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1 [2026河南商丘期中]下列圆中既有圆心角，又有圆周角的是（
B
）答案
B 【解析】A选项,只有圆周角,没有圆心角,不符合题意;B选项,既有圆心角,又有圆周角,符合题意;C选项,只有圆周角,没有圆心角,不符合题意;D选项,只有圆心角,没有圆周角,不符合题意.故选B.
2 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，若$∠ C=25°$，则$∠ BAO=$（
A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
D
）A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
（第2题图）（第3题图）
（第4题图）
答案
D 【解析】如图,连结OB.
∵ ∠C=25°,
∴ ∠AOB=2∠C=50°.
∵ OA = OB,
∴ ∠BAO = ∠ABO = $\frac{180°-50°}{2}=65°$. 故选D.
3[2026浙江温州期中]如图所示,在$\odot O$中,弦$AB// CD$,连结$BC$交半径$OD$于点$E$,$BO$平分$∠ ABC$,若$∠ ABC = 38°$,则$∠ BED$的度数为
95°
.答案
95° 【解析】
∵ BO 平分∠ABC,且∠ABC = 38°,
∴ ∠OBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 19°.
∵ AB//CD,
∴ ∠BCD = ∠ABC = 38°,
∴ ∠BOD = 2∠BCD = 76°,
∴ ∠BED = ∠OBE+∠BOE = 19°+76° = 95°.
∵ BO 平分∠ABC,且∠ABC = 38°,
∴ ∠OBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 19°.
∵ AB//CD,
∴ ∠BCD = ∠ABC = 38°,
∴ ∠BOD = 2∠BCD = 76°,
∴ ∠BED = ∠OBE+∠BOE = 19°+76° = 95°.
4如图，AB是$\odot O$的弦，且$AB=6$，点C是弧AB中点，点D是优弧ADB上的一点，$∠ ADC=30°$，则圆心O到弦AB的距离等于
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$ 【解析】如图,连结 OA,OC,OC交AB于点 E.
∵ 点 C 是弧 AB 中点,AB = 6,
∴ OC ⊥ AB,且 AE = BE = 3.
∵ ∠ADC = 30°,
∴ ∠AOC = 2∠ADC = 60°,
∴ ∠OAB = 30°,
∴ OA = 2OE.
∵ OA² - AE² = OE²,
∴ 4OE² - 3² = OE²,
∴ OE = $\sqrt{3}$,故圆心 O 到弦 AB 的距离为$\sqrt{3}$. 故答案为$\sqrt{3}$.
5[2026浙江温州期中]如图,AB是$\odot O$的一条弦,$OD ⊥ AB$,垂足为C,交$\odot O$于点D,连结OA,OB,点E在$\odot O$上,连结BE,DE.已知$∠ AOD=60°$.
(1)求$∠ DEB$的度数;
(2)若$\odot O$的半径为2,求AB的长.
(1)求$∠ DEB$的度数;
(2)若$\odot O$的半径为2,求AB的长.
答案
(1)
∵ OA = OB, OD ⊥ AB,
∴ OD 平分∠AOB,
∴ ∠BOD = ∠AOD = 60°,
∴ ∠DEB = $\frac{1}{2}$∠DOB = 30°.
(2)
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ OA = OB = 2.
∵ OD ⊥ AB,∠AOC = 60°,
∴ ∠OAC = 30°,
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = 1,
∴ AC = $\sqrt{OA^2-OC^2} = \sqrt{3}$.
∵ AB 是 ⊙O 的一条弦,OD ⊥ AB,
∴ AC = BC,
∴ AB = 2AC = $2\sqrt{3}$.
∵ OA = OB, OD ⊥ AB,
∴ OD 平分∠AOB,
∴ ∠BOD = ∠AOD = 60°,
∴ ∠DEB = $\frac{1}{2}$∠DOB = 30°.
(2)
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ OA = OB = 2.
∵ OD ⊥ AB,∠AOC = 60°,
∴ ∠OAC = 30°,
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = 1,
∴ AC = $\sqrt{OA^2-OC^2} = \sqrt{3}$.
∵ AB 是 ⊙O 的一条弦,OD ⊥ AB,
∴ AC = BC,
∴ AB = 2AC = $2\sqrt{3}$.
