}-2$,
∴ OE 的最小值为 $2\sqrt{2}-2$. 故选 D.
（第1题图）
思路分析：把弧 AEC 补全为 $\odot F$, 易知点 F 与点 O 关于 AC 对称, $\odot F$ 的半径为 2, 求出 $∠F = 90°$, 由勾股定理求出 CE 长, OE 的最小值即为 $EC-OC$ 的值.

2[中]如图,点C是$\odot O$上优弧ACB的中点,弦AB=8 cm,E为OC上任意一点,动点F从点A出发,以每秒1 cm的速度沿AB方向向点B匀速运动,若$y=AE^2 - EF^2$,则y与动点F的运动时间$x(0≤ x≤ 4)$秒的函数关系式为.

2. $y=-x^2+8x$ 【解析】延长 CO 交 AB 于 G,如图.
∵ 点 C 是 $\odot O$ 上优弧 ACB 的中点,
∴ $CO ⊥ AB$,$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ (\mathrm{cm})$,
∴ $AE^2=AG^2+EG^2$,$EF^2=FG^2+EG^2$. 当 $0≤ x≤ 4$ 时,$AF=x\ \mathrm{cm}$,则 $FG=(4-x)\ \mathrm{cm}$,
∴ $y=AE^2-EF^2=AG^2+EG^2-FG^2-EG^2=AG^2-FG^2=16-(4-x)^2=8x-x^2$,即 $y=-x^2+8x$. 故答案为 $y=-x^2+8x$.
（第2题图）
思路分析：延长 CO 交 AB 于 G, 根据垂径定理的逆定理, 可得 $CO ⊥ AB$ 及 $AG=\frac{1}{2}AB$, 由勾股定理可得 $AE^2 = AG^2 + EG^2$, $EF^2 = FG^2 + EG^2$, 进而可求得 $y=AG^2-FG^2$, 即可求得函数关系式.

3[较难]如图,已知$\odot O$的直径为26,弦$AB=24$,动点$P,Q$在$\odot O$上,弦$PQ=10$,若点$M,N$分别是弦$AB,PQ$的中点,则线段$MN$的长度的取值范围是.

(第3题图)
(第4题图)

3. $7≤ MN≤ 17$ 【解析】连结 OM,ON,OA,OP,如图所示.
∵ $\odot O$ 的直径为 26,
∴ $OA=OP=13$.
∵ 点 M,N 分别是弦 AB,PQ 的中点,$AB=24$,$PQ=10$,
∴ $OM ⊥ AB$,$ON ⊥ PQ$,$AM=\frac{1}{2}AB=12$,$PN=\frac{1}{2}PQ=5$,
∴ $OM=\sqrt{13^2-12^2}=5$,$ON=\sqrt{13^2-5^2}=12$. 当 $AB// PQ$ 时,M,O,N 三点共线,当 AB,PQ 位于 O 的同侧时,线段 MN 的长度最小,为 $ON-OM=12-5=7$; 当 AB,PQ 位于 O 的两侧时,线段 MN 的长度最大,为 $ON+OM=12+5=17$,
∴ 线段 MN 的长度的取值范围是 $7≤ MN≤ 17$,故答案为 $7≤ MN≤ 17$.
（第3题图）

4[较难]如图,已知$\odot O$的半径为5,P是直径AB的延长线上一点,$BP=1$,CD是$\odot O$的一条弦,$CD=6$,以PC,PD为相邻两边作$□ PCED$,当点C,D在圆周上运动时,线段PE长的最大值与最小值的积等于.

4. 80 【解析】如图,连结 OC,设 CD 交 PE 于点 K,连结 OK.
∵ 四边形 PCED 是平行四边形,
∴ $EK=PK$,$CK=\frac{1}{2}CD=DK$,
∴ $OK ⊥ CD$. 在$\mathrm{Rt}△ COK$ 中,
∵ $OC=5$,$CK=3$,
∴ $OK=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵ $OP=OB+PB=6$,
∴ $6-4≤ PK≤ 6+4$,
∴ $2≤ PK≤ 10$,
∴ PK 的最小值为 2,最大值为 10.
∵ $PE=2PK$,
∴ PE 的最小值为 4,最大值为 20,
∴ 线段 PE 长的最大值与最小值的积等于 80.
（第4题图）

5[中]如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E为AF中点，连结EO，作$CO ⊥ EO$交圆O于点C，作$CD ⊥ AB$于点D，已知圆O的直径为10，OE=

5.【解】
∵ E 为 AF 中点,
∴ $OE ⊥ AF$.
∵ $CO ⊥ EO$,
∴ $OC// AF$,
∴ $∠OAE=∠COD$.
∵ $CD ⊥ AB$,
∴ $∠AEO=∠ODC=90°$.
在$△ AEO$ 和 $△ ODC$ 中,$\begin{cases} ∠OAE=∠COD, \\ ∠AEO=∠ODC, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴ $△ AEO≌ △ ODC(\mathrm{AAS})$,
∴ $OE=CD=4$.
∵ 圆 O 的直径为 10,
∴ $OC=5$,
∴ $OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.

6[2026浙江杭州调研,中]如图,一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的,隧道宽$BC=10$米,矩形部分高$AB=3$米,抛物线的最高点$E$到地面的距离$OE=6$米,按如图所示建立以$BC$所在直线为$x$轴,$OE$所在直线为$y$轴的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)该隧道内设双车道,现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米,这辆货运卡车能顺利通过隧道吗?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”,$E$为弧$AD$的中点,其余条件均不变,此时这辆货运卡车能顺利通过隧道吗?请说明理由.

6.【解】(1)由题可设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+c$. 由题意得,点 A 坐标为$(-5,3)$,点 E 的坐标为$(0,6)$.
∵ 点 A,E 在抛物线上,
∴ $\begin{cases} 25a+c=3, \\ c=6, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-\frac{3}{25}, \\ c=6, \end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{3}{25}x^2+6$.
(2)这辆货运卡车能顺利通过隧道. 理由如下:
当 $x=3$ 时,$y=-\frac{3}{25}×3^2+6=4\frac{23}{25}＞4.5$,
∴ 这辆货运卡车能顺利通过隧道.
(3)此时这辆货运卡车能顺利通过隧道. 理由如下:
如图,设圆弧所在圆的圆心为点 $O'$,连结 $O'A$,在圆弧上取点 M,作 $MN ⊥ OE$ 于点 N,连结 $O'M$,假设 $MN=3$. 令 AD 与 OE 相交于点 F. 设圆弧所在圆的半径为 r.
∵ E 为弧 AD 的中点,
∴ $O'E ⊥ AD$. 由题意可得 $OE ⊥ AD$,$AF=\frac{1}{2}AD=5$,$EF=6-3=3$,
∴ 点 $O'$ 在直线 OE 上,
∴ $O'F=r-3$.
∵ $AF^2+O'F^2=O'A^2$,
∴ $5^2+(r-3)^2=r^2$,解得 $r=\frac{17}{3}$,
∴ $O'E=O'M=\frac{17}{3}$,
∴ $OO'=6-\frac{17}{3}=\frac{1}{3}$, $O'N=\sqrt{O'M^2-MN^2}=\sqrt{(\frac{17}{3})^2-3^2}=\frac{4\sqrt{13}}{3}$,
∴ $ON=\frac{1}{3}+\frac{4\sqrt{13}}{3}=\frac{1+4\sqrt{13}}{3}＞4.5$,
∴ 此时这辆货运卡车能顺利通过隧道.