6 如图,在直角坐标系中,点$A(0,3)$,点$B(4,3)$,点$C(0,-1)$,则$△ ABC$外接圆的半径为(
A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{2}$
(第6题图)
(第7题图)
D
)A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{2}$
(第6题图)
(第7题图)
答案
D 【解析】连结 AB,BC.
∵ A(0,3),B(4,3),C(0,-1),
∴ AB//x轴,AC⊥x轴,
∴ ∠BAC=90°,
∴ BC 为△ABC 外接圆的直径. 在Rt△ABC 中,AC = 3 - (-1) = 4, AB = 4 - 0 = 4,
∴ BC = $\sqrt{AC^2+AB^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$,
∴ △ABC 外接圆的半径为 $2\sqrt{2}$,故选 D.
∵ A(0,3),B(4,3),C(0,-1),
∴ AB//x轴,AC⊥x轴,
∴ ∠BAC=90°,
∴ BC 为△ABC 外接圆的直径. 在Rt△ABC 中,AC = 3 - (-1) = 4, AB = 4 - 0 = 4,
∴ BC = $\sqrt{AC^2+AB^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$,
∴ △ABC 外接圆的半径为 $2\sqrt{2}$,故选 D.
7[2025浙江杭州期中]如图,A,B,C,D是圆O上的四个点,BD是$\odot O$的直径,E为$\odot O$内一点,满足$AE ⊥ BC$,$CE ⊥ AB$.若$BD=4\sqrt{3}$,$AE=4$,则弦BC的长为
$4\sqrt{2}$
.答案
$4\sqrt{2}$ 【解析】如图,延长 AE 交 BC 于 M,延长 CE 交 AB 于 N.
∵ AE ⊥ BC,CE ⊥ AB,
∴ ∠AMB = ∠CNB = 90°.
∵ BD 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠BAD = ∠BCD = 90°,
∴ ∠BAD = ∠CNB, ∠BCD = ∠AMB,
∴ AD // NC, CD//AM,
∴ 四边形 AECD 是平行四边形,
∴ AE = CD = 4,
∴ BC = $\sqrt{BD^2-CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2-4^2} = 4\sqrt{2}$.
8 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$，OD交AC于点E，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$AC=10,DE=4$，求BC的长。
刷易错 小心有坑~
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$AC=10,DE=4$，求BC的长。
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答案
(1)【证明】
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ OD ⊥ AC. 又
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,即 BC ⊥ AC,
∴ OD//BC.
(2)【解】
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ AD = CD.
∵ OD ⊥ AC,
∴ AE = CE.
又
∵ AC = 10,
∴ AE = CE = $\frac{1}{2}$AC = 5.
设⊙O 半径为 R,则 OA = R.
∵ DE = 4,
∴ OE = R - 4.
在Rt△AOE 中,$OA^2 = OE^2 + AE^2$,即 $R^2 = (R-4)^2 + 5^2$,
∴ $R = \frac{41}{8}$.
又
∵ O,E 分别为 AB,AC 的中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}$BC,
∴ BC = 2OE = 2×($\frac{41}{8}$-4) = $\frac{9}{4}$.
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ OD ⊥ AC. 又
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,即 BC ⊥ AC,
∴ OD//BC.
(2)【解】
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ AD = CD.
∵ OD ⊥ AC,
∴ AE = CE.
又
∵ AC = 10,
∴ AE = CE = $\frac{1}{2}$AC = 5.
设⊙O 半径为 R,则 OA = R.
∵ DE = 4,
∴ OE = R - 4.
在Rt△AOE 中,$OA^2 = OE^2 + AE^2$,即 $R^2 = (R-4)^2 + 5^2$,
∴ $R = \frac{41}{8}$.
又
∵ O,E 分别为 AB,AC 的中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}$BC,
∴ BC = 2OE = 2×($\frac{41}{8}$-4) = $\frac{9}{4}$.
9 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对圆周角的度数是
30°或150°
.答案
30°或150° 【解析】根据题意可得弦所对的圆心角是60°. ①当圆周角的顶点在优弧上时,圆周角的度数为$\frac{1}{2}×60°=30°$;②当圆周角的顶点在劣弧上时,圆周角的度数是$\frac{1}{2}×(360°-60°)=150°$. 故答案为30°或150°.